Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-10-21 | 320 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Элементы аналитической геометрии на плоскости
Декартова система координат на плоскости. Уравнение линии
Для задания декартовой системы координат на плоскости определяют точку О – начало координат, пару неколлинеарных векторов, образующих базис, и единицу измерения длины. Прямые, проведенные через начало координат параллельно и сонаправленно базисным векторам, называют осями координат. Если оси перпендикулярны, то система координат называется прямоугольной. С горизонтальной осью абсцисс Ox и вертикальной осью ординат Oy. Ортонормированный базис на плоскости принято обозначать векторами для оси абсцисс и для оси ординат. Тогда координатами точки M на плоскости Oxy будут проекции ее радиус-вектора на соответствующие оси.
Если , , то для определения координат точки , делящей отрезок в заданном соотношении , используются формулы , . Расстояние между точками A и B определяется как .
Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
В общем случае уравнение линии может быть записано в неявном виде или в явном виде , где и – некоторые функции.
Чтобы убедиться, что точка лежит на данной линии , надо проверить, обращают ли координаты этой точки уравнение в верное равенство.
Прямая на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая пересекает ось Oy в точке и образует с осью Ox угол ().
Возьмем на прямой произвольную точку . Тогда тангенс угла наклона прямой найдем из прямоугольного треугольника :
.
Введем угловой коэффициент прямой , откуда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
|
(1)
1. Если , то получаем – уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при острый угол с осью Ox, а при – тупой угол.
2. Если , то , и уравнение прямой, параллельной оси Ox, имеет вид , а самой оси Oy – вид .
3. Если , то прямая перпендикулярна оси Ox и не существует, т.е. прямая не имеет углового коэффициента, т.е. вертикальна и параллельна оси Oy. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ox отрезок, равный a. Очевидно, что уравнение такой прямой , т.к. абсцисса любой точки прямой равна , а уравнение оси Oy есть .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (с заданным угловым коэффициентом)
Пусть прямая проходит через точку и образует с осью Ox угол . Т.к. точка лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), т.е. .
Вычитая его из равенства (1), получим уравнение искомой прямой
. (2)
Параметрическое уравнение прямой
Обозначим коэффициент пропорциональности координат в уравнении (3) t, т.е. . Тогда , , откуда параметрическое уравнение прямой
(4)
Угол между прямыми
Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями и . Можно показать, что угол между прямыми (т.е. их направляющими векторами и ) и угол между их нормалями и равны, тогда из свойств скалярного произведения векторов нормалей найдем: .
Кроме того, если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, т.е. , , то угол между ними можно определить как .
Окружность
Уравнение окружности радиуса с центром имеет вид
. (9)
В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид .
Рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными в общем виде
, (10)
в котором , и не равны нулю одновременно, т.е. .
Чтобы уравнения (9) и (10) представляют одну и ту же линию, коэффициент должен равняться нулю, т.е. , а все остальные коэффициенты – быть пропорциональны, в частности, , откуда (т.к. , а ). Тогда получим уравнение
, (11)
называемое общим уравнением окружности.
|
Поделив обе части уравнения на и дополнив члены, содержащие и , до полного квадрата, получим
. (12)
Сравнивая уравнения (12) и (9), можно сделать вывод что уравнение (12) есть уравнение действительной окружности, если 1) ; 2) ; 3) . При выполнении этих условий центр окружности (12) расположен в точке , а ее радиус .
Эллипс
Перепишем (10) в виде или , где ; ; . В предположении уравнение кривой примет вид:
. (13)
Кривая второго порядка (13) называется эллипсом (кривой эллиптического типа), если коэффициенты и имеют одинаковые знаки. Будем считать, что и (в противном случае обе части уравнения можно умножить на ()). Тогда возможны три случая:
1) – кривая (13) не имеет действительных точек;
2) – кривая (13) представляет собой одну точку;
3) – кривая (13) переписывается в виде
. (14)
Уравнение (14) называется каноническим уравнением эллипса с полуосями и . При уравнение (14) представляет собой уравнение окружности . В предположении, что a > b, обозначим , тогда точки и называются фокусами эллипса, а отношение – его эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Очевидно, что , причем для окружности .
Можно показать, что для любой точки эллипса сумма расстояний от этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная . Это характеристической свойство эллипса часто принимается за его определение.
Гипербола
Кривая второго порядка (13) называется гиперболой (кривой гиперболического типа), если коэффициенты и имеют противоположные знаки, т.е. . Пусть для определенности , . Возможны три случая.
1) соответствует гиперболе с каноническим уравнением вида
, (15)
где – действительная полуось, а – мнимая полуось. Фокусы гиперболы – точки и , где , а ее эксцентриситет принимает любые значения, большие единицы. Вершины гиперболы – точки и . Можно показать, что для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная : . Это характеристическое свойство гиперболы часто принимают за определение гиперболы. Прямые , называется асимптотами гиперболы. Для равносторонней гиперболы () асимптоты взаимно перпендикулярны и представляют биссектрисы координатных углов.
2) При уравнение кривой (15) примет вид , т.е. получим пару пересекающихся прямых и .
3) При получим гиперболу с полуосями - и , называемую сопряженной с гиперболой (15) (на рисунке она изображена пунктиром).
|
Парабола
Пусть в уравнении кривой второго порядка (10) , а также один из коэффициентов или равен нулю. Пусть для определенности , , тогда
. (16)
Или, после выделения полного квадрата при y: .
Полагая , , , получим
. (17)
Кривая (17) называется параболой, точка – вершиной параболы, p – параметром параболы. При ветви параболы направлены вправо, при - влево. Прямая является осью симметрии параболы.
Если вершина параболы находится в начале координат, то уравнение (17) принимает вид:
. (18)
Точка называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.
Можно показать, что парабола представляет множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристической свойство параболы часто принимается за определение параболы.
Если в уравнении (18) поменять местами и , то получим - уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат. Это уравнение обычно записывают в виде , где . При ветви параболы направлены вверх, при - вниз.
Можно показать, что, график квадратного трехчлена есть парабола с вершиной в точке и осью симметрии , параллельной оси .
Элементы аналитической геометрии на плоскости
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!