История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-11-17 | 358 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть в уравнении
y ¢ = f (x, y)
функция f (x, y) может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной х или у:
f (x, y) = f 1(x) f 2(у)
или в уравнении
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
коэффициенты при dx и dy представляются в виде M (x, y) = M 1(x) M 2(у), N (x, y) = N 1(x) N 2(у). Путем деления соответственно на f 2(у) и на
N 1(x) M 2(у) эти уравнения приводятся соответственно к виду
f 1(x) dx = dy, dx = – dy.
Интегрируя левые части этих уравнений по х, а правые по у, приходим в каждом из них к общему интегралу исходного дифференциального уравнения.
Пример 1. Решить задачу Коши = k (a – x) (b – x), x (0) = 0,
полученную в примере составления дифференциального уравнения в задании с практической задачей.
• Исходное уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными:
= k dt.
Преобразуем полученное уравнение к виду
= k dt.
Интегрируем правую и левую части и получаем:
ln | x – a | – ln | x – b | = k (a – b) t + ln | C | => = C e k (a – b) t .
Из начальных условий (x (0) = 0) имеем: С = , поэтому
= e k (a – b) t ,
откуда x (t) = a b .
Пример 2. Решить уравнение = .
• Разделяем переменные (3 y 2 + 1) dy = 2 x dx. Интегрируем:
=
и получаем общий интеграл уравнения у 3 + у – х 2 = С.
Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным,
если его можно привести к виду
y ¢ = f (5)
или к виду
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (6)
где M (x, y) и N (x, y) – однородные функции одного порядка, т.е. существует такое k Z, что M (t x, t y) = t k M (x, y) и N (t x, t y) = t k N (x, y).
С помощью подстановки = u (x) (y = xu => y ¢ = u + x u ¢) однородные уравнения (5) и (6) преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.
|
Пример 3. Решить уравнение y ¢ = + cos .
• Положим = u или y = xu. Тогда y ¢ = u + x u ¢, что после подстановки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися переменными
u + x u ¢ = u + cos u или x = cos u.
Разделяем переменные
=
и интегрируем
tg = Cx.
Получаем общее решение
u = 2 arctg Cx – + 2 πn, n Z.
Возвращаясь к функции у, находим:
у = х , n Z.
При делении на cos u были потеряны решения у = х , k Z.
Добавляя их к полученному семейству решений, окончательно находим
у = х , n Z; у = х , k Z.
Линейные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется
уравнение вида
y ¢ + p (x) y = q (x), (7)
где p (x) и q (x) – заданные и непрерывные на некотором промежутке функции.
Существует несколько методов интегрирования уравнения (7). Рассмотрим самый распространенный из них – метод Бернулли, называемый «методом u на v». Суть метода в том, что решение этого уравнения ищется в виде произведения
у = u v, (8)
где u = u (x), v = v (x) – неизвестные функции х, причем одна из этих функций произвольна (но не равна тождественно нулю).
Подставляя решение у = u v и его производную у ¢ = u ¢ v + u v ¢ в уравнение (7), получим
u ¢ v + u v ¢ + p (x) u v = q (x) или u ¢ v + u (v ¢ + p (x) v) = q (x). (9)
Пользуясь произвольностью в выборе функции v (x), выберем ее так, чтобы выражение в скобках стало равным нулю
v ¢ + p (x) v = 0. (10)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решив его и подставив выражение для v в (9), получим следующее уравнение относительно u
u ¢ v = q (x). (11)
Решаем это уравнение, находим u = u (x, C). Таким образом, общее решение линейного уравнения (7) у = u (x, C) v.
Пример 4. Найти частное решение дифференциального
уравнения (решить задачу Коши) у ¢ = – с начальными условиями у (1) = 1.
• Это линейное уравнение вида у ¢ + p (x) y = q (x), в котором p (x) = – , q (x) = – . Общее решение ищем в виде y = uv. Тогда y = u ¢ v + uv ¢. Имеем:
u ¢ v + uv ¢ – = – => u ¢ v + u = – .
Подберем функцию v так, чтобы v ¢ – = 0; тогда u ¢ v = – . Интегрируя первое из этих уравнений, получим:
|
v ¢ – = 0 => = => = => ln | v | = ln | x | => v = х.
Подставив полученное выражение для v во второе уравнение, получим:
u ¢ х = – => du = – dx.
Интегрируем обе части данного уравнения: = – dx.
Второй интеграл берем по частям:
– dx = = – = + + C.
Таким образом, u = + + C, а общее решение исходного уравнения
y = uv = x = ln x + 1 + Cx.
Подставим в это общее решение начальное условие:
1 = ln 1 + 1 + C ∙ 1 = 0 + 1 + C = 1 + C.
Отсюда получаем, что С = 0.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид y = ln x + 1.
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение 1-го порядка вида
y ¢ + p (x) y = q (x) yn, (12)
где n ≠ 0, n ≠ 1 (при n = 0 уравнение (12) является линейным, а при n = 1 – уравнением с разделяющимися переменными). Проинтегрировать уравнение Бернулли можно так же, как и линейное уравнение с помощью подстановки у = u v.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение у ¢ = + .
• Это уравнение Бернулли. Полагая у = u v, приведем исходное уравнение к виду u ¢ v + u = .
Решаем первое уравнение v ¢ – = 0:
v ¢ – = 0 => = => = => ln | v | = ln | x | => v = х.
Второе уравнение примет вид u ¢ х = или u ¢ = .
Решаем его: u ¢ = => u du = dx => u 2 = 2 x + C => u = . Перемножая u и v, получим общее решение исходного уравнения
у = х .
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!