Потенциал электрического поля диполя

 

Рассмотрим некоторую точку А, удаленную от зарядов диполя на расстоянии и (рис.2).

(1)

Предположим, что , , тогда ; ; .

Отсюда получим

 

Рис. 2. К расчету потенциала точки в поле диполя.

 

Пусть диполь находится в точке O, расстояние между его зарядами мало по сравнению с OA и OB (рис. 3). Дипольный момент на рисунке показан стрелкой.

 

Рис. 3. К расчету разности потенциалов в поле диполя.

 

(2)

Запишем, пользуясь формулой (1), разность потенциалов двух точек: A и B, равностоящих от диполя.

OC || AB;

отсюда .

Подставляя в формулу (2), имеем:

(3)

Из полученного выражения видно, что разность потенциалов двух точек поля диполя (при данном и ) зависит от синуса половины угла, под которым видны эти точки от диполя, и от проекции электрического момента диполя на прямую, соединяющую точки.

 

Диполь в центре равностороннего треугольника

 

(4)

Если диполь находится в центре равностороннего треугольника (рис. 4), то , и соотношения между напряжениями на сторонах этого треугольника могут быть получены как соотношения проекций на стороны треугольника.

 

Это положение лежит в основе снятия электрокардиограмм.

 

 

Рис. 4. Проекции дипольного момента на стороны треугольника.

 

Определение направления вектора электрического момента

 

Получим выражение для определения угла между направлением вектора электрического момента диполя, помещенного в центре равностороннего треугольника, и прямой MN, параллельной одной из сторон треугольника (например, AB) через проекции вектора момента на стороны треугольника (рис. 4).

Применяя простейшие тригонометрические преобразования, получим:

Найдя отношение этих выражений, получим:

, откуда

и, наконец,

(5)

 

Выведенная формула (5) позволяет определить ориентацию вектора электрического момента диполя по двум его проекциям на стороны правильного треугольника.

 

Применение теории электрического диполя в медицинских исследованиях

 

В электрическом отношении сердце представляет собой токовый диполь. В соответствии с теорией Эйнтховена сердце расположено в центре (условно) равностороннего треугольника, вершины которого находятся в правой руке, левой руке и левой ноге. В соответствии с формулой (4), измерение разности потенциалов между вершинами этого треугольника позволяет определить соотношение между проекциями электрического момента сердца на стороны треугольника.

Так как величина и направление электрического момента сердца изменяются со временем, то при снятии электрокардиограммы будут получаться зависимости напряжений между вершинами треугольника Эйнтховена от времени.

 

D

Рис. 5. Диполь в ванне с водой (вид сверху).

 

 

Практическая часть

 

Приборы и принадлежности: вольтметр со щупами, модель диполя, ванна с водой, миллиметровая сетка.

 

I. Построение эквипотенциальных линий поля диполя.

1. Расположить диполь в ванне с водой в центре треугольника вдоль прямой BD (рис.5). Расстояние между зарядами взять 4-6 см.

2. Включить выпрямитель в сеть.

3. Соединить (+) вольтметра с положительным зарядом диполя.

4. Поместить второй щуп вольтметра в точку O (центр треугольника) и измерить разность потенциалов. Передвигая щуп, найти точки такого же потенциала и, определив их положение по координатной сетке, нанести эти точки на график. Соединив полученные точки, получить на графике линию равного потенциала (эквипотенциальную линию).

5. Построить еще 4 эквипотенциальные линии других значений потенциалов, по две с каждой стороны от центральной линии.

6. Провести на графике линии напряженности поля диполя от положительного заряда к отрицательному, перпендикулярно к эквипотенциальным линиям.

 

II. Определение разности потенциалов на сторонах равностороннего треугольника.

1. Не меняя положения диполя, измерить напряжение на сторонах треугольника АВС: . Данные занести в таблицу.

2. Найти проекции электрического момента диполя на стороны треугольника АВС, так как величина Р во всех трех проекциях постоянна, то можно записать:

и для определения этого соотношения достаточно найти только косинусы соответствующих углов.

3. Проверить соотношение:

4. Рассчитать угол между направлением электрического момента диполя и прямой MN (см. выражение (5)).

5. Изменить положение диполя, расположив его вдоль прямой MN.

6. Повторить измерения пунктов 1-4. Данные всех измерений занести в таблицу.