Алгоритм интерполирования по формуле Лагранжа

Задача. Имеется таблица значений некоторой функции:

x	f(x)	x	f(x)
0,41	2,63	2,67	4,87
1,55	3,75	3,84	5,03

Требуется получить значение этой функции в точке X=1,91.

Решение осуществляем с учетом формулы (20):

Результат:

f (1,91) ≈4,15

Метод наименьших квадратов. Применяется при обработке экспериментально полученных зависимостей, когда есть ряд значений параметра (х_i) и соответствующий ему ряд значений неизвестной функции (y_i). Лучшим аналитическим представлением этой зависимости будет функция φ(х), выбранная таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y_i от φ(х), была минимальной, т. е.

Пусть дан ряд значений независимого аргумента Х (диапазон А1:А15) и соответствующих ему значений зависимого аргумента Y (функции) в диапазоне В1:В15.

	А	В	С	D	E	F
	Xi	Yi	Xi	Yi	m	n
		0,5		23,00
		3,3		17,00
		1,98		19,9
				22,00
		4,0		27,0
		11,09		30,0
		12,75		27,76

(Результат: m=2,304393, n=-1,68314, a=1,208189; b=2,51309)

m=2,357964 n=-2,31171 a=1,264018 b=1,659488

Задача: Для заданного набора пар данных независимой переменной Х_i и функции Y_i определить наилучшее линейное приближение в виде прямой с уравнением y=mx+n и показательное приближение в виде линии с уравнением y=ba^х.

Решение:

1. Ячейка Е1 – текущая. Левой кнопкой мыши изменить формулу в строке формул (щелкнуть по кнопке с символом «=»). Раскрыть список в левом краю строки формул и выбрать Другие функции.

2. В окне Мастера функции (МФ) выбрать категорию Ссылки и массивы, и функцию ИНДЕКС, ОК. В новом диалоговом окне выбрать первый вариант набора параметров, ОК (массив, номер строки, номер столбца).

3. Установить текстовый курсор в первое поле для ввода параметров (массив) и снова выбрать Другие функции в раскрывшемся списке в строке формул.

4. С помощью МФ выбрать функцию ЛИНЕЙН категории СТАТИСТИЧЕСКИЕ, ОК.

5. В качестве первого параметра функции ЛИНЕЙН (изв_знач_у) выбрать диапазон, содержащий значения функции(столбец В).

6. В качестве второго параметра функции ЛИНЕЙН (изв_знач_х) выбрать диапазон, содержащий значения независимой переменной (столбец А), ОК. На появившемся сообщении – ОК.

7. Поместить текстовый курсор в строке формул между двумя закрывающимися скобками и нажать «;1». Это третий недостающий параметр функции ИНДЕКС. Единица указывает на необходимость возвращения первого коэффициента линейной зависимости, т.е. m. ЛКМ на ОК на палитре формул.

Функция ЛИНЕЙН возвращает коэффициенты уравнения прямой в виде массива из двух элементов. С помощью функции ИНДЕКС выбирается нужный элемент.

8. F1 – текущая ячейка. Повторить операции пп.1-7, чтобы в итоге в этой ячейке появилась формула

=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(В1:В15;А1:А15);2).

Эту формулу можно ввести и вручную.

Теперь в ячейке F1 – второй коэффициент наилучшей прямой, т.е. n.

9. Найдем коэффициенты показательного приближения

Ячейка G1 – текущая. Повторим операции пп.1-7, но аргументом функции ИНДЕКС выбираем функцию ЛГРФПРИБЛ. Теперь в ячейке G1 содержится первый коэффициент наилучшего показательного приближения, т.е. а. Действуя аналогично, указав третьим параметром функции ИНДЕКС цифру 2, в ячейке Н1 получим второй коэффициент наилучшего показательного распределения, т.е. b.

Для интерполяции или экстраполяции оптимальной кривой без явного определения ее параметров можно использовать функцию ТЕНДЕНЦИЯ для линейной зависимости и РОСТ для показательной зависимости.

Для построения наилучшей кривой другим способом – Сервис – Анализ данных.

10. В списке Инструменты анализа – пункт Регрессия. ЛКМ на ОК.

11. В поле Выходной интервал Y методом протягивания указать диапазон, содержащий значения функции (столбец В).

12. В поле Входной интервал Х указать столбец А.

13. Установить переключатель НовыйРЛ, имя – Результат.

Открыть Расчетный лист Результаты расчета и убедиться, что вычисленные коэффициенты совпали с полученными первым методом.

 

Практическая часть

Задание 1. Построить многочлен Лагранжа и вычислить его значение в указанных точках.

Задание 2. По таблице задания 1 построить многочлен Ньютона и найти значение в указанных точках.

Задание 3. Для функции, заданной таблицей в задании 1, найти значение производной первого и второго порядков в указанных точках.

Задание 4. Для таблицы метода наименьших квадратов построить квадратичное приближение.

Вопросы к защите лабораторной работы №4

«Приближение функций. Численное дифференцирование»

1. Постановка задач приближения функций.

2. Полиномиальная интерполяция. Многочлен в форме Лагранжа.

3. Многочлен в форме Ньютона.

4. Погрешность интерполяции.

5. Интерполяция с кратными узлами.

6. Метод наименьших квадратов.

7. Численное дифференцирование на основе интерполяции.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Численное интегрирование

Теоретическая часть

Постановка задачи численного интегрирования. Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой. Обычный прием механической квадратуры состоит в том, что данную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией φ(x) простого вида, а затем приближенно полагают: Функция φ(x) должна быть такова, чтобы интеграл вычислялся непосредственно. Если функция f(x) заданна аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности.

 

Составные квадратурные формулы. Приведем ряд простейших квадратурных формул, используемых в практике численного интегрирования функции f(x) на некотором интервале [a, b], разбитого на n равных отрезков точками a₀=a, a₁=a+h, a₂=a+2h, …, a_n=a+nh+b, где n=0,1, …, k и Положим f(x_n)=y_n=f(a+nh).

Формула прямоугольников:

Погрешность формулы определяется выражением:

где . (15)

Формула трапеций:

Погрешность формулы определяется выражением:

где . (17)

Формула Симпсона:

где . (18)

Погрешность формулы определяется выражением:

где . (19)