Некоторые Формальные Решения

С тех пор как Рассел обнаружил свой парадокс в 1901 году, был предложен ряд стратегий бегства
. Феферман [9] предлагает грубую, но информативную классификацию с помощью
следующих трех лозунгов:

А) ограничить формулировки.

(B) измените логику.

C) ограничивать основные принципы.

Первый слоган отражает наиболее простой способ избежать парадокса:
идея заключается в том, чтобы просто исключить “опасные " выражения, такие как

xx или [ xx]

икс

из-за
языка. Наиболее последовательным образом это было реализовано в нескольких отчетах, основанных на
типизированных языках, самым известным из которых является простая версия теории типов Рассела
благодаря Рамсею. Другим важным примером является интенсиональная логика Монтегю
IL.

В настоящее время, по-видимому, существует широкое согласие в том, что по соображениям выразительности
правильное решение парадокса должно быть типологизировано, например, для отклоняющейся позиции [1]
или [10]. Философы, лингвисты и логики утверждают, что многие важные вещи
, которые можно было бы выразить, не поддаются выражению в типизированном языке, Подробнее
см. [4, 6, 7, 16, 23]. Например, типизированные языки не способны обрабатывать
трансцендентальные предикаты, то есть такие предикаты, как "thinks about" или "loves", которые могут
принимать аргументы различных типов, см. [5, 14]. Более того, есть и убедительные причины
о том, что подходящий язык для описания свойств должен содержать переменные,
охватывающие всю Вселенную, включая свойства всех типов, а также индивидов,
см. [4, 5, 14]. Очевидно, что существование таких однородных переменных нарушило бы
обычные ограничения типа.

Но даже если мы готовы признать обоснованность этих аргументов—а я
сильно склоняюсь к этому—мы не вправе делать более общий вывод

Наша концепция свойств

595

в том смысле, что все пути эвакуации, основанные на синтаксических ограничениях, обречены на провал.
Для большинства приведенных выше аргументов используются только ограничения типа адреса, а не общая идея
исключения определенных терминов из языка. Однако я согласен со многими другими авторами
в том, что нам следует обходиться без всякого рода синтаксических ограничений.

Но опять же, нужно быть осторожным, чтобы не сделать неверных выводов. То, что
самореферентные выражения допустимы в языке, не подразумевает существования
самоинстанциирующих свойств; термины, такие как

[ обман]

икс

не нужно обозначать (см. ниже). В
целом, свобода типа на лингвистическом уровне не гарантирует свободу типа на
онтологическом уровне. Наличие языка без типов, с помощью которого мы выражаем факты
о сущностях определенного вида, совместимо с принятием иерархического универсума
для одних и тех же сущностей.

3

Настало время обратить наше внимание на два оставшихся лозунга. Стратегии бегства, которые
вдохновляются (B) или (C), обычно сильно переплетаются друг с другом. Типичные
примеры можно найти среди теорий собственности, которые используют частичную логику.

Хотя большинство из них движимы (B), они также должны измениться, как следствие,

(1) и/или (2). Некоторые из этих объяснений были получены с помощью методов, которые
первоначально были разработаны в области теории истины, где знаменитая
статья Крипке “контур теории истины” положила начало целому ряду исследований теорий
, содержащих их собственный предикат истины. Теории свойств, подобные тем, которые были предложены
в [5, 9, 16, 23], основаны на тех же теоретико-модельных интуициях, что и теории истинности
, разработанные Крипке или Гуптой и Герцбергером.

Другая стратегия, подпадающая под (B), основана на свободной логике. Идея заключается в том, чтобы лечить

проблемные абстрактные термины, такие как

[ xx] как не обозначающие термины. Как следствие,
(2) не относится к ним, и, следовательно, вывод парадокса Рассела
, который был дан в разделе 2, блокируется. Что касается основной логики, то пропозициональная
часть классической логики может быть сохранена, только принципы для кванторов должны
быть заменены их свободными вариантами. Например, вместо того, чтобы

∀X → → ϕ (t), возьмем

что-то вроде:

∀xϕ ∧ ∃ x(x = T) → ϕ(t). Очень естественный счет после этой линии
приводит к теории свойств, которая показывает большое сходство с теорией множеств ZF, где
экстенсиональность (и основание) была отброшена, см. [4, 11, 20].

В качестве альтернативы можно было бы рассматривать все абстрактные термины как обозначающие, см. [12].
Чтобы избежать парадокса, тогда полезно различать два вида
Проперти-подобных сущностей, подобных различению класса множеств, известному из теории множеств. Универсальный
Квантор в принципе (2) будет ограничен объектами первого рода, тогда как такие термины
, как

[xx] возьмите их обозначения от второго. Аналогичный счет был
предложен Коккиареллой [8]в рамках второго порядка. В этой же статье
автор обсуждает альтернативную теорию, основанную на идее ограничения принципа (2) на
стратифицированные термины.

Хотя эти замечания, конечно, не исчерпывают всех стратегий, которые были
предложены в литературе для избежания парадокса Рассела, они должны дать по крайней мере некоторые

3

Фактически, это ситуация, с которой мы встречаемся в теории множеств, где стандартная версия ZF опирается на первый порядок

тип-свободный язык-так что условия формы

{x: x = x} или {x: x ∈ x} хорошо сформированы—но Вселенная

из всех множеств несет в себе (кумулятивную) иерархическую структуру.

596

H. Sturm

намеки на то, что это возможно. Я лично предпочитаю решение в стиле теории множеств ZF,
но это не является целью этой статьи, чтобы защитить какое-либо конкретное решение. Вместо этого я
ставлю перед собой более фундаментальную и концептуальную проблему. Прежде чем мы сможем оценить и
сравнить различные счета разумным образом, нам сначала нужно четкое понимание
того, какими должны быть наши стандарты. Решающий вопрос заключается в следующем: каковы критерии
, по которым мы должны судить о предлагаемом решении парадокса, и где мы можем
их найти?

Для начала давайте рассмотрим причины, которые обычно предлагаются, чтобы показать
, почему следует выбрать одно решение, а не другое. Ну, чтобы быть несколько несправедливым,
хотя я думаю, что это только “несколько”, кажется правильным сказать, что многие отчеты
в литературе управляются следующим правилом: сохраните вышеупомянутые принципы (1)
и (2) Для как можно большего числа терминов, не кончая непоследовательностью. Это
интересная игра, без сомнения. В частности, он говорит нам, что это максимум, который мы могли
бы ожидать. Но я не думаю, что это правильная игра для нахождения адекватного решения проблемы.
парадокс.

Вместо этого я голосую за следующий методологический принцип, который кажется мне
самоочевидным и, таким образом, для которого у меня нет аргументов, но который будет управлять
философскими соображениями, содержащимися в этой статье. Для адекватного решения этой
проблемы недостаточно избежать парадокса с помощью некоторых изящных формальных приемов.
Решение должно быть частью содержательной теории,где последняя, как предполагается, эксплицирует
ясное представление о природе свойств.