Особенности моделирования информационных потоков

При рассмотрении системы массового обслуживания M/M/ 1 для стационарных вероятностей

,

при любых в течение времени от (малое положительное число) до общее число переходов из состояния п в п +1 должно отличаться от общего числа переходов из п +1 в п не более чем на 1.

В стационарном режиме вероятность того, что система находится в состоянии п и при следующем переходе попадает в состояние п +1, равна вероятности того, что система находится в состоянии п+ 1 и делает переход в состояние п:

Эти уравнения называются уравнениями глобального баланса, соответствующие множеству состояний и с точностью до о(d). Так как не зависит от и устремляя в (3.10), можно получить , где , - скорость обслуживания (число запросов, обслуживаемых в единицу времени).

Используя уравнения глобального баланса:

и если (скорость обслуживания превышает скорость поступлений), все вероятности являются положительными, а сумма их равна единице, тогда:

Это соотношение вместе с формулой (3.11) дает:

.

Таким образом, среднее число запросов в системе в стационарном режиме вычисляется по формуле

,

а, используя равенство можно получить, что:

.

В терминах системы пакетной передачи означает, что vl>SP_кан, где v - скорость поступления, l - средняя длина пакета в битах, SP_кан - пропускная способность канала в битах в секунду.

Средняя задержка в системе (время ожидания запроса в очереди плюс время обслуживания), согласно теореме Литтла, равна

t_з.ср.= .

Подставляя , получится:

t_з.ср = 1/ (m - v).

Среднее время ожидания в очереди t_ож равно средней задержке минус среднее время обслуживания запроса , поэтому:

t_ож = .

Для системы пакетной передачи, в которой скорость поступления (в пакетах в секунду) увеличивается от v, до Kv, где K — некоторый числовой коэффициент, распределение длины пакетов остается неизменным, а пропускная способность возрастает в K раз, так что среднее время передачи пакета становится равным вместо . Следовательно, коэффициент использования линии r и среднее число пакетов в системе остаются неизменными:

.

Однако, средняя задержка пакета будет равна t_з.ср =N/Kv и уменьшится в К раз. Линия передачи данных, которая передает в К раз быстрее, будет передавать в К, раз больше пакетов в секунду со средней задержкой пакета в К раз меньшей. Этот общий результат применим и к компьютерным корпоративным сетям. Таким образом, когда пакет поступает в сеть, он обнаруживает перед собой в вероятностном смысле такое же число пакетов, как и в случае низкоскоростной линии передачи, но пакеты, стоящие впереди него, будут продвигаться в К раз быстрее.

Пусть n статистически одинаковых и независимых пуассоновских потоков пакетов передаются по линии связи со скоростью /n пакетов в секунду каждый. Длины пакетов во всех потоках независимы и имеют экспоненциальное распределение. Среднее время передачи равно . Если потоки сливаются в один пуассоновский поток с интенсивностью , как это происходит при статистическом уплотнении, средняя задержка пакета становится равной:

t_з.ср = 1/( - ).

Если пропускная способность канала делится на n равных частей, по одной для каждого потока пакетов, как при временном или частотном уплотнении, то каждая часть ведет себя как система массового обслуживания M/M/1 со скоростью поступления / n и средней скоростью обслуживания / n. Следовательно, средняя задержка пакета равна t_з.ср = , т.е. в n раз больше, чем при статистическом уплотнении.

Из этого следует, что уплотнение большого числа потоков путем распределения их по отдельным каналам линии передачи является очень неэффективным в смысле задержки. Эффективность сети становится хуже, если пропускная способность каналов распределяется не прямо пропорционально интенсивностям соответствующих потоков.