Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса называют также методом исключения переменных или двухходовым методом. Метод заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы (первой переменной из второго уравнения, первой и второй из третьего и т.д.) до тех пор, пока в последнем уравнении не окажется равенство вида pх_n = q (p,q – числа), откуда естественным образом выражается последняя переменная х_n. После этого, двигаясь по системе снизу вверх можно последовательно вычислить остальные неизвестные: х_n-1 из предпоследнего уравнения, и т.д. до х₁ из первого.

 

 

Рассмотрим квадратную систему

. (6)

(Обратите внимание: во втором уравнении нет переменной х ₄. Это значит, то а ₂₄=0. В последнем уравнении коэффициент при х₂, а ₄₂= -1, а при х ₄, а ₄₄=1.

У этой системы коэффициент a ₁₁ отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x ₁ не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a ₁₁¹0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x ₁ (это и являлось целью преобразований 1) – 4)):

. (7)

Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

Для проведения этого и дальнейших преобразований удобнее использовать расширенную матрицу системы. Тогда задачей первого этапа метода Гаусса будет приведение расширенной матрицы к трапециевидной форме – виду, когда в последней строке только два последних элемента ненулевые, в предпоследней строке – три и т.д. – см. матрицу и систему 9))

. (8)

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a ₂₂ не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x ₁ исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x ₂ — из всех уравнений кроме первого и второго:

.

Теперь исключим неизвестную x ₃ из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a ₃₃ ¹ 0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

.

Полученная матрица соответствует системе

. (9)

Из последнего уравнения этой системы получаем x ₄ = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x ₃ = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x ₂ = 1, а из первого — x ₁ = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x ₄, затем x ₃ и т. д.).

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Если матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрица A переводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (9) – треугольная матрица.

Можно сформулировать общее правило:

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна

Метод обратных матриц

 

Рассмотрим уравнение в матричной форме АХ = В, Где А – матрица коэффициентов системы, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов.

Если бы речь шла об «обычном числовом» уравнении ax = b, a≠0, оно решалось бы умножением обеих частей уравнения на обратный к а элемент а^-1 (1/a (делением на а))

1/a· ax = 1/a · b и тогда x = b/a.

 

Тогда для уравнения АХ=В,

А^-1 АХ = А^-1 В, откуда решение находится по формуле Х = А^-1 В, где А^-1 - матрица, обратная к исходной матрице А

 

Это рассуждение применимо и к матричным уравнениям AX=B, где В является некоторой матрицей, необязательно вектор-столбцом. Х в таком случае будет просто некоторой матрице (см пример 5.2).

 

Определение 5.2(6).

 

Пусть A = (a_ij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю.

Тогда существует обратная матрица A ^–1, такая, что А A ^–1 = A ^–1А = Е (единичной матрице).

Найти обратную к А матрицу можно по формуле

.

Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы.

Иначе говоря, обратная матрица находится делением на определитель исходной матрицы так называемой союзной матрицы – матрица, транспонированной к матриений (см. опр. 5.2(4)

.

Пример 5.2(1):

det A = 20 + 6 – 24 = 2;

.

Из определения обратной матрицы следует, что она существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля.

 

Свойства обратной матрицы

 

1. det A^-1 = (det A)^-1

Действительно, А A^-1 = Е, следовательно, detA det A^-1 = detE=1, откуда (det A)^-1 =

=det A^-1

2. Если А и В невырожденны, то их произведение АВ тоже невырожденно и

(АВ)^-1 = В^-1 А^-1, то есть, матрица, обратная к произведению, равна произведению обратных, взятых в обратном порядке.

Действительно, (В^-1 А^-1)(АВ) = В^-1 (А^-1 А)В = В^-1 В = Е.

Отсюда следует, что В^-1 А^-1 = (АВ)^-1

3.(А^-1)^-1 = А

Действительно, (А^-1)^-1 есть такая единственная матрица, произведение которой на А^-1 равно Е. Этим свойством обладает А

4. (А^Т)^-1 = (А^-1)^Т.

Действительно, переходя в равенстве А А^-1 = Е к транспонированным матрицам, получим (А^Т)^-1 А^Т = Е, откуда следует, что (А^Т)^-1 = (А^Т)^-1

 

 

Пример 5.2(2)

Решить матричное уравнение АХ=В

 

Будем искать решение в виде Х=А^-1 В, т.к. А^-1АХ = А^-1 В

 

Найдем определитель матрицы А

Определитель не равен нулю, значит, существуют единственное решение уравнения и матрица, обратная к матрице А. Найдем ее:

Теперь найдем решение уравнения