Упражнения и задачи по теории множеств

1. Является ли множество всех атомов Солнечной системы бесконечным?

2. Составить список элементов множеств, заданных посредством характеристического признака:

а) Х ={ х | };

б) Х ={ х | };

в) Х ={ х | х ÎN, -4< х £3}.

3. Описать множества точек М плоскости таких, что:

а) { М | ОМ =5};

б) { М | ОМ £5};

в) { М | АМ=ВМ }.

4. Какая разница в записях А Î В и А В?

5. Равны ли множества {{1, 2}, 3} и {1, 2, 3}?

6. Верно ли, что {1, 2}Î{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?

7. Верно ли, что {1,2} {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?

8. Является ли множество {0} пустым?

9. Доказать, что существует только одно пустое множество.

10. Привести пример таких множеств А, В, и С, что А Î В, В Î С и А С.

11. Привести пример такого множества В, что для некоторого А одновременно А Î В и А В.

12. Найти множество-степень P(А) множества А ={1, 2, 3, 4}.

13. Найти множество-степень P(А) множества А ={{1, 2}, 3, 4}.

14. Может ли у множества быть:

а) 0 подмножеств;

б) 7 подмножеств;

в) 16 подмножеств.

15. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли одно из них подмножеством другого: А ={1}, В ={1, 2}, С ={1, 2, 3}, D ={{1}, 2, 3}, E ={3, 2, 1}, F ={{1, 2}, 3}.

16. Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если

а) А ={1, 2, 3, 4, 5}, В ={2, 4, 6, 8, 10}; б) А ={а, б, в, г, д, е}, В ={а, в, д, к, и};

в) А ={а, в, д, ж, и, м, н, о}, В ={в, к, и, о, м, п, с, ф};

г) А ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

 

17. Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если

а) А ={ а ½ а Î(-7; 1]}, В ={ b ½ b Î[-3,4]}; б) А ={ а ½ а Î[-7; 1]}, В ={ b ½ b Î(-3,4)};

в) А ={ а ½ а Î[-7; 1)}, В ={ b ½ b Î[-3,4)}; г) А ={ а ½ а Î(-7; 1)}, В ={ b ½ b Î(-3,4)}.

 

18. Даны следующие числовые множества: А ={1,3,5,7,9,11}, B ={2,5,6,11,12}, C ={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:

а) (А È С)D В; б) (А Ç С)\ В; в) С \ B D А;

г) А Ç B Ç C; д) В \(А Ç С); е) (B D C)È A.

 

19. Даны следующие числовые множества: А ={1,3,5,7,9,11}, B ={2,5,6,11,12}, C ={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:

а) (А È С)\(В D А)\ С; б) (С È В D А)\(С Ç А); в) (А \ С)È(В D С);

г) (С \ В)È(А \ С); д) (В D С)È(А \ В) Ç (С \ А); е) (А Ç С) D (В È А)\ С.

 

20. Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:

а) (А È В)\ С; б) (А Ç В)È(С D В); в) (А D В) Ç (С \ В);

г) (С \ В)È(А \ С); д) (А \ С)È(В D С); е) (С D А)\(В Ç А).

 

21. Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:

а) (А È В) \ (С Ç В); б) (А \ В)Ç(С \ В); в) (С \ А) È (С \ В);

г) (С \ А) Ç (С \ В); д) (С \ В)È(А \ С); е) (А Ç С) D (В È А)\ С.

 

22. Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рисунке:

а) б) в)

г) д)

 

23. Следует ли из А \ В = С утверждение А = В È С.

24. Следует ли из А = В È С утверждение С=А \ В.

25. Доказать, что если B A, то А È В=А и А Ç В=В.

26. Доказать, что если А È В=А, то B A.

27. Доказать, что если А Ç В=В, то B A.

28. Существуют ли такие множества А, В и С, что А Ç В ¹Æ, А Ç С =Æ (А Ç В)\С=Æ.

29. Множество А состоит из натуральных четных чисел, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 3. Из каких чисел состоит множество А Ç В?

30. Множество А состоит из натуральных четных чисел, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 3, множество С – из натуральных чисел, делящихся на 12. Из каких чисел состоит множество А Ç В Ç С? Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.

31. Множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 6, множество С - из натуральных чисел, делящихся на 15. Из каких чисел состоит множество D = А Ç В Ç С? Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.

32. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?

33. Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?

34. Каждый десятый математик – шахматист, а каждый пятый шахматист – математик. Кого больше – математиков или шахматистов – и во сколько раз?

35. Может ли множество двух отцов и двух детей состоять из трех человек? В каком случае?

36. На окружности выбраны 1000 белых точек и одна черная. Чего больше – треугольников с вершинами в белых точках или четырехугольников, у которых одна вершина черная, а остальные три белые?

37. Каких подмножеств больше у 100-элементного множества: мощности 57 или мощности 43?

38. Из 15 спортсменов, занимающихся боксом или борьбой, 10 – боксеры. Сколько спортсменов занимаются обоими видами спорта, если борьбой занимается 8 из них?

39. Из 45 курсантов 25 юношей. 30 курсантов учатся на 4 и 5. 28 - занимаются спортом, из них 18 юношей и 17 хорошистов. 15 юношей учатся на 4 и 5 и занимаются спортом. Сколько юношей при этом могут быть хорошистами?

40. В двух группах учатся 50 курсантов. Для прибытия в институт 12 из них пользуются автобусом, 18 добираются пешком, 7 и идут, и едут в автобусе. Используя теорию множеств, найдите:

· Сколько человек или добираются пешком, или пользуются автобусом?

· Сколько человек пользуются только автобусом?

· Сколько человек пользуются другим транспортом?

41. На первом курсе в одной группе учатся 40 курсантов. Из них по теории государства и права имеют тройки 19 человек, по информатике и математике - 17 человек и по физкультуре – 22 человека. Только по одному предмету имеют тройки: по теории государства и права – 4 человека, по информатике и математике – 4 человека и по физкультуре – 11 человек. 7 человек имеют тройки и по информатике и математике, и по физкультуре, из них 5 имеют тройки и по теории государства и права. Сколько человек учится без троек? Сколько человек имеют тройки по двум из трех дисциплин?

42. Первая рота 1-го курса состоит из 70 курсантов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 – поют в хоре, 22 – увлекаются спортом. В драмкружке 10 курсантов из хора, в хоре 6 – спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Найти:

· Сколько курсантов не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

· Сколько человек, занимающихся в драмкружке и в хоре, не занимаются спортом?

· Сколько спортсменов драмкружка не поют в хоре?

· Сколько поющих спортсменов, не посещающих драмкружок?

· Сколько спортсменов посещают хор или драмкружок?

· Сколько увлекаются только спортом?

Комплексные числа

Пример 1

. Доказать, что: а) ; б) ; в) .

 

Решение.

Пусть z ₁ = (x ₁, y ₁), z ₂ = (x ₂, y ₂).

а) По определению сопряженного числа

б) Имеем

в) Запишем комплексное число z в тригонометрической форме z = (r cos θ, r sin θ), тогда . Пользуясь формулой Муавра, имеем

 

Пример 2.

Выполнить указанные операции: а) (2 - i)(2 + i)² - (3 - 2 i) + 7; б) (1 + i)⁴; в) .

 

Решение.

С комплексными числами, записанными в алгебраической форме, операции сложения, вычитания и умножения можно производить так же, как с действительными биномами. При этом пользуемся тем, что i ² = -1, i ³ = i ² i = - i, i ⁴ = i ³ i = - i ² = 1, и т. д.

а) Имеем

(2 - i)(2 + i)² = - (3 - 2 i) + 7 = (2 - i)(2 + i)² + 4 + 2 i =

= (2 + i)((2 - i)(2 + i) + 2) = (2 + i)(4 + 1 + 2) = 14 + 7 i.

б) Согласно формуле бинома Ньютона,

(1 + i)⁴ = 1 + 4 i + 6 i ² + 4 i ³ + i ⁴ = 1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 = -4.

в) .

 

Пример 3.

Делится ли многочлен x ⁴ + 2 x ² + 4(1 + i) на x - 1 + i?

 

Решение.

Если данный многочлен делится на x - (1 - i), то комплексное число 1 - i должно быть его корнем. Подставим это число в многочлен, получим (1 - i)⁴ + 2(1 - i)² + 4(1 + i) = - 4 + 2(-2 i) + 4 + 4 i = 0. Следовательно данный многочлен делится на x - 1 + i.

 

Пример 4.

Найти частное комплексных чисел: а) ; б) ; в) .

 

Решение.

Формулу для нахождения частного комплексных чисел z ₁ и z ₂ запишем в виде

Пользуясь этой формулой, находим

а) ;

б) ;

в) .

 

Пример 5.

Даны комплексные числа z ₁ = -2 + 5 i и z ₂ = 3 - 4 i. Найти: а) z ₁ + z ₂; б) z ₂ - z ₁; в) z ₁ z ₂; г) z ₁/ z ₂.

 

Решение.

а), б). Для комплексных чисел z ₁ = x ₁ + iy ₁, z ₂ = x ₂ + iy ₂ сумма и разность находятся по формулам z ₁ ± z ₂ = (x ₁ ± x ₂) + i (y ₁ ± y ₂).

В нашем случае имеем z ₁ + z ₂ = (-2 + 3) + i (5 - 4) = 1 + i, z ₂ - z ₁ = 3 - (-2) + i (-4 - 5) = 5 - 9 i.

в) Перемножаем z ₁ и z ₂ как двучлены с учетом равенства i ² = -1:

z ₁ z ₂ = (-2 + 5 i)(3 - 4 i) = (-2)3 + 15 i + 8 i - 20 i ² = -6 + 20 + i (15 + 8) = 14 + 23 i.

г) Для нахождения частного умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. на 3 + 4 i; получим .

Пример 6.

Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) -3; б) - i; в) 1 + i; г) .

 

Решение.

Имеем

а) | -3 | = 3, θ = π, -3 = 3(cos π + i sin π);

б) | - i | = 1, θ = - π /2, - i = cos(- π /2) + i sin(- π /2);

в) ;

г) .

 

Пример 7.

Установить, при каких действительных значениях x и y равны следующие комплексные числа: z ₁ = x ² = xyi - 5 + i и z ₂ = xi - y ² + yi.

 

Решение.

Согласно равенству комплексных чисел, получаем следующую систему уравнений:

(1)

Умножаем обе части второго уравнения на 2 и вычтем результат из первого уравнения, получим (x + y)² - 2(x + y) - 3 = 0 - квадратное уравнение относительно x + y. Решив его, получим x + y = 3 или x + y = -1.

Таким образом, система (1) распадается на две системы

Их решениями являются: x ₁ = 1, y ₁ = 2; x ₂ = 2, y ₂ = 1 и x ₃ = 1, y ₃ = -2, x ₄ = -2, y ₄ = 1.

 

Пример 8.

Найти координаты точки M, изображающей комплексное число .

 

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть этого числа:

Пример 9.

 

Найти все значения корней: а) ; б) .

 

Решение.

а) Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме 1 = cos 0° + i sin 0°; затем по формуле (1), находим

Следовательно,

при k = 0;

при k = 1;

при k = 2;

при k = 3.

б) Записав комплексное число в тригонометрической форме

находим

Отсюда

 

Пример 10.

Решить уравнение z ⁶ + 1 = 0.

 

Решение.

Имеем . Для вычисления всех значений применим формулу (1),

Отсюда

 

 

Пример 11. Найти число, сопряженное с числом .

 

Решение.

Заметим, что . Тогда

Тогда сопряженное число .

 

Пример 12.

Установить, при каких действительных значениях x и y являются противоположными следующие комплексные числа: и .

 

Решение.

Приведем числа z ₁ и z ₂ к алгебраической форме записи:

Согласно условию задачи, получаем систему:

(1)

Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго - на 2 и сложим получившиеся при этом результаты:

- однородное уравнение.

Разделим обе его части на y ², получим: - квадратное уравнение относительно . Решив его, получим и , т. е. y = -2 x или . Подставим эти значения, например, в первое уравнение из (1), получим .

Тогда y ₁ = -2, y ₂ = 2.

Аналогично, при получаем - это уравнение действительных решений не имеет.

Ответ: {(1; -2), (-1; 2)}.