Объективность: обоснование экстраполяции

Shaughan Lavine

Абстрактный. Теория множеств может быть получена путем экстраполяции, в математически точном смысле, из

математика бесконечно больших конечных множеств. Эта экстраполяция, как я уже доказывал в другом месте,
является источником и мотивацией для теории бесконечных множеств. Но на каком основании можно утверждать
, что экстраполяция-это не просто технический трюк, а оправданный переход от знания
бесконечно большого к знанию теоретико-множественного бесконечного? Применение математики к
физике обеспечивает эти основания.

Конечная математика бесконечно большого, с ее контекстно-зависимыми границами
доступности, обеспечивает естественную установку для теории измерений. Поскольку успешная теория
корреляций и поведения некоторых видов физических измерений трактуется как теория
корреляций и поведения измерений объективных физических величин, то сама теория
объективных величин должна быть получена путем замены контекстно-зависимых
границ измерения границами “измерения” физических величин, наложенных на них.
объективной внешней физической реальностью. Эти границы фиксируются раз и навсегда, равны тому, что
существует в гипотетическом объективном мире. Но это изменение дает экстраполированную, бесконечную
версию теории измерений.

Физика использует не только измерения значений отдельных физических величин
в точках, но и измерения значений полевых величин во всей области, то есть
измерения функций. Поскольку измерения могут принимать произвольные значения,
экстраполированная математическая теория будет такой, которая допускает произвольные функции. Необходимость
интегрировать дифференциальные уравнения затем неизбежно приводит к современной теории множеств, и успех
экстраполяции в той части математики, которая применима к физике, обеспечивает доказательство ее
законности как общего метода в математике.

Я утверждал [10, 11], что теория бесконечного множества возникла путем экстраполяции (в
технически точном смысле) из теории в системе без обязательств перед фактическим
бесконечным. Эта система - то, что я назвал конечной математикой бесконечно большого,
которая сосредоточена вокруг математической работы Микельского [16] и Павликовского [19].

1

1

Микельский и Павликовский связали теорию плавника

(T)с любой обычной теорией т. Теория Fin(T)

имеет ли словарь, полученный путем увеличения словарного запаса из

T с новыми унарными предикатными символами

п

, для всех

рациональные индексы

p. аксиомы Fin(T) включают в себя те из T, которые регулярно релятивизированы относительно

с:

(∀x) (∃y)φ

становится, например,

(∀икс)(

0

(x) → (∃y)(

1

(y) ∧ φ)) или, в более наглядной сокращенной форме,

(∀икс ∈

0

)(∃год ∈

1

) φ, с кванторами большей глубины, ограниченными

s с большими подстрочными знаками. То

аксиомы плавника

(T) - это все регулярные релятивизации аксиом из T, аксиомы, которые утверждают, что

п

⊆

q

когда

p

s являются порядковыми неразличимыми, то есть если

φ и φ оба регулярны

релятивизации из

φ, то каждая формула вида (∀x

0

∈

п

)... (∀икс

н

∈

q

) (φ ↔ φ) то есть
регулярная релятивизация некоторой формулы является аксиомой. Мыцельский и Павликовский показали, что каждая модель

550

S. Lavine

Бесконечно большое-это эпистемическое, контекстуальное понятие, которое само по себе не предполагает
приверженности чему-либо бесконечному. Но это ставит вопрос: на каких основаниях мы могли
бы законно экстраполировать, принимая наш опыт бесконечно большого, чтобы действительно
иметь отношение к тому, что такое теоретико-множественная бесконечность?

Любой адекватный оправдания нашей веры в истинность современных набор
теории и мы, естественно, приверженность существования соответствующего класса сущностей
должны соответствовать (не менее) двум целям: оно должно показать, почему обычные infinitary теория множеств—
с его сильной онтологических обязательств—предпочтительно конечное множество теорий, и он
должен показать, как знание infinitistic понятия теории множеств могло бы возникнуть.
Экстраполяция может быть легко замечена, чтобы удовлетворить оба desiderata, и поэтому он будет служить в качестве
обоснования для теории множеств, как только было показано, что это мотивированная процедура и
это не просто технический трюк.

Заметьте, что когда я говорю "оправдание теории", я имею в виду оправдание в очень сильном
смысле—оправдание, или другими словами, адекватное основание полагать, что теория
истинна и упоминаемые в ней сущности существуют. Это следует четко отличать от слабых
обоснований, которые пытаются просто показать, что теория является самой простой, интересной
и достойной изучения или достойной восхищения как произведение искусства. Когда я пишу об оправдании
в остальной части этой статьи, я всегда имею в виду сильное оправдание. Я буду иногда писать
"сильное оправдание" вместо просто "оправдание", но это только для подчеркивания—я
в любом случае это означает одно и то же.

Вот как можно мотивировать экстраполяцию: когда мы применяем математические теории
к физике, если наше намерение состоит в том, чтобы моделировать не наши измерения, а объективный мир
физических величин, тогда то, что мы принимаем за доступные области конечной
математики, должно быть тем, что есть в физическом мире. Именно потому, что физический
мир не меняется вместе с нашей эпистемической ситуацией, все области оказываются равными, и
конечная теория экстраполируется в бесконечную. Экстраполяция оправдывается
предполагаемым применением, и ее результат предпочтительнее, чем лежащая в основе теория в конечной форме
математика-в той же мере, в какой мы ставим теории физического мира выше
теорий наших измерений.

Теория Fin

(T) всегда будет иметь лучшую эмпирическую поддержку, чем T: оба

объясняйте и предсказывайте одни и те же явления, но

T имеет гораздо большую онтологию без
объяснительной выгоды. Добавление рассмотрения объективности мотивирует увеличение
онтологии, и

T-это единственная теория с той онтологией, которая сохраняет объяснительную

успех Fin

T). Исходя из предложенного здесь объяснения, наши интуиции, лежащие в основе конечного

от

T имеет подструктуру с конечной областью, которая может быть расширена до модели T

ф

для каждого конечного подмножества

Т

ф

о плавнике

T). Таким образом, теория Fin(T) не имеет никакого отношения к бесконечному, даже когда это делает T. Более того,

они показали, что доказательства в

T из φ и в Fin (T) регулярной релятивизации φ тесно связаны и по
существу одинаковой сложности ([16], [10]: 273n). Таким образом, сокращение онтологического обязательства происходит
бесплатно, без потери выразительной или теоретико-доказательной способности. То

s должны быть продуманы, на мой счет,

в качестве границ текущего знания: расширение области

0

является ли то, что наиболее непосредственно доступно нам (номера

на самом деле записано, мрамор в комнате), в то время как расширение выше

s представляет элементы, которые больше

дистанционный (суммы цифр фактически записаны, шарики в соседней комнате). А теория плавников

T) разрушается

to (нотационный вариант)

T когда добавляются аксиомы, утверждающие, что все

s равны, что следует из, Для

например, из

1

⊆

0

- в силу порядка неразличимости. Вот что я называю экстраполяцией.

Объективность: обоснование экстраполяции

551

теория расширяется до своего экстраполированного аналога способом, точно аналогичным
тому, в котором наши наблюдения дают картину объективного физического мира, и
результирующее расширение теории конечных множеств является тем, что дает начало нашим понятиям о
бесконечном.

Что могло бы составить аргумент, что предлагаемое обоснование теории множеств
с помощью экстраполяции является лучшим аргументом для легитимности теории множеств, то есть лучшим
аргументом, что теория множеств истинна и что сущности, к которым она привязана, реальны?

2

Поддержать обоснование теории множеств с помощью экстраполяции-это отчасти показать, что этот
метод сильного обоснования наших теоретико-множественных практик превосходит своих конкурентов. Что
станет ясно, при условии обоснования с помощью экстраполяции соответствует некоторой минимальной достаточности
условия, потому что никаких других серьезных оснований для теории множеств, которая была предложена
как устанавливает превосходство infinitary математике для конечных математики и
показывает, как концепции infinitary математика могла возникнуть: Куайна–
Патнэма незаменимости [21, 22, 20], например, или должности, которые требуют более
чем непротиворечивость теории, чтобы оправдать его использование (например, Балагер-чистокровный
платонизма [1] или программа Гильберта [8]) не позволяют отличить
любой infinitary теории и ее аналог в конечную математику, так как всегда
выход параллельного теоремы, имеют равные консистенции сила, и notationally одинаково
простые ([16] [10]: 273n).

3

Более того, такие посты делают никакой попытки объяснить, как
мы могли бы придумать теорию бесконечного в первую очередь, и есть,
как я утверждал в другом месте ([10]: 2, 8, 140, 162, 164-165, 179, 246 247, 316-317),
особых проблем в том, как мы могли бы придумать такую теорию: у нас
никакой опыт на самом деле бесконечных систем или, по крайней мере, не было опыта, который не может быть
разумно истолковано как опыт конечных систем, как показано, например, на
тот факт, что некоторые физики считают, что природа конечна, ср. [8].

Позиции, которые пытаются представить бесконечное прямо как итерационный зачатия
[4, 5, 2, 17] или различные попытки использовать идеализированные возможности вечного
математике (например, Кантор, см. ([7]: 15, 35-36, 44), также [17, 28], ([9]:
Глава 6, 44)) предполагают infinitary концепций, она должна быть их работа, чтобы объяснить. По этой
причине они являются неадекватными обоснованиями бесконечностной математики.

Зачем вообще нам нужно обоснование для бесконечностной математики? Как
утверждал Шапиро (например, в предисловии и главе 2 из [25]), Нет
никаких веских оснований ожидать или требовать какого-либо обоснования любой математической теории, к
истине которой мы стремимся. Но это не значит, что не хотелось
бы иметь оправдания, предполагая, что оно может быть получено. В философском духе
, сравнимом с математическим духом обратной математики (см., например, [26]),
такие обоснования желательны, потому что они показывают, что от чего зависит. Более того,
без нетривиального обоснования для бесконечностной математики трудно понять, какая
мотивация могла бы быть для принятия ее в предпочтение конечной математике.

2

Поскольку я обсуждаю ниже, ничто из того, что я говорю здесь, не должно быть истолковано как аргумент, который принимает теорию множеств

требуется предварительное обоснование его законности.

3

Можно, выполняя конечную математику, оставить границы бесконечно больших множеств неявными, и в этом случае

система счисления и доказательства становятся идентичными в поверхностной форме тем из обычной математики.

552

S. Lavine

Я обсуждаю аргумент незаменимости Куайна-Патнема, хотя, как я
уже отмечал, он не может оправдать веру в теорию бесконечного множества, поскольку он
не может отличить теорию бесконечного множества от ее аналога в конечной математике. Я делаю это, потому что я принимаю
экстраполяцию, чтобы полагаться на модифицированную версию незаменимости Куайна–Путнама, и незаменимость
Куайна–Путнама подверглась атаке на нескольких разных фронтах
в последнее время [12, 27, 13].

У Куайна–Патнэма незаменимости спор принципиально форме умозаключения
на лучшее объяснение: это идея, что если математическая теория является неотъемлемой
частью нашей лучшей теории физического мира, которая является, неотъемлемой частью
физической теории, что лучше объясняющую наши наблюдения и измерения, теории
, которые мы принимаем, чтобы быть правдой с добрыми намерениями, потом что незаменимость является доказательством
истинности математической теории. Я полагаюсь на эту идею, чтобы оправдать использование теорий
конечной математики в учете наблюдений и измерений, и поэтому я должен
защитите его от других критиков. Моя критика незаменимости Куайна– Патнема в том виде, как она
обычно применяется, заключается в том, что недостаточно математики является необходимой, и поэтому незаменимость Куайна-
Патнема не выполняет работу, для которой она была использована. Он может
быть наилучшим образом использован для получения приверженности теориям конечной математики, которые теории
обеспечивают, путем построения, способность объяснить все измерения и корреляции
между ними, объясненные соответствующими обычными теориями, и сделать это с гораздо
меньшим количеством онтологических обязательств.

Первая атака на непременность Куайна–Патнема: теория множеств используется во всех физических
теориях, и поэтому успех какой-либо одной физической теории не является доказательством для или против
теории множеств [13, 27]. Этот аргумент неверен: аристотелевская физика, например,
предположительно не использовала теорию множеств, и вполне могут быть физические теории, которые
используют интуиционистскую или теоретико-категориальную математику.

4

Если теории, включающие определенный
подтеорий (например, включающие теорию множеств), настолько явно превосходят по своей объяснительной силе
теории, не включающие этот подтеорий, что любые теории, не включающие его
, выпадают из серьезного рассмотрения, то это является наилучшим возможным доказательством того, что подтеория
является частью лучшего объяснения научных явлений.

5

Вторая атака: теория множеств используется только в идеализированных физических теориях, и
поскольку мы не считаем идеализированные теории истинными, они не могут лицензировать какую-либо приверженность
истине математики, которую они используют [12]. Но (а) идеализированные теории
-это фактически лучшее, что у нас есть (и поэтому форма вывода к лучшему объяснению законно
применима), и (Б) есть все основания полагать, что менее идеализированные теории—в той
мере, в какой они становятся доступными—будут точно такими же математическими. Это устраняет
любое четкое различие между теми математическими частями идеализированной теории, которые мы
принимайте всерьез и те, что мы не делаем и тем самым лишаем всякой возможности сделать

4

Мычельский был достаточно любезен, чтобы указать мне, что теории, использующие интуитивистскую математику или категорию

теория здесь уместна.

5

Несколько абстрактные формулировки в тексте о подпоследовательностях необходимы, потому что на самом деле
есть совершенно хорошие физические теории, которые не используют теорию множеств—те, которые основаны на конечной математике—которые
предоставляют объяснения, которые по крайней мере так же хороши, как и те, которые дают теории, использующие теорию множеств.
Поэтому я абстрагируюсь от появления теории множеств в атаке. Теория множеств теперь понимается только как
возникающая в частном случае более общего аргумента.

Объективность: обоснование экстраполяции

553

использование такого различия для того, чтобы отвергнуть аргумент незаменимости Куайна–Патнема.
Например, мы не принимаем всерьез все аспекты непрерывных моделей жидкостей. Но более
реалистичные модели начинаются с тех же уравнений, и поэтому та же математика остается
столь же необходимой.

Теперь вернемся к обоснованию собственно экстраполяции. Я не буду концентрироваться
на обосновании через экстраполяцию теории множеств, но только на обосновании через
экстраполяцию элементарного анализа. Приведенное мною обоснование экстраполяции
от теории в рамках конечной математики к анализу тесно связано с
предполагаемым применением действительных чисел к измерению физических величин.

Я считаю, что сильное обоснование через экстраполяцию анализа, которое будет обсуждаться
, должно быть распространено на аналогичное обоснование теории множеств. Функции от
упорядоченных систем вещественных чисел до упорядоченных систем вещественных чисел играют роль в
измерении физических величин аналогично измерению вещественных чисел-такие
функции используются при измерении физических полей—и именно такие функции
и необходимость интегрирования уравнений в частных производных привели к теории множеств([10]: 39–
41, 47, 49-51). Поэтому я вижу ситуацию в отношении обоснования сета
теория через экстраполяцию как в высшей степени аналогичная и тесно связанная с
теорией обоснования анализа через экстраполяцию. Более того, современный анализ,
возникший, как это было с Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором, сам является теоретико-множественным, и
поэтому обоснование элементарного анализа через экстраполяцию уже является обоснованием
части теории множеств через экстраполяцию. Кроме того, независимо от того, прав ли я, что
обоснование анализа с помощью экстраполяции непосредственно распространяется на обоснование теории множеств
с помощью экстраполяции, успех применения экстраполяции к анализу сам по себе
доказательство общей валидности процедуры экстраполяции, к какой бы теории
(в том числе теории множеств) она ни применялась.

Описание действительных чисел как используемых для получения значений физических
величин в наших физических теориях, хотя и является точным в наших сегодняшних глазах, не соответствует
истории отношений между действительными числами и физическими величинами. Вплоть
до” арифметизации анализа " в середине XIX века действительные числа и
физические величины, которые мы теперь считаем их репрезентативными, не были отдельными
вещами. Действительные числа были приняты за геометрические величины, а геометрия
была интерпретированной геометрией фактического физического пространства, и так до тех пор, пока сравнительно
в последнее время при разработке нашей концепции вещественных чисел сами вещественные
числа были фактически приняты за физические величины—отношения длин
линий в физическом пространстве и тому подобное. Смотрите [10]: Глава 2 для синоптической истории и
ссылок. Таким образом, наше сегодняшнее представление о действительных числах как о пригодных для
отражения определенных свойств физических величин не является каким-то желанием физиков
или философов науки искусственно навязывать действительные числа извне. Это
была и остается центральной частью разработки и концептуализации реальных чисел
что они должны быть подобны физическим величинам в некоторых центральных отношениях. Мой аргумент
основан на этом необходимом сходстве.

Сказать, что длина стержня составляет от 4,5 до 5 метров, это просто сказать, что девять
метров палочки выстроились короче, чем две выровненные копии стержня и что десять метров

554

S. Lavine

палочки выстроились в ряд длиной более двух выровненных копий стержня. Более того, учитывая два
(системы выровненных копий) стержня, есть факт вопроса о том, одинаковы ли они
по длине, а если нет, то есть факт вопроса о том, который
длиннее. Аналогичные факты применимы ко всем физическим величинам, а не только к длине—часто по
той простой причине, что измерение многих физических величин производится
сначала путем ассоциирования этих величин с подходящими длинами, температуры в простых случаях с
длинами столбов ртути, времени с расстояниями, пройденными лучами света, и т.
д.

Каждая физическая теория берет за основу некоторую систему физических величин (которые
могут быть не длинами во всех случаях, а другими физическими величинами—например, относительными
статистическими частотами или склонностями), для которых такие сравнения возможны. То
есть, согласно всякой физической теории, возможен, раз уж выбор единицы измерения

6

было сделано, чтобы сравнить любую физическую величину с любой рациональной кратностью
единицы измерения. Обратите внимание, что я здесь обсуждаю предпосылки физических теорий, а не
экспериментальные или эпистемологические проблемы, которые часто вовлекаются в фактические
сравнения.

Современная физика исходит из предположения, что каждая физическая величина уже
меньше, больше или равна каждому рациональному множителю данной единицы этой
величины, независимо от того, проводилось ли сравнение на самом деле. Заметьте, что это является
следствием предположения, что наши физические теории касаются объективного мира
, в котором результаты подходящих физических операций—в частности, сравнения
физических величин с рациональными кратными единицами—однозначно определяются совершенно
независимо от любого человеческого вмешательства или любого человеческого знания результата.

7

Предположение об объективной природе физического мира оспаривалось
идеалистами, феноменологами, эмпириками, инструменталистами и т. д., а также, возможно,
теоретиками решетчатых калибровочных полей, но я просто отброшу здесь такие сомнения—они являются
частью другой и гораздо более широкой темы. Я полагаю, что сомнения в объективной
природе физического мира неизбежно приводят к производным сомнениям относительно статуса
бесконечностной математики. Бесконечностная математика не может быть строго обоснована иначе как на
основе некоторого допущения, подобного допущению об объективной природе физического мира.

Я только что утверждал, что это фундаментальное предположение современной физики, что каждая
физическая величина меньше, больше или равна—сопоставима—каждому рациональному
множителю данной единицы этой величины. Это следует из предположения, что
сравнение всегда может быть произведено между любой физической величиной и рациональным кратным
подходящей единицы, и предположения, что результаты таких сравнений фиксируются
заранее перед любым фактическим актом сравнения. Это означает, что физическая величина принимает
значение реального числа, так как реальные числа, можно даже сказать, по определению,

6

Любой, кто испытывает дискомфорт от необходимости выбора устройства, должен чувствовать себя свободно, чтобы заменить все мои

примеры с теми, которые касаются безразмерных констант.

7

Это так же верно для квантовой механики, как и для более известных теорий, что каждая величина сопоставима
с каждым рациональным кратным подходящей единицы, когда ограничивают внимание подходящими величинами—что
удивительно в квантовой механике не то, что таких величин нет, но что некоторые знакомые
величины не относятся к этому типу.

Объективность: обоснование экстраполяции

555

именно те объекты, которые реализуют каждую непротиворечивую систему сравнений с рациональными
числами. Мы можем видеть это, например, заметив, что величина определяет множество
всех рациональных кратных единицы меньше, чем она, и множество больше, чем она: то есть она
определяет дедекиндовый срез. Хотя я утверждал здесь, что каждая физическая величина
принимает действительное числовое значение, это никоим образом не означает, что каждое действительное число является
значением некоторой физической величины.

Предыдущие рассуждения о возможности сравнения длин
показывают, что в той мере, в какой действительные числа используются для получения значений физических величин в

объективном мире, действительные числа подчиняются трихотомии (то есть каждое меньше,
больше или равно любому другому). Таким образом, наши рассуждения исключили интуитивистские
реальности, которые не подчиняются трихотомии. Интуитивистские вещественные числа, безусловно, образуют связную
и математически интересную систему. Эта система, однако, не представляет интереса
здесь не тот, который согласуется с желанием, чтобы действительные числа были пригодны
для служения в рамках математической физики в качестве значений объективных физических величин.
Я доказывал необходимость допущения трихотомии для систем действительных
чисел, пригодных для особенно важного и исторически Центрального применения
действительных чисел. Я не показал и не думаю, что это можно было бы показать, что не может
быть причин для принятия других систем для других целей.

Давайте исследуем, как мы представляем (значения) измерений в отличие от
физических величин, для которых они являются измерениями. Придя к выводу, что
физические величины представлены вещественными числами, подчиняющимися трихотомии, мы
использовали каждое рациональное кратное единицы, бесконечное понятие. Напротив, мы
рассматриваем измерения как известные результаты. Поскольку все измерения, доступные
нам в данном экспериментальном контексте, имеют некоторую ограниченную точность, одна естественная
и знакомая модель-это модель численного анализа: конечная сетка или решетка всех точек,
например, с координатами некоторого фиксированного числа цифр, с соответствующей
теорией, заданной в терминах конечных разностей. Эта картина чрезмерно проста в нескольких
отношениях. Измерения различных величин могут иметь различную точность, и
даже измерения одного и того же количества могут иметь различную точность в различных
диапазонах. Методы измерения, как правило, охватывают только конечные диапазоны.

Нет никаких оснований предполагать, что потенциальные значения измерений образуют
хороший, регулярный массив. Вместо этого, в общем случае, область потенциально доступных значений должна
быть принята не более чем конечным набором значений соответствующего вида, обычно

ntuples рациональных чисел. Кроме того, во многих контекстах важно учитывать
возможность значений повышенной точности, то есть возможность более
точных измерений или вычисленных значений большей точности, чем измеренные
. В конце концов, это слишком хорошо известный факт, что результат измерения плюс
моделирование часто не более чем указание на то, что
потребуются более точные измерения—факт, который, среди прочего, приводит к множеству методов
численного анализа, в том числе связанных с адаптивной аппроксимацией, которые включают в себя:
интерактивное перемещение от сеток к другим, более тонким. Мораль заключается в том, что
для моделирования процесса измерения необходима не одна, а последовательность наборов доступных значений, представляющих собой улучшенные возможности точности,
причем каждый набор включает в себя предыдущий.

556

S. Lavine

Теория измерений в системе вести себя не должны зависеть от
деталей текущей измерительной техники, а поэтому теория должна быть такой, что она
работает для любой последовательности множеств допустимых значений—так, что, например,
подарок, последовательность может быть продлен в качестве измерительная техника улучшается, и так
, что теория не учитывает фактический способ, которым технология улучшает—а
изменил историю, что пропущен шаг, прыгая вперед быстрее, или, что аналогично, замедленно
вниз истории, которые интерполируются несколько шагов приведут к разной последовательности наборов
имеющиеся значения, но это само по себе не должно требовать каких-либо изменений в теории.
По только что приведенным причинам общая теория измерений на физической системе
должна быть теорией на конечной возрастающей последовательности конечных множеств доступных значений
так, чтобы члены последовательности были неразличимы по порядку относительно того, что
выражается в теории—неразличимы так, чтобы добавление или удаление членов
из последовательности не требовало изменений в теории. Таким образом, конечная математика
([14, 15, 19], см. Также [10]: 268-285) со своей иерархией конечных областей, каждая из которых
может служить конечной системой дискретных возможных значений для измерений, каждый элемент
иерархии, охватывающий большее число значений и, следовательно, допускающий большее разрешение,
которые являются порядком неразличимыми, кажется приспособленным к теории измерений, которые имеют
характер доступных с конечной, но, через изменение экспериментальной
ситуации, увеличивающейся точностью.

Наша теория физических величин, как они развиваются и ограничивают друг друга,
как бы то ни было, эмпирически отвечает параллельной теории измерений, как
их результаты развиваются и ограничивают друг друга. Это означает лишь то, что мы не проверяем
гипотетические отношения между физическими величинами непосредственно, а только через тесты
гипотетических отношений между измерениями физических величин, которые
могут быть сопоставлены с результатами, имеющими конечную точность, измерений, которые
фактически были сделаны. Сами физические величины, далекие от того, чтобы иметь известные значения, являются
понимается как обладание определенными, не зависящими от контекста ценностями, совершенно независимыми от любого
знания, которое мы можем получить о них посредством измерения.

Рассмотрим, например, некоторую обычную математическую теорию физической системы,
скажем, относительно положения вдоль линии. Противоположной ему теорией в конечной
математике будет теория, касающаяся не положений на линии, а конечных приближений—
измерений—положений вдоль линии. Предполагаемая модель теории
, касающаяся положений на линии, естественно может быть принята для включения копии действительных чисел.
Аналог теории в конечной математике будет таков, что каждый конечный набор
ее аксиом имеет модель, которая является конечной субструктурой, конечным приближением к полной
предполагаемая модель. По мере того, как добавляются новые аксиомы, они накладывают больше ограничений на модели.
Более крупные наборы аксиом воплощают в себе обязательства по все более тонким приближениям.

Каждая теорема обычной теории имеет конечный аналог, который может быть доказан с помощью
некоторого конечного набора аксиом конечной теории-аналога. Таким образом, конечный аналог
каждой теоремы имеет место в каждой достаточно тонкой последовательности приближений, и конечные
приближения всегда доступны. В конечной теории каждый Квантор ограничен
предикатом, представляющим бесконечно большое множество, где бесконечно большое означает в

Объективность: обоснование экстраполяции

557

часть, что ничто не исключается из него

8

а то как накладываются дополнительные ограничения

бесконечно большие наборы только ограничены для увеличения, ничто никогда не исключается.

9

Любые измерения и любые наблюдаемые корреляции между ними, которые могут быть
объяснены обычной теорией, могут быть объяснены точно параллельным образом
достаточно большим (хотя и конечным) подтеорием теории-аналога в конечной
математике. Каждый конечный набор фактов, выражаемых на языке обычной теории,
каждый конечный набор неравенств, представляющих измерения плюс любая конечная система
уравнений, коррелирующих значения, имеет прямой аналог, выраженный в словаре
конечной теории, и любая часть, выводимая из обычной теории, будет иметь свой аналог
выводимый в конечной теории. Если конечный набор фактов согласуется с обычной
теорией, то аналог в словаре конечной теории будет иметь конечную
модель, которая является субструктурой

10

о предполагаемой модели обычной теории

11

это
модель формулировки в конечной математике всех фактов. Последовательные
измерения и корреляции всегда могут быть добавлены, накладывая дополнительные ограничения и
тем самым уменьшая класс моделей.

Конечные модели конечной теории отражают измеренные и вычисленные
экспериментальные доказательства и теоретические корреляции таким образом, что точно соответствует
обычной теории, но конечные модели только кодируют приверженность системе конечного
числа объектов и корреляций, отслеживая то, что наши измерения и вычисления
действительно показывают.

Как я только что описал, теории конечной математики объясняют наши
наблюдения точно так же, как и более знакомые теории, использующие обычную математику, и
они не несут никакой приверженности чему-либо бесконечному, что является преимуществом
, поскольку это означает, что они избегают обязательств, для которых у нас нет никаких наблюдательных
доказательств. Кроме того, теории конечной математики не сложнее доказать теоремы
, чем классические теории, как я уже говорил выше. Итак, какую возможную причину
мы могли бы иметь для предпочтения обычных теорий теориям конечной математики
для применения в науке?

То, что есть в мире, - это просто то, что есть, совершенно независимо от наших измерений
этого, и это не зависит от контекста. В конце концов, фундаментальной частью объективности является то, что
в мире нет различных степеней бытия, аналогичных возрастающим степеням

8

Говоря более точно, “ничто не исключается из множества” означает, что для каждого конечного подмножества

Т

ф

от

Плавник

(T), каждый предикат

представление бесконечно большого множества, которое используется в любой из аксиом

Т

ф

, для

каждая модель M из обычной теории T, каждая конечная модель F из T

ф

то есть расширение субструктуры

M, и каждый член M области M, существует модель T

ф

это имеет F в качестве субструктуры, то есть

расширение субструктуры M, и которая имеет m в своей области и в расширении

.

9

Говоря точнее “ " они только вынуждены увеличиваться

... "означает, что в любой теории конечных

математика и для любого предиката

представляя бесконечно большое множество в этой теории, нет никакой теоремы

форма

(∀x) (φ (x) → (x)). Это является следствием того, что ничто не исключается из любого

бесконечно большой набор.

10

Существует небольшое упрощение в тексте: словарь конечной теории включает, помимо
словаря обычной теории, предикаты для бесконечно больших множеств, и поэтому конечная модель не
является буквально субструктурой, как утверждается: это расширение такой структуры до расширенного словаря,
расширение с неизменной областью.

11

“Предназначенный " здесь не играет никакой математической роли: результат, указанный в тексте, применим к любой модели.

558

S. Lavine

точности измерений. Таким образом, подходящей теорией относительно положений
вдоль линии является теория, в которой существует одна неизменная область, а не иерархия
возрастающих областей, характерная для измерений возрастающей точности, моделируемых
конечными структурами конечной математики. Теория фиксированной области-это теория
, в которой все границы кванторов фиксированы и равны друг другу, и в
нашем случае это должна быть теория, параллельная нашей теории в рамках конечной математики
относительно измерения вдоль линии, чтобы обеспечить параллельные объяснения кванторов.
наши наблюдения и измерения. Следовательно, теория, касающаяся положений, должна
быть теорией, экстраполированной из теории, касающейся измерений, то есть
получаемой из этой теории путем перехода от многих областей к одной,
требуя, чтобы все области были равны. Но это экстраполяция в том смысле, который я
предложил ([10]: 257-258)—она сводится к отбрасыванию границ последовательности
множеств, которые теперь излишни. Теория, экстраполированная из любой разумной теории
, кас<