История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-11-17 | 450 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Полным приращением функции в точке соответствующим приращениям аргументов называется разность
Функция называется дифференцируемой в точке если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде
где – числа, не зависящие от .
Дифференциалом 1–ого порядка функции в точке называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно , т.е.
.
Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям:
.
Для дифференциала функции справедлива формула
.
Функции нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:
;
;
;
Дифференциалы высших порядков функции двух переменных имеют вид:
;
.
Аналогично, , .
Пример.
Найти полное приращение и дифференциал функции в точке
Решение.
.
Основное свойство первого дифференциала
При достаточно малых приращениях аргумента для дифференцируемой функции имеет место приближеннее равенство
.
Или
Пример.
Вычислить приближенно .
Решение.
Рассмотрим функцию: .
;
;
;
; ;
Тогда .
Задачи.
11.27. Найти полное приращение и дифференциал функции если x изменяется от 2 до 2,1, а y от 1 до 1,2.
Найти дифференциалы функций:
11.28. ; 11.29. ;
11.30. ; 11.31.
Вычислить приближенно:
11.32. ;
11.33. ;
11.34. ;
11.35. ;
11.36. ;
11.37. .
Формула Тейлора для функции двух переменных
Если функция дифференцируема () раз в некоторой окрестности точки , то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора:
, где .
Или
.
В частном случае, при , получим формулу Маклорена:
.
Пример.
Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
|
Решение.
Имеем, Вычислим последовательно частные производные данной функции и их значения в точке :
;
;
; ;
; ;
; ;
; .
Все последующие производные тождественно равны 0.
В результате, получим
.
Задачи.
11.38. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
11.39. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
11.40. Разложить по формуле Маклорена до членов 4–го порядка включительно функцию
11.41. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1,1) до членов 3–го порядка включительно функцию .
11.42. Разложить по формуле Маклорена до членов 2–го порядка включительно функцию .
Экстремум функции двух переменных
Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки для всех точек P которой, отличных от точки выполняется неравенство (соответственно ).
Максимум и минимум функции называется ее экстремумом.
Необходимое условие экстремума
Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке то в этой точке
и .
Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются стационарными точками функции .
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!