Глава 1. Методы исследования параметрических колебаний. Система с одной степенью свободы

 

Устойчивость решений уравнений с периодическими коэффициентами.

Для механических систем, в которых возможно параметрическое возбуждение необходимо проводить исследование устойчивости систем по отношению к малым возмущениям её параметров, приводящим к параметрическим резонансам, т. е. к неустойчивости системы. Уравнение параметрических колебаний линейных систем с конечным числом степеней свободы в общем случае могут быть представлены в виде

 

, (1.1)

 

где вектор обобщённых координат, и квадратные матрицы, элементы которых – действительные функции времени. Матрица при всех является положительно определённой. На матрицы и это ограничение не накладывают. Пусть все коэффициенты уравнения (1.1) – непрерывные периодические функции времени с периодом T, то есть:

 

. (1.2)

 

Частота параметрического возбуждения связана с периодом соотношением

 

Уравнение (1.1) имеет тривиальное решение , которое отвечает невозмущённому равновесию или невозмущённому периодическому движению системы, если уравнение(1.1) получено при исследовании периодических решений. Коэффициенты уравнения зависят от некоторых параметров, характеризующих свойства параметрического воздействия и (или) системы. При некоторых значениях параметров решение может оказаться неустойчивым. Это означает, что имеет место параметрическое возбуждение колебаний механической системы. Множество точек, соответствующих неустойчивости, образуют области в пространстве параметров, которые называют областями динамической неустойчивости механической системы. Если параметрическое воздействие периодическое и если среди варьируемых параметров содержатся частоты параметрического воздействия, то особую важность представляет нахождение частотных соотношений, при которых наблюдается наиболее интенсивное параметрическое возбуждение. Эти частотные соотношения, как и возбуждаемые при этих соотношениях колебания, называют параметрическими резонансами.

 

 

Теория Флоке-Ляпунова

 

Введём матрицу-столбец фазовых переменных

Тогда уравнение (1.1) можно представить в нормальной форме Коши

 

, (1.3)

 

где матрица размерностью вида

 

, (1.4)

 

где нулевая матрица размерностью , единичная матрица той же размерности. При периодическом параметрическом возбуждении матрица периодическая, т.е. .

Система линейных дифференциальных уравнений (1.3) с периодической матрицей коэффициентов имеет совокупность линейно независимых решений, образующих фундаментальную матрицу

 

, (1.5)

 

где первый индекс обозначает номер функции, второй – номер решения. Если фундаментальная матрица удовлетворяет условию , т.е. единичной матрице размерностью , то есть фундаментальная матрица Коши или матрицант. Значение матрицанта в конце первого периода, т.е. дает матрицу перехода или матрицу монодромии. Собственные значения матрицы перехода, т.е. корни уравнения

 

(1.6)

 

называются мультипликаторами.

 

Свойства решений уравнения (1.3), в частности устойчивость или неустойчивость его нулевого решения, полностью определяются свойствами мультипликаторов. Для всякого мультипликатора найдётся хотя бы одно решение, обладающее свойством:

 

. (1.7)

 

Мультипликатору отвечает периодическое решение с периодом , мультипликатору - решение с периодом . Эти решения называют, соответственно, – и – периодическими.

Если все мультипликаторы лежат в единичном круге , причём мультипликаторы, лежащие на граничной окружности , являются либо простыми корнями уравнения (1.6), либо имеют простые элементарные делители, то решение уравнения (1.1) устойчиво по Ляпунову. Решение уравнения (1.1) асимптотически устойчиво, если все мультипликаторы лежат внутри единичного круга . Решение уравнения (1.1) неустойчиво, если среди мультипликаторов найдется хотя бы один, по модулю больший единицы , или найдутся кратные мультипликаторы с непростыми элементарными делителями [.

Выход хотя бы одного мультипликатора за единичную окружность определяет границу между областями устойчивости и неустойчивости тривиального решения уравнения (1.1) на плоскости параметров.