Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-10-07 | 539 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Векторное поле (М) называют соленоидальным в области (G), если во всех точках этой области .
С понятием соленоидального поля тесно связано понятие векторного потенциала. Если в области (G), в которой определено поле (М) существует такое векторное поле (М), что в каждой точке области (G) , то векторное поле (М) называют векторным потенциалом поля (М) в области (G).
Для поля (М), обладающего векторным потенциалом в области (G), поток через любую замкнутую поверхность, содержащуюся в области (G), равен нулю.
Поле (М), обладающее векторным потенциалом в области (G), является в ней соленоидальным. Обратное, вообще говоря, неверно: для произвольно взятой области (G) соленоидальность поля (М) еще не гарантирует существования во всей области (G) векторного потенциала поля (М). Однако, если ограничиться пространственно-односвязными областями, то соленоидальность поля и наличие у него векторного потенциала являются эквивалентными свойствами. Таким образом, в пространственно-односвязной области условие div = 0 является необходимым и достаточным для существования векторного потенциала.
Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что если соленоидальное поле задано в односвязной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность, принадлежащую этой области, равен нулю:
.
Пусть соленоидальное поле задано в односвязной области. Тогда поток вектора через любую поверхность S, натянутую на заданный контур L, не зависит от вида этой поверхности, а зависит только от контура L.
Возьмем в поле замкнутый контур L и проведем через его точки векторные линии. Образовавшаяся поверхность называется векторной трубкой. Любая другая векторная линия, не проходящая через точки контура L, либо целиком лежит в векторной трубке, либо находится вне ее. В случае поля скоростей стационарного потока жидкостей векторная трубка – это та часть пространства, которую запасной при своем перемещении фиксированный объем жидкости.
|
Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой трубки. Для соленоидальных полей имеет место так называемый закон сохранения интенсивности векторной трубки.
Если соленоидальное поле определено в односвязной области G, то интенсивность векторной трубки постоянна вдоль всей трубки.
В соленоидальном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля; они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля).
Упражнения
75. Проверить, будут ли соленоидальными поля, указанные в задаче 74.
Векторный потенциал
Векторный потенциал (М) определяется с точностью до градиента произвольного соленоидального поля f(М).
В самом деле, если rot (М)= (М) и f(M) – произвольное скалярное поле, то поскольку rot grad f(M) =0, получаем rot( (М)+grad f(M)) = rot (М)+ rot grad f(M)= (М).
Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле (М) было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал (М). Необходимость этого условия является следствием разрешимости системы дифференциальных уравнений:
(1)
при условии div = 0 ().
Покажем как можно найти векторный потенциал (М). поскольку в выборе этого вектора имеется значительная доля произвола примем Ax= 0. Тогда система (1) примет вид
(2)
Таким образом, задача сводиться к определению функции Ay и Az, удовлетворяющих условиям (2) при условии, что известные функции P, Q, R таковы, что div = 0. Пусть М0(x0,y0,z0) – фиксированная, М(x,y,z) – произвольные точки параллелепипеда W.
Рис. 6.
Рассмотрим функции
Ay(x,y,z)= Az(x,y,z)= (3)
Условие задания поля (М) в параллелепипеде с гранями, параллельными плоскостям координат, гарантирует, что пути интегрирования в этих формулах не выйдут за пределы поля. Применяя правила дифференцирования определенного интеграла по параметру и по верхнему пределу и принимая во внимание условие div = 0, получим, что обе функции Ay и Az, определенные равенствами (3) удовлетворяют и первому из условий (2). Таким образом, = Ах + Ay +Az , координаты Ay и Az определяются формулами (3). Для этого вектора выполняется условие rot = .
|
для соленоидального поля, задаваемого вектором а = 2у i - z j + 2х k.
Ответы:
10. Область определения – круг x2+y2 £9; линии уровня – семейство концентрических окружностей
x2+y2= 9 –с2 (| с | £ 3).
11. Поле определено во всем пространстве, за исключением точки r =0; поверхности уровня –сферы r=c c центром в точке, где находится заряд.
12.Поле определено в области z2+y2–x2 ³0;поверхности уровня – круговые конусы а2(z2+y2)–x2 =0 (| а | £ 1).
13. Линии уровня u=c представляют собой семейство гипербол x2–y2 =(–1) n arcsin c + p n, где n– целое число.
14. Поле определено во всем пространстве, за исключением плоскости z= 0; поверхности уровня – параболоиды вращения x2 +y2=сz (–¥< c <¥).
15. а) –4 +2 –4 . б) 12 – ; в) + .
16. Прямые, проходящие через начало координат.
17. x2 -y2=с; z=h.
18. x3 +y3=c1; z3 +y3=c2.
19. y=c1z; x2 +y2+ z2= c2y.
20. Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление вектора ; центры этих окружностей лежат на этой прямой.
22. Окружности с центром на оси Оy, проходящей через начало координат.
23. Направление наибыстрейшего возрастания функции в точке (0,0) совпадает с положительным направлением оси Оy.
24. 1) tgj»0,342, j»18052’; 2) tgj»4,87, j»78024’.
25. Отрицательная полуось оси Оy.
26. 1) cosa»0,99; a=80; 2) cosa» –0,199; a=101030’;
30. Ц = –pb2.
31. Ц = –p.
32. Ц = R6
33. а) Ц =2p; б) Y=2p.
39. .
40.
41.0.
42. 4pabc.
43. .
44. .
45. 1.
46. .
47. .
48. a) 4p a 3; б) 0. Дополните поверхность S до замкнутой; в)0; г) p. Дополните поверхность S до замкнутой; д)0; е) ; ж) 3 а 4.
52.
53. .
60. а) rot = –2cos(2 x–y–z)( +2 ); б) rot =x(z2-y2) + y(x2-z2) + z(y2-x2) ; в) rot = .
61. =20 +26 –24 .
62. .
63.–2 a 2.
64. а) Ц =2p; б) Ц =0.
68. .
69. (x3+ 2 y3+z3)+ 3 xyz + c.
70.
71. Нет.
72. Потенциальными являются поля и .
73. (x,y,z)=xyz(x+y+z)+c, где с произвольная постоянная.
74. х2 j + (хz + y2) k.
Литература
1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. М.: Госкомвуз России, 2000.
|
2. Никольский С.М. Курс математического анализа, том. II- М.: Наука, 1973.
3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. II.- М.: Наука, 1984
4. Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш.шк.,1984.
5. Ефимов А.В. и др. Математический анализ (специальные разделы) ч.II. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. - М.: Высш. шк., 1980.
6. Кальницкий Л.А и др. Специальный курс высшей математики для вутзов. М.: Высш. шк., 1976.
7. Несис Е.И. Методы математической физики. - М.: Просвещение, 1977.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1972.
9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.
10. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. - М.: Высш. шк.,1988.
11. Филиппенко В.И. Приложения кратных интегралов. – Кривой Рог, 1998.
12. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. – М.: Изд – во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!