Математики и математические объекты

Роберт С. Д. Томас

Абстрактный. В статье показано, почему это возможно и даже разумно для математиков, чтобы быть

безразличен к онтологии математических объектов. Вместо таких объектов математика имеет
дело с "отношениями между объектами" или "типами отношений", говоря словами Пуанкаре и Рассела,
так называемые объекты являются простыми местоимениями. Онтологическая позиция не принимается, и
ставится под сомнение осмысленность решения вопроса о том, существует ли местоимение в отличие от существования
того, что это местоимение может быть использовано для обозначения в прикладной математике. Рассуждения о
том, что может существовать, а что нет, становятся приемлемыми для философов, возможно, благодаря притворству, предложенному Марком
Кримминс для семантики, основываясь на том, что предложил Кендалл Уолтон для эстетики.

Я благодарен за эту возможность обсудить с философами загадку их
различных взглядов на математические объекты. Выступая тогда как математик перед
философами, я хотел бы указать и в какой-то мере обосновать точку зрения некоторых из нас
и сделать небольшую попытку примирить вас с ней. Я не буду иметь ничего общего с
платонизмом в будние дни и формализмом в выходные. То отношение, которое я имею к самому себе
и хочу несколько оправдать и примирить вас с ним, не заботится об онтологии,
которая, несмотря на общность ее смысла, кажется всегда изучением вещей.
Позвольте мне немного пояснить. Это мое наблюдение, что математика имеет дело, как писал Рассел
в "принципах математики", с " типами отношений... истинный предмет
обсуждения, однако плохая фразеология может скрыть этот факт’ ([37]: §27, 23). Хотя
я не разделяю его очевидной точки зрения, что обычный способ говорить математически-это просто
"плохая фразеология", она действительно маскирует предмет. Это плохо только в том случае, если вы рассматриваете
определение предмета как более важное, чем просто высказывание о нем.
Рассел признает намеки на это восприятие у де Моргана, развитие его Пирсом
и Шредер, и решающий долг перед Муром за его мнение ([37]: §27, 24), кое в
чем он был согласен с Пуанкаре.

1

Мой способ описания того, что Рассел называет "маскировкой"
, заключается в том, что, желая обсудить отношения, мы постулируем—в особенно слабом или тонком
математическом смысле этого слова—объекты, стоящие в этих отношениях. Если бы онтология чаще
касалась отношений, то у нас были бы основания относиться к ней более серьезно.

2

1

- Математики изучают не объекты, а отношения между объектами. Им
безразлично, если эти объекты заменяются другими, при условии, что отношения не меняются.'- Страница 20
английского перевода в [35]. Предмет - это виды

n-арные отношения, где n

≥

2.

2

Фреге тщательно различает объекты и отношения и обсуждает отношения в той части
Grundlagen, которая занимает §§70-83. Грей кратко рассматривает исследование отношений в XIX веке, проведенное
Пирсом, Шредером и Фреге в [16].

578

Р. С. Д. Томас

Хотя философы могли бы обсуждать отцовство так же, как они обсуждают справедливость и другие
абстракции, математический способ обсуждения отцовства состоял бы в том, чтобы постулировать
отца и ребенка и обсуждать отношение в этих терминах, которые имеют функцию
обозначения того, кто является отцом и кто является его ребенком. Может быть, в
некотором смысле такое постулирование вызывает к существованию постулаты или какую-то более
ослабленную форму жизни, но для целей математического обсуждения это побочный
вопрос. Суть этой расплывчатости, как ее можно было бы подумать или замаскировать, как назвал Рассел
оно состоит в том, что оно систематически рассматривает все, что делает или могло бы стоять в рассматриваемых отношениях
. Целые числа Цермело и фон Неймана одинаково полезны в качестве примеров
, пока мы рассматриваем соответствующие отношения, которые они иллюстрируют, и игнорируем
отношения, которые они имеют, но которые не рассматриваются. Это не совсем отличается
от старомодного использования диаграмм, которое не вводило в заблуждение до тех пор
, пока из них не получались отношения, которые на самом деле не постулировались, но случайно появлялись на
диаграмме. Потому что мы обсуждаем все, что угодно, объектные термины математики—или
так что я утверждаю-местоименны не имена.

3

Поскольку я объяснил это довольно подробно
в другом месте [40, 41] и расскажу об этом позже, я собираюсь оставить это сейчас. Наиболее
обширным выражением реляционного взгляда, главным образом выраженного в терминах функций, является
книга "математика: форма и функция " Сондерса Мак-Лейна [31], повсеместно
игнорируемая с момента ее публикации в 1986 году.

Поэтому я просто продолжаю указывать, что я не думаю, что математики должны уделять много
внимания онтологии. Я считаю, что вопрос о существовании недостаточно хорошо определен
, чтобы подлежать обсуждению не в перекрестных целях. Это мой практический вывод
из чтения чего-то даже столь разумного, как статья Чарльза Парсонса 1982 года "объекты
и логика". С одной стороны, можно найти философов, готовых отстаивать
существование любых и всех математических объектов. С другой стороны, можно обнаружить
, что философы отговаривают нас от веры в то, что какие-либо математические объекты вообще существуют. Я
не уверен, что они означают противоположные вещи. Первый вид аргументов может иметь мало
эффекта, потому что вид существования, который отстаивают философы, бесполезен для
математиков, а второй вид лучше игнорировать, потому что исторически такие отрицательные
аргументы, независимо от того, исходят ли они от философов или самих математиков,
только замедлили принятие математических достижений, таких как дифференциальное исчисление и
комплексные числа. Другой контраст во многом той же цели заключается в том, что между
двумя социальными конструктивистскими философиями Рубена Герша и Пауля Эрнеста, оба обученные
в математике. В [20] Герш говорит, что математические объекты социально сконструированы
и поэтому существуют. В [13] Эрнест говорит, что математика социально сконструирована, но ее объекты
не существуют. Противоположные онтологические тезисы не имеют различных следствий в
двух вариантах социального конструктивизма. Я думаю, что такого количества аргументов было бы достаточно для
математической аудитории. Я хотел бы, прежде чем я закончу, сделать свое дело респектабельным для
философской аудитории.

Я лишь намекну на хитроумно разработанный аргумент Марка Балагера в [4], что

"нет никакого факта в вопросе о том, истинно ли” существуют абстрактные объекты"’

3

В [16] Джереми Грей упоминает, что Пирс назвал некоторые из своих переменных "местоимениями" в " на алгебре

логики’, Амер. J. Математика. 7 (1885), 180–202.

Математики и математические объекты

579

потому что недостаточно ясно, что это говорит, " т. е. потому что предложение не
выбирает состояние дел, которое должно было бы получить, чтобы оно было истинным" (личное
сообщение, 2002 6 26). Это очень близко к моему отказу от более узкого вопроса
о математических объектах. Я обращаюсь только к более узкому вопросу.

Мне любопытна реакция философов на аргумент о том, что мы
должны быть способны достоверно рассуждать о том, чего не существует, а также о том, что существует.
Это аргумент, который игнорирует то, что математика должна иметь дело с реальным и
нереальным на равных основаниях—как согласился Рассел, рассматривая Meinong (Russell [36],
цитируемый в Smith [38]: 308). Она основана на том, для чего нужны рассуждения. Эволюционное
преимущество, которое дает человеку наша способность рассуждать, заключается не в том, что она позволяет нам мыслить
исторически или думать о настоящем, которое быстро становится прошлым и поэтому нет
дольше настоящий. Это наша способность думать и, следовательно, планировать будущее, большая часть
которого не только нереальна в том смысле, что еще не произошла (гипотетическая)
, но и нереальна в том смысле, что ее можно избежать (предотвратимое). Предотвратимое будущее
является одним из самых важных и основных вопросов, о которых мы рассуждаем.

Можно сказать, что математическая практика не находится или не должна находиться под влиянием
онтологии. Я слышал, что это оспаривается с двусмысленностью по онтологии, и поэтому я
хочу прояснить, что я имею в виду. Очевидно, математическая практика была подвержена влиянию
онтологии в том смысле, что люди думают, что есть; конечно, то, что мы думаем, влияет
на то, что мы делаем. Следует иметь в виду, что математическая практика не находится под влиянием
онтологии в смысле того, что есть; опять же, конечно, мы находимся
под влиянием неспособности разумно говорить в определенных направлениях. Так что по большей части мы об этом не говорим
то, что вовлекает нас в противоречие, хотя этот вывод недавно был оспорен.

В моем философском чтении я редко сталкивался с каким-либо аргументом в пользу
того, что вопрос существования имеет значение; это просто основное занятие—именно там, как
Гора Эверест. Таким образом, я не противостою какому— то важному аргументу, а скорее пытаюсь
отбить широко распространенное неявное мнение о том, что математическая онтология важна-
более важна, чем соображения, которые помогли бы нам
лучше понять математику, cf. [32]. Какое это имеет отношение к Расселу? Я думаю, что Рассел сделал
неправильный поворот, когда он взял то, что, кажется, было предубеждением Фреге, что то, что он сделал, было предубеждением Фреге.
материя-это только то, что существует. Из-за своего изначально благоприятного расположения к Мейнонгу,
Рассел повернулся против него и после этого, кажется, не упустил ни
одной возможности посмеяться над ним [38]. Говоря, что Рассел сбился с пути, я не имею в виду поддержку Meinong
против Рассела. Мейнонг, по-видимому, мыслит отношения менее существующими, чем объекты
(просто то, что часто называют "существующим"), в то время как я думаю, что обратное может быть ближе к
истине. Точно так же меня не очень интересует место проведения дискуссии Мейнонг-Рассел, невозможные
объекты. Как только мы определяем, что математические объекты невозможны, мы игнорируем
их. Слабость математического смысла постулирования подчеркивается тем
фактом, что мы постулируем их даже ради доказательства их невозможности. Но
важно, что мы можем говорить о них—так, чтобы определить, что они невозможны.

То, что я имею в виду о неправильном повороте Рассела, заключается в том, что, отвергая проблемы, которые

Мейнонг поднял или, думая, что он дал им свои окончательные решения, он
ошибался. Возможно, последнюю ошибку следует приписать другим, но Расселу

580

Р. С. Д. Томас

он помог им, перейдя от уважительного тона его переписки с Мейнонг
к более поздним насмешкам над ним. Чтобы изложить этот вопрос в моих собственных терминах, мне нужно указать,
что прикладная математика отличается и в некоторых отношениях сложнее, чем чистая
математика. Мейнонг, как я понимаю, что он пытался сделать, пытался
создать математическую модель рассуждений и следствий—как и Рассел. Во всех
усилиях по математическому моделированию есть практическое решение, насколько упростить
моделируемую в модели, чтобы иметь сглаживаемую модель. Если одно упрощает слишком
во многом получается чистая математика, не имеющая никакого отношения к области применения. Если
кто-то слишком мало упрощает, у него есть только описание этой области, и никакая математика
, в которой он может успешно работать. Можно сказать, что Мейнонг ошибался в прикладном направлении,
а Рассел-в чистом. То, что Рассел, по-видимому, выиграл этот день
, среди прочего, замедлило эффективное моделирование этого аспекта рассуждений
и следствий. Он подготовил пустынный ландшафт, который так любил Куайн; самая
плодородная земля-это умеренная зона между пустыней Куайна и джунглями Мейнонга.

Мы все делаем ошибки, и в этом повороте я думаю, что Рассел сделал ошибку, ошибку
, которую аналитическая традиция сохранила до наших дней. Даже Фреге был не
в состоянии поддерживать этот взгляд с последовательностью. В своем знаменитом письме к Журдану

4

он
составил первый из научно-фантастических примеров, любимых аналитическими философами, со своими
горами Афла и Атеб, о которых он рассуждает и, очевидно, ожидает, что его читатель
рассуждает, несмотря на их референциальную пустоту.

5

Этот научно-фантастический материал-единственное
место, где я полностью сочувствую аналитическому отказу от обсуждения того, что
, как известно, не существует. Здесь мы явно имеем дело с ситуацией "делай так, как я говорю, а не так, как я делаю". Я
собрал небольшой список возражающих против этого предрассудка [41].

Аргумент незаменимости Куайна-Патнема не утверждает, что этот вопрос
важен, что наше принятие фиксированного взгляда на этот вопрос является необходимым, а скорее
предполагает, что наука является подходящим арбитром того, что существует и не существует—
сомнительная предпосылка в свете беспомощности науки во многих интимных вопросах.

И он делает вывод из научного использования математики, что так называемые объекты

математика должна существовать. Это всего лишь еще один аргумент в пользу существования математических объектов
. Мое неприятие той разновидности учености девятнадцатого века, на которой
основан этот аргумент, само по себе не представляет интереса, но мое встречное предложение может быть более ценным. Если

4

Философская и математическая переписка, стр. 80, цитируется в [14]: 14ff.

5

Гарет Эванс обсуждает разновидность притворства, которая постулирует вещи в разделе 10.2, "игры в футбол".

выдумка", называя их "экзистенциально творческими".

Экзистенциально творческая игра воображения может дать начало возможности кого-то

притворно думая о чем-то или ссылаясь на что-то, на самом деле не думая
ни о чем и ни на что не ссылаясь. ([14]: 360)

В его устах это звучит необычно. Для того чтобы точно сказать, что он имеет в виду, он отбрасывает общепринятую локацию
слов "ссылаясь" и возвращается к более правильной ссылке со стороны людей. Он действительно упоминает основание
для его объективности, упоминая способность "сосредотачиваться на том же самом (пустом) месте в силу содержания того
же самого описания" ([14]: 360ff.) и придание ему некоторого акцента. Логическое болото, открытое нашей привычкой
компетентно обращаться с пустыми сингулярными терминами, упоминается Эвансом в № 43 на 37, но не его уместность
либо понарошку (обсуждается гораздо позже в незаконченной книге), либо по математике (которой нет даже в
указателе).

Математики и математические объекты

581

мы собираемся использовать науку для изучения математических объектов и того, как мы
их используем, тогда мы должны изучать не физику, а когнитивную науку, например
работу Джорджа Лакоффа, Марка Джонсона и Рафаэля Нуньеса.

6

И выводы
, которые мы можем сделать из таких исследований, не будут в первую очередь онтологическими. Однако они могут
быть интересными или важными. Прочитав недавнюю книгу Лакоффа и Нуньеса, пока
я готовил этот документ, я могу добавить, что они, безусловно, будут спорными.

Я хотел бы видеть математическую эпистемологию, проводимую в онтологически нейтральном ключе.
Аргументы, что математические или все абстрактные объекты не существуют в том или ином смысле

не носите универсального убеждения. Доводы о том, что эти вещи действительно существуют, также не
оправдывают себя. Даже если Балагер не прав в том, что нет никакого факта
по вопросу о существовании, совершенно определенно нет никакого принятого ответа. Поэтому представляется разумным
основывать, по крайней мере, некоторые усилия в других областях философии математики
на этом хорошо установленном эмпирическом факте. Философия науки живет достаточно счастливо
с угрозой того, что какое-либо конкретное научное образование может через год или около того раствориться в
ряде других образований, может перестать существовать, как это считалось раньше. Может быть реально и так
возможно, нет-это то, как Марио Бунге характеризует "научное разнообразие реализма" в [9]:
262: "научные теории относятся к мнимо реальным сущностям, хотя некоторые из таких сущностей
могут оказаться несуществующими". Обычно считается, что физические постулаты не
существуют, затем они существуют, а затем их заменяют. Давайте сделаем то же самое в математике и посмотрим
, что мы можем получить. Мы могли бы даже получить объяснение, почему онтология (даже рассматриваемая
как о фактах материи) настолько бесполезна, что Аззуни называет ее "эпистемической ролевой
головоломкой" [1, 2]. Как минимум, отношения должны быть равны биллингу с объектами, так как
первые являются более простыми, а также более интересными. Я шокировал философов
своей непринужденностью в принятии этой анонтологической установки и своей неспособностью выразить
на языке, который они могут принять, насколько она последовательна. У кента Баха есть решение проблемы
для художественной литературы в его [3]: 216, но применимое более широко; ссылка делается на историю
(теорию или любой контекст), в котором появляется вымышленный объект. Это кажется просто
полицейский из-за математики, если не для художественной литературы. Существует и другая точка зрения, связанная с
Питером ван Инвагеном [44]

7

против этого Гарет Эванс возражает в различных ссылках.
Существует мнение, что нереальным вымышленным персонажам в пьесах, например, соответствуют
реальные абстрактные объекты, которые авторы создают вместе со своими вымышленными
произведениями и которые обсуждают критики. Это позволило бы не иметь математических
объектов для математиков, но абстрактные симулякры для философов. Эванс
указывает, что он игнорирует необходимость заниматься притворством ради
фоновой информации, что притворство существует, и что понятие чрезмерно
изощренный для нужд такого дискурса ([14]: 367).

Применение Марком Кримминсом [11] понятия притворства Кендалла Уолтона [45]

к Фрегейским способам изложения это как раз тот подход, который требуется.

8

Я хочу использовать этот инструмент

6

Лакофф и Джонсон [28], Лакофф и Нуньес [29].

7

В [21]: 145 Гарольд Ходс упоминает его как часто приписываются Мейнонг, и относит его также
к Крипке (в выступления в Корнельском университете в 1982 году) и Серл (в ‘логический статус вымышленного дискурса в
слова и смысл, Нью-Йорк: издательство Кембриджского университета, 1979), где я не смог найти
его.

582

Р. С. Д. Томас

чтобы объяснить неуместность (в том смысле, который я объяснил) онтологии для математической
практики. Я не пытаюсь сформулировать философию математики, а скорее
объяснить, почему человек может быть заинтересован как математикой, так и философией математики
и не заинтересован в том, чтобы иметь определенную онтологию математики.

Ничто здесь не оборачивается против правильности интерпретаций Фреге, Рассела и Уолтона Кримминса
; поэтому, когда я говорю "Фреге", я имею в виду Фреге Кримминса, которого я не отождествляю
с историческим Фреге. Так же как и "Рассел" и "Уолтон". Кримминс интерпретирует Фреге
как создание нетривиального смысла утверждений тождества, таких как "Геспер есть фосфор",
делая их утверждениями об идентичности чувств "Геспера" и
"фосфора", нетривиальных из-за различных способов представления одного объекта. И
он интерпретирует Рассела как отвергающего атрибуцию отношений в таких случаях.

Скорее, они утверждают сложные утверждения о том, какого рода вещи существуют:
например, "Геспер есть фосфор" может утверждать, что существует вещь
, которая является как первой звездой, видимой в вечернем небе (в одно время года), так и
последней звездой, видимой в утреннем небе (в другое время года). ([11]: 2)

Обращая внимание на феноменологию таких утверждений, как "Геспер есть
фосфор" и "Скотт есть автор Веверлея ", Кримминс утверждает, что мы вовлечены в такие
случаи в том, что он называет семантическим притворством. Мы делаем вид, что есть две вещи
, а затем идентифицируем их. Притворство не является постоянным, но оно объясняет наши способы
мышления о нетривиальных идентичностях. Он также указывает, что мы можем делать осмысленные
заявления о реальных людях в терминах вымышленных персонажей, используя пример " Энн
так же умна, как Холмс, и более скромна, чем Ватсон.'Хотя это утверждение, как и любое другое
высказывание на свою тему, можно упрекнуть за неточность, ее неточность не связана с
вымышленным характером вымышленных персонажей. Поскольку такое использование вымышленных персонажей
не вовлекает нас в игру воображения, как чтение рассказа, он называет это притворство
поверхностным, но настаивает на том, что степень притворства необходима, чтобы такое утверждение имело
какой-либо смысл вообще. И я думаю, что он прав; подлинное условие истинности утверждения Энн
зависит от вымышленных условий истинности утверждений историй. Он
излагает процесс интерпретации заявления Энн в пяти шагах:

Существует преходящий контекст притворства, в котором некоторые пропозиции
явно выдуманы …

Вымышленная истинность некоторых других предложений генерируется из реальности
[в данном случае сравнения Энн и вымышленных персонажей] …

Это фиктивно верно, что я выразил предложение с моим высказыванием
[утверждение Энн] …

Учитывая параметры выдумки, для того чтобы быть фиктивно истинным, что
предложение, которое я выразил с помощью [утверждения Энн], истинно, это для

8

У стефеньябло есть еще одно объяснение, основанное на притворстве, включающее метафору [48, 49]. J. P. Van Bendegem
также недавно написал о метафоре в этом контексте [43]. Как эти труды соотносятся с так называемыми метафорами
Лакоффа, Джонсона и Нуньеса-большой и, возможно, трудный вопрос.

Математики и математические объекты

583

[более сложное утверждение, сравнивающее степени ума и
скромности, приписываемые персонажам и Энн], чтобы быть правдой. …

Чтобы мое высказывание было подлинно, серьезно истинным, необходимо и
достаточно, чтобы оно было вымышленно истинным... ([11]: 6)

Я просто набросал здесь предложение Кримминса. Он более подробно и обсуждает
литературу, которая, по его мнению, имеет отношение к его заявлениям о том, что такое отношение говорящего:
они притворяются? Обратите внимание, что он претендует на уровень притворства, который является поверхностным, достаточно глубоким
, чтобы преодолеть точку, которую делает вымышленная ссылка.

[I]N различая мысли по способу представления мы говорим так, как будто мы
различаем среди вещей, о которых думаем...мы обычно говорим так, как будто
мы имеем в виду разные вещи... ([11]: 14)

И, конечно же, он отстаивает свои претензии. Он подводит итог.

Если мы не совсем стандартно говорите, как будто мы в языковом манипулировании
вещи, когда на самом деле мы манипулируем режимы презентация, и если
притворство счет дает правдоподобную историю о том, как вещь-язык
удается сделать эту работу, то совсем неважно, что мы обычно не
думаем о себе как притворяться, что Геспер и фосфор являются две
вещи. ([11]: 15)

То, что мы обычно думаем, не имеет значения; то, что нам нужно, - это объяснение. Примечание,

однако, что в этом объяснении есть сдвиг от его значения того, что есть, к
его значению того, что мы думаем. Но то, что мы думаем, основано на объективных доказательствах как
рассказов Холмса, так и Энн. И Кримминс утверждает, что сохранил хорошую часть
объяснений Фреге и Рассела без частей, которые он осуждает как "их худшие
проблемы" ([11]: 17).

Описание притворства предлагает глубокое и феноменологически правдоподобное
объяснение [стандартной] семантики.... понимание косвенно
серьезного дискурса, которое стало возможным благодаря работе Уолтона в
области эстетики. ([11]: 32)

Уолтон предполагает, несколько неуверенно, что в разговоре о том, что делает и

мы могли бы притворяться, что "существует"
выражает различающее свойство—свойство, которым обладает не все.
([11]: 33)

Такое притворство безопаснее, чем соответствующее утверждение.

Это делает чудесный смысл многих загадочных разговоров о существовании...
([11]: 33)

Мы можем придать не парадоксальный смысл разговорам о вещах, которых не существует. Нам нужно

больше не задавайтесь вопросом С C. J. F. Williams [47], необходимо ли исследовать a

584

Р. С. Д. Томас

много синих Лютиков, прежде чем согласиться, что "ни один из них не существует, что как разновидность синего
лютика не хватает существования". Мы также можем иметь смысл говорить о том, о чем мы не знаем
, чтобы существовать. Мы относимся к ним так, как будто они существуют, даже если мы не обращали никакого внимания на Ханса

Вайхингер [42].

Между крайними позициями того, что Марк Балагер называет полнокровным платонизмом
(которого придерживается Джеймс Роберт Браун в [8] по крайней мере) и фикционализмом Хартри Филда, который
утверждает, что все математические ссылки пусты, существует большое количество потенциальных
позиций, многие из которых занимают кто-то. Однако люди, занимающие все эти позиции
, похоже, используют реалистическую семантику и успешно общаются с математическими и
даже некоторыми философскими целями. Я действительно предполагаю, что они не общаются
так хорошо, как было бы удобно, но не через неудачи математической ссылки.
Притязание кримминса - это то, что с уверенностью можно сказать о романисте,
поскольку математические абстракции для него онтологически равны Шерлоку
Холмсу, для которого была разработана картина Кримминса. Только чистокровный платоник
не нуждается в притворстве. Все люди с промежуточными позициями и которые различаются
тем, какие математические объекты существуют или что означает, что существуют те, о которых они думают
, существуют,

9

можно понять, что они действуют под предлогом Кримминса, когда они, по-видимому
, ссылаются на то, что они не подтверждают существование. Мы должны иметь в виду, что
заявление о том, что

x-это тема наших мыслей, а разговор-скорее a

высказывание о нас чем то напоминает

это не имеет никакого значения, где находится
граница существования-несуществования, поскольку стратегия совладания невидима;
в крайнем случае границы могут быть в разных местах для нескольких собеседников, и
никому не нужно знать или заботиться, где находятся границы. Картина кримминса выглядит точно
так же, как реалистическая семантика, будучи паразитической на ней, и поэтому ее можно приписать людям, большинство
из которых никогда не слышали о ней. Он задуман, по крайней мере мной, как объяснение для
философов явления, которое они могут наблюдать сами, математическое явление.
уровень постулирования, который не предполагает никакого утверждения существования и который,
например, Браун ([8]: 100) приписывает Гильберту.

Существование математических объектов, которые, по-видимому, имели значение для
древних греков, можно, соответственно, считать подобными учебным колесам. Они нужны поначалу,
но так как они нужны все меньше и меньше, есть ли они там или нет, становится все менее
важным, в конечном счете не имеющим значения. Это не означает, что учебные колеса
и математические объекты не существуют; это просто должно быть ярким способом указать,
что для велосипедиста и математика, соответственно, их присутствие и существование
не имеет значения. Стоит подчеркнуть, что я не говорю, что математические

9

Интерпретируя определение пустого класса в Principia Mathematica как означающее ‘что "пустой класс
-это область логически противоречивого" ([33]: 416ff.), Альберт менне приходит к выводу, что вид существования
объекта есть "отрицание того, что он логически противоречив" ([33]: 417). Он возражает против одного вида
существования для " Кельнского собора, простого числа между 35 и 40, класса, который равен дополнению
его дополнения, жены Зевса и Гулливера "([33]: 417), упоминая мимоходом, что взять только
здание как реальное сделало бы всю математику фиктивной и утверждает, что существование зависит
от "универсума дискурса", который мы принимаем за базовый, будь то "реальный, математический, логический, мифологический
или поэтический" соответственно. Менне предлагает, чтобы все экзистенциальные утверждения принимались относительно материального
предиката, допуская те, которые он перечислил, и такие другие, которые необходимы.

Математики и математические объекты

585

объекты не существуют; это вопрос, на который у меня нет причин придерживаться какого-либо фиксированного взгляда.
Я не вижу, как другие, даже с позиций сочувствую, можете быть уверены в своих
выводах, например, Azzouni, ‘... там действительно нет смысла в которых эти объекты постулируются
существовать отдельно от их роли в качестве референтов конкретных грамматических структур (например, существительное
фразы) в системах’ ([1]: 88). Я говорю, что это не имеет значения, и пытаюсь
объяснить, с помощью притворства произвольной глубины (используя метафору Кримминса),
почему это не имеет значения. Чтобы считать, что все математики делают вид, что математические
существование объектов было бы фактически неверным. То, что является фактом и нуждается в объяснении, - это почему
многие не заботятся и поэтому свободны от онтологических обязательств, которые
требуют многие философы (из них!)

10

вот что они делают.

11

Возвращаясь к Расселу, я пытался
указать, почему неразумно поддерживать то, что говорит Элизабет ИМС [12], было
его последовательной пост-Мейнонгской позицией ‘что " термины логики и математики... могут быть

10

Такое требование Филд выдвигает во второй своей книге [15].

... математическая теория, взятая за чистую монету, - это теория, которая в первую очередь касается некоторой
постулируемой области математических сущностей: чисел, функций, множеств или чего-то еще (или
какой-то комбинации, например чисел и множеств вместе). Вы не можете последовательно верить в
теорию, не веря в сущности, которые она постулирует. ([15]: 2)

Поле, по-видимому, использует "постулат" в более сильном философском смысле. Эта цитата иллюстрирует, что
саморекламаное поле фикционализма игнорирует вымысел, а также предполагает, что математики "верят" в так называемые
математические объекты. С изобретением неевклидовых геометрий математики и другие начали
не верить даже в теории—как это было раньше-гораздо меньше в объекты, которыми они населены
. Вот в чем заключается актуальность точки зрения, что эти истории, которые написаны как история, могут быть вымыслом; что
мы не можем знать, что именно, и это, к счастью, не имеет значения. Мы знаем, что наборы аксиом для эллиптических,
евклидовых и гиперболических геометрий противоречат друг другу. В отличие от Филда, Балагер [4] не игнорирует
беллетристику, но его книга не очень удачно соотносит математику и беллетристику.

11

Проблема объективности математики-это та проблема, которая может быть усилена без
онтологии, в частности без реальных объектов, на которые может ссылаться наш язык. С другой стороны, можно считать, что реальные объекты, к
которым привязан язык, делают рассуждения человека или каждого человека неуместными или, по крайней
мере, играют второстепенную роль по отношению к ранее существовавшим отношениям, к которым у человека нет доступа. Отсутствие
ранее существовавших объектов или игнорирование их, если они должны были бы существовать, позволяет нам свободно использовать различные
разновидности логики вместо того, чтобы зависеть от совершенно правильного, каким бы оно ни было. Часто упоминается в
этой связи Георг Крайзель, в частности его обзор замечаний Витгенштейна об основах
математики [25] и статья [26]. Я подписываюсь на "старомодную" идею’ выраженную в этом документе,

человек обретает правил и определений, анализируя интуитивные представления и опуская свои
свойства... Что такое “старомодный” идея предполагает довольно просто, что интуитивные представления
являются существенными, будь то во внешнем мире или в мыслях (и точные формулировки того, что
является существенным в предмете является следствием, а не отправная точка[,] исследования на эту тему).

Но я думаю, что значимые понятия реляционны, в основе своей столь же объективны и разделяемы, как и объекты. Крайзель
продолжает::

Неформальная строгость хочет (i) сделать этот анализ как можно более точным... в частности
, устранить сомнительные свойства интуитивных понятий при формулировании выводов о них,
и (ii) расширить их анализ, в частности, не оставлять нерешенных вопросов, которые могут
быть решены при полном использовании очевидных свойств этих интуитивных понятий. ([26]: 138ff.)

В менее доступной статье Крайзель пишет ‘" Мы рассматриваем объективность некоторых понятий и пытаемся
решить некоторые вопросы о ней, не отвечая на вопрос, участвует ли в этом, кроме того, некоторая реальность или реализуемость
, внешняя по отношению к нам.’ ([27]: 20). Пробные камни объективности в детском и взрослом воображении-это
реквизит по Уолтону, и реквизит имеет свои аналоги для мира Холмса в текстах и для
математики в том, на чем фокусируется формализм.

586

Р. С. Д. Томас

трактуются как полностью лингвистические’ ([12]: 125), причем "без какого-либо намека на небытие"
(там же.) или намеренное существование.

12

Художественная литература и математика-это несколько схожие способы
использования постулируемых объектов для обсуждения отношений. Они и их отпрыски естественные науки
представляют собой наиболее успешный способ обращения с отношениями.

Позвольте мне теперь вернуться к реляционному взгляду на математический предмет. Это
немного похоже на стандартный соломенный человек, называемый постулационизмом, и может быть полезно рассмотреть
, как он выглядит как постулационизм и как они отличаются. Хрестоматийное определение
постулатизма состоит в том, что

аксиомы математической теории составляют [ sic ] набор спецификаций
, которые определяют структуру, которую математик хочет изучить. ([30]: 19)

Я называю это соломенным человеком, потому что в двух предложениях автор, Хью Леман, показывает
нам с головоломкой Бенацеррафа, что мы идентифицируем действительные числа как разные наборы
одновременно и поэтому имеем противоречие. Это иллюстрирует мудрость удержания нашего
обсуждения на прономинальном уровне чего бы то ни было и не опускаться до
субстантивных частных случаев; именно здесь лежат противоречия, и они также не являются тем, о чем мы
хотим говорить. Даже категориальные постулаты допускают различные
интерпретации. Интерпретируемые числа могут быть расстояниями или массами, но не расстояниями и массами.
Аксиомы математической теории устанавливают отношения, существующие между тем, что
удовлетворяет этой конкретной теории; они являются утверждениями о том, что всегда. Когда
кто-то говорит, что холостяк-это мужчина и неженатый, он говорит что-то о человеческих
существах, но просто абсурдно спрашивать, существует ли этот кто-то или кого
-то вы имеете в виду.

13

Это не та вещь, для которой существуют такие антецедент-свободные местоимения.
Эта неполнота математических утверждений, Я полагаю, является прич