Исследование кристаллов кубической симметрии с атомами одного сорта

Межплоскостное расстояние d_hkl в кристаллах с ПК решеткой связано с постоянной решетки а следующим соотношением.

. (15)

Используя закон Вульфа-Брэгга для максимумов первого порядка (m =l), получим

. (16)

Для определения индексов каждой линии полезно использовать соотношение

. (17)

где Q_i - соответствует линии под наименьшим углом.

Если кристалл имеет кубическую симметрию и состоит из атомов одного сорта, то для него легко рассчитать структурный фактор и найти при каких h, k, l структурный фактор обращается в ноль. Так, для кристаллов с ОЦК структурой S(h,k,l)=0, если сумма (h+k+l) - нечетное число, для кристаллов с ГЦК структурой S(h,k,l) =0, если среди h, k, l есть числа разной четности. Для кристаллов со структурой типа алмаза S(h,k,l) обращается в ноль, если h, k, l - разной четности, либо, если (h+k+1) = 2(2 m- 1), то есть удвоенное нечетное число.

Результаты этих расчетов можно представить в виде таблицы 1.

Таблица 1

(hkl)	ПК	ОЦК	ГЦК	типа алмаза	…
		-	-	-
ПО			-	-
		-
200(100)	2 пор.			-
		-	-	-
			-	-
220(110)	2 пор.
		-	-	-
300(100)	3 пор.	-	-	-
			-	-
		-
222(111)	2 пор.			-
			-	-
400(100)	4 пор.
		-	-	-
			-	-
330(110)	3 пор.		-	-
		-
420(210)	2 пор.			-
		-	-	-
			-	-
		-	-	-
			-	-
333(111)	3 пор.	-
		-	-	-
440(110)	4 пор.
		-	-	-
442(221)	2 пор.			-
		-	-	-
		-	-	-
422(211)	2 пор.

Отметим, что для кристаллов с ПК структурой индексы (200), (220) и (222) соответствуют максимумам 2-го порядка h, k, l.

В качестве h ₁, k ₁, l ₁, для ПК структуры следует выбрать индексы (100), для ОЦК индексы (110), для ГЦК и алмаза - (111). Тогда для каждой из структур можно найти ряд значений Q_i и соответствующие h _i, k _i, l _i с помощью таблицы и соотношения (19). Эти значения сведены в таблице 2.

Таблица 2

 

Номер линии i	Qi(hi,ki,li)
ПК	ОЦК	ГЦК	типа алмаза
I	1 (100)	1 (110)	1 (111)	1 (111)
	2 (110)	2 (200)	1.33 (200)	2.66 (220)
	3 (111)	3 (211)	2.66 (220)	3.67 (311)
	4 (100) 2 пор.	4 (220)	3.67 (311)	5.33 (400)
	5 (210)	5 (310)	4 (222)	6,33 (331)
	6 (211)	6 (222)	5.33 (400)	8 (422)
	8 (100) 2 пор.	7 (321)	6.33 (331)	9 (333), (511)
	9(211), (100)3 пор.	8 (400)	6.67 (420)	10.67 (440)
	10 (310)	9 (411), (330)	8 (422)	11.66 (531)
	11 (311)	10 (420)	9(333)	13.33 (620)

При обработке рентгенограммы по полученному ряду значений Q_i и данным таблицы 2 можно определить тип структуры для кристаллов кубической симметрии и каждой линии поставить в соответствие определенные индексы Миллера h, k, l.

Для определения постоянной решетки следует воспользоваться соотношением (16). При и заданном изменение D Θ становится весьма большим. Поэтому для точного определения a следует пользоваться последними линиями. Можно воспользоваться также методом экстраполяции. Значения a находят при углах в Θ >60°, строят зависимость a = f (cos² Θ) и экстраполируют ее до значений в (рис.10).

Экспериментальная часть. Порядок выполнения работы

1. Получите рентгенограмму у преподавателя.

2. Найдите расстояния .

3. Рассчитайте углы и и заполните таблицу 3.

Таблица 3

№ п/п	Li

4. Сравните ряд значений Q_i с данными табл. 2 и определите тип кристаллической структуры.

5. Найдите индексы всех линий рентгенограммы.

6. Рассчитайте постоянную решетки.

Отчет о лабораторной работе.

Отчет о лабораторной работе должен быть у каждого студента. В отчете должно содержаться следующее.

1) Краткий конспект описания, содержащий основные аналитические зависимости, используемые при проведении лабораторной работы и копия рентгенограммы (дебаеграммы).

2) Результаты расчетов индексов Миллера и постоянной решетки.

3) Ответы на контрольные вопросы.

Требования техники безопасности.

При выполнении работы по настоящей методике существует опасность поражения электрическим током. Для предупреждения поражения электрическим током необходимо соблюдать «Инструкцию № 26-09 по охране труда при выполнении работ на электроприборах, электроустановках в помещениях кафедры КФН».

Контрольные вопросы

1. Дать определение кристалла. Что такое кристаллическая структура? Методы рентгеноструктурного анализа.

1. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке. Условия Лауэ. Закон Вульфа-Брэгга. Обратная решетка.
2. Эквивалентность условия Лауэ и закона Вульфа-Брегга. Решетки Бравэ.

4. Записать выражения для структурного фактора кубического кристалла с

а) простой кубической структурой,

б) объемоцентрированной структурой,

в) гранецентрированной структурой,

если в качестве решетки Бравэ выбрана ПК решетка.

5. Найдите объем зоны Бриллюэна кубического кристалла с постоянной решетки a, если прямая решетка

а) простая кубическая,

б) объемоцентрированная кубическая,

в) гранецентрированная кубическая.

6. Описать форму ячейки Вигнера-Зейтца для кубического кристалла с ПК, ОЦК и ГЦК решетками.

1. Методы рентгеноструктурного анализа. Свойства обратной решетки.
2. Методы рентгеноструктурного анализа. Построение Эвальда.
3. Найти выражение для d_hkl в кубическом кристалле с ПК решеткой.
4. Как определить межплоскостное расстояние с наибольшей точностью.
5. Как определить тип решетки, пользуясь методом Дебая.
6. Отличие кристаллических тел от аморфных. Индексы Миллера. Их количество для кубических решеток и для гексагональных.
7. Решетка алмаза.
8. Закон Вульфа-Брегга. Метод Дебая-Шерера.
9. Структурный фактор. Принципиальная схема порошкового метода.
10. Три основных типа кубических решеток. Количество атомов в элементарной ячейке и координационное число (количество ближайших соседей).
11. Индексы Миллера? Схематично изобразить кристаллографические плоскости с индексами Миллера (100), (010), (111), (001) и (110).
12. Опишите методику определения типа кристаллической структуры и параметра решетки, использованные в лабораторной работе.
13. Определите параметр a решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решетка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность кристалла кальция равна 1.55·10³ кг/м³.
14. Напишите индексы направления прямой, проходящей через узлы [[100]] и [[001]] кубической примитивной решетки.
15. Определите число n узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.
16. Напишите индексы Миллера для плоскости, содержащей узлы с индексами [[200]], [[010]] и [[001]]. Решетка кубическая, примитивная.

Литература

Основная литература.

1. К.В.Шалимова. Физика полупроводников. 4-е изд., «Лань», Москва, 2010.

2. Гуртов В. А., Осауленко Р. Н., Физика твердого тела для инженеров, Москва: «Техносфера», 2007.

3. А. И. Ансельм. Введение в теорию полупроводников. «Лань», Санкт-Петербург, 2008.

Дополнительная литература.

1. Г.И.Епифанов. Физические основы микроэлектроники. «Советское радио», М., 1971.

2. Ч.Киттель. Введение в физику твердого тела. «Наука», М., 1978.

3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1, Мир, М., 1979.