Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-10-16 | 324 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
, .
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т.е.
.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
.
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:
.
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы).
Из каждой формулы дифференцирования вытекает соответствующая ей формула интегрирования. Например, из того, что , следует равенство .
Ниже приведена таблица основных табличных интегралов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Справедливость этих формул можно проверить дифференцированием.
Непосредственное интегрирование. Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Пример 1. Найти интеграл .
Решение. Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем
() и найдем неопределенный интеграл от степени:
.
Пример 2. Найти интеграл .
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем () и найдем неопределенный интеграл от степени:
.
Пример 3. Найти интеграл .
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями () и найдем неопределенный интеграл от степени:
|
Пример 4. Найти интеграл .
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем (), правилами действий над степенями с одинаковыми основаниями (, ), правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеем
Пример 5. Найти интеграл .
Решение. Раскроем скобки по формуле и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:
.
Пример 6. Найти интеграл .
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределенного интеграла:
.
Интегрирование методом подстановки. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.
Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.
Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:
1) часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;
2) найти дифференциал от обеих частей замены;
3) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);
4) найти полученный табличный интеграл;
5) сделать обратную замену.
Пример 7. Найти интеграл .
Решение. Произведем подстановку , тогда , откуда . Далее получаем
.
Пример 8. Найти интеграл .
Решение. Сначала положим , тогда , откуда . Далее получаем
Пример 9. Найти интеграл .
Решение. Положим , тогда откуда . Далее получаем
.
Пример 10. Найти интеграл .
Решение. Положим , тогда , откуда . Далее получаем
.
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (, - постоянные):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Так, при нахождении можно использовать формулу , где . Тогда .
Интегрирование по частям.
|
Здесь используют формулу:
Пример11. Найти интеграл: . Решение:
Пример12. Найдите интеграл: . Решение:
Пример 13. Найдите интеграл:
Определенный интеграл.
Понятие определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке . Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и . Разобьем этот отрезок на n частей точками . На каждом из частичных отрезков (i =1, 2, 3, …, n) возьмем произвольную точку и составим сумму:
,
где . Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .
Геометрически (рис. 10) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.
Рисунок 10
Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка на части получим различные интегральные суммы, а, следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».
Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются точки .
Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .
Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл от a и b от функции по » или, короче, «интеграл от a и b от функции ».
По определению,
.
Число a называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним; отрезок - отрезком интегрирования.
Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на отрезке.
Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и (рис. 10), т.е. . В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
|
2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:
.
3. Отрезок интегрировании можно разбивать на части:
, где
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:
Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница
,
Т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
1) найти неопределенный интеграл от данной функции;
2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;
3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.
Пример 14. Вычислить интеграл .
Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:
Пример 15. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:
Пример 16. Вычислить интеграл .
Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:
.
Пример 17. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!