Абсолютизм Рассела против (?) Структурализм

Джеффри Хеллман

Абстрактный. Наряду с Фреге, Рассел придерживался абсолютистской позиции в отношении мата субъекта-

Тер математики, выявленной, а не навязанной или предложенной логическим анализом.
Например, Фреговское определение кардинального числа считается (по существу) правильным, а не просто
адекватным для математики. А “структуралистские” взгляды Дедекинда вызывают критику в
"принципах ". Но, поразмыслив, Рассел также заигрывал со взглядами, очень близкими к (другой) версии
структурализма. Рассмотрены основные разновидности современного структурализма и их проблемы
с учетом идей Рассела. Проблемы абсолютизма чума некоторые версии, и, inter-
примечательно, что критика Расселом Дедекинда может быть распространена и на одну из них- ante rem structuralism.
Это оставляет модально-структурализм и теоретико-категориальный подход в качестве оставшихся не абсолютистских
вариантов. Предполагается, что они должны быть объединены.

1. Перипетии: абсолютизм и намеки на структурализм
в Расселе

Книга Рассела " введение в математическую философию " (1919) почти так же богата
философскими взглядами, как и информацией для широкого читателя об основах
математики. В самом начале, пишет Рассел,

Вопрос: "Что такое число?’ это вопрос, который часто задавали, но
на который правильно ответили только в наше время. Ответ был дан
Фреге в 1884 году, в его Grundlagen der Arithmetik. ([17]: 11)

Здесь мы имеем хорошее выражение абсолютистской позиции: есть такое понятие, как
правильный ответ на вопрос: “Что такое число?- и, кроме того, это (по существу)
то, что дал Фреге. (Кардинальные) числа - это классы равноденственных понятий (Фреге),
или—Рассел терпел бы такую большую гибкость—классы равноденствий (
сам Рассел). Интересно, что этому сразу же предшествует краткое обсуждение альтернативного
"алгебраического” или "структуралистского" понимания числовых понятий:

Можно было бы предположить, что вместо того, чтобы устанавливать "0", "число" и
"преемник" в качестве терминов, значение которых мы знаем..., мы могли бы позволить им
стоять за любые три термина, которые подтверждают пять аксиом Пеано. Тогда они
больше не будут терминами, имеющими определенное, хотя
и неопределенное значение: они будут "переменными", терминами, относительно которых мы делаем определенные выводы.

562

Г. Хеллман

гипотезы, а именно те, которые изложены в пяти аксиомах, но которые
в остальном не определены.... наши теоремы... будут касаться всех множеств терминов
, обладающих определенными свойствами. ([17]: 10)

Но как только он описывает вид из окна, то тут же начинает снимать его со стола.
Проход продолжается,

Такая процедура не является ошибочной; на самом деле для некоторых целей она представляет
собой ценное обобщение. Но... во-первых, это не позволяет нам
знать, существуют ли какие-либо наборы терминов, подтверждающих аксиомы Пеано....
Во-вторых... мы хотим, чтобы наши числа были такими, которые могут быть использованы
для подсчета общих объектов, и это требует, чтобы наши числа
имели определенное значение, а не только то, что они должны иметь определенные формальные
свойства. (там же.)

В настоящее время это следует рассматривать как довольно поспешное увольнение. Даже Расселу,
можно с полным правом утверждать, так и должно было показаться. Ибо, относительно первой причины,
почему алгебраическое или структуралистское прочтение теории чисел как таковой должно нести с
собой требуемую уверенность в математическом существовании модели? Конечно,
где-то в общей системе хотелось бы такой уверенности (в какой-то степени
это возможно), но ни определения, ни использование грамматически правильных имен
никогда сами по себе не гарантируют существования, как наверняка знал Рассел, в связи с тем, что для
например, с онтологическим аргументом! Так, Дедекинд [6] сначала сформулировал
“постулаты Пеано”, но дал им определение в виде “ просто бесконечной
системы” (“прогрессии”, по терминологии Рассела), а затем попытался доказать существование
отдельно. (Доказательство, как мы знаем, выходило за пределы математики и не было строгим,
предполагая “совокупность объектов Дедекиндовой мысли”, но необходимость отдельного
доказательства была ясна.) Более того, Рассел прекрасно понимал, что нельзя опираться на
определение числа по Фреге–Расселу, чтобы получить искомую уверенность, ибо у него было свое
собственная борьба с аксиомой Бесконечности, которой он должен был уступить, просто предположив
ее (как это было сделано и в теории множеств Цермело).

Ответ на второе возражение требует едва ли больше ресурсов, конечно, не
превышающих тех, которыми располагает Рассел. Можно рассчитывать на алгебраическое
структурное чтение как обеспечивающее биекцию между перечисленными объектами и
соответствующим начальным сегментом любой прогрессии, как указано самым высоким числом, достигнутым.
Решение Фреге-Рассела—в котором перечисляемый класс принадлежит числу
, является элегантным (в этом отношении), но едва ли привилегированным. Теория множеств делает это по-другому, через
биекции (даже если вы фиксируетесь на определенном определении ординалов, скажем, фон Неймана),
и нам кажется, что изящество счета Фреге–Рассела является
артефактом. Это особенно важно в свете высокой цены, заплаченной в других частях системы,
например, редупликации чисел на всех типовых уровнях после их первого появления, не
говоря уже об их отсутствии в теории идущих множеств (ZFC).

1

По справедливости к Расселу, он уже выдвинул серьезное возражение против
структурализма Дедекинда (с которым мы еще встретимся ниже в современном контексте), и

Абсолютизм Рассела против (?) Структурализм

563

альтернативной версии под рукой не оказалось. Возможно, достаточно было лишь легкого отсутствия сочувствия
к этому подходу, чтобы искушать кого-то легко уволить.

Во всяком случае, Расселовский “абсолютизм” сам по себе не был абсолютным. Через несколько страниц после
введения великого "открытия" Фреге, мы находим следующий ключ к тому, что прикосновение
"наложение" причастно:

Мы естественно думаем, что класс пар (например) - это нечто

в отличие от числа 2. Но нет никакого сомнения относительно класса
пар: он несомненен и не трудно определить, в то время как число
2, в любом другом смысле, является метафизической сущностью, о которой мы никогда
не можем быть уверены, что она существует или что мы ее выследили. Поэтому более
благоразумно довольствоваться классом пар... чем охотиться за
проблематичным числом 2, которое всегда должно оставаться неуловимым. ([17]: 18)

Более того, как оказалось, “правильное определение” даже пришлось корректировать в свете
парадоксов наивной классовой теории:

Но по причинам, изложенным [выше, относительно парадоксов], если не
по другим, мы не можем принять "класс" как примитивную идею... классы не могут
рассматриваться как часть конечной мебели мира. ([17]: 181–2)

Как будто этого было недостаточно, чтобы “взять назад”, мы с удивлением находим в конце концов

следующее предложение, касающееся природы математических и логических предложений
в целом:

Таким образом, мы можем сформулировать его как необходимую (хотя и недостаточную) характеристику

логических или математических предположений, что они должны быть такими, какие могут быть
получены из предложения, не содержащего переменных... превращая каждую
составляющую в переменную и утверждая, что результат всегда истинен или
иногда истинен.... логика (или математика) имеет дело только с формами
... ([17]: 199)

Теперь, когда мы рассматриваем эти отношения

(или пропозициональные функции), а также
индивиды считаются конституентами пропозиций, тогда мы понимаем, что этот критерий удовлетворяется
путем толкования математических пропозиций, сформулированных в логике более высокого порядка без
констант. Действительно, достаточно работать с логикой второго порядка для теории чисел,
анализа и даже теории множеств. Применение критерия Рассела к случаю теории чисел
требует замены ‘0 " и " преемник’ на индивидуальную и двухзначную
переменную отношения, соответственно, в любом предложении арифметики Пеано второго порядка (в котором
другие стандартные функции являются явно определяемыми). Мы также можем заменить этот термин

1

Безусловно, если человек опускает свои взгляды и стремится восстановить только теорию чисел и классический анализ,
преимущества определения Фреге–Рассела могут быть реализованы в демонстративно последовательной
системе второго порядка, изобретенной Булосом под названием “арифметика Фреге” [3]. (Демонстрация связана с последовательностью
арифметики Пеано второго порядка, также называемой “классическим анализом” в формальном смысле.)

564

Г. Хеллман

"число"с унарной переменной отношения X, рассматриваемой как область, к которой относят все
кванторы. Но это только то предложение, которое Рассел рассмотрел и отклонил
в самом начале, как было указано выше! Точнее, Рассел явно рассматривал процедуру
замены, примененную к аксиомам Дедекинда-Пеано. Применение общей
процедуры к произвольному предложению а языка теории чисел естественным образом приводит
к образованию условной формы,

∀R[PA

2

→ A](S / R),

в которой ' PA

2

'обозначает соединение аксиом и ‘S /R' означает систематическую
замену константы-преемника на переменную отношения’ R ' на всем протяжении. (Здесь,
чтобы избежать беспорядка, мы отбросили "0", поскольку он может быть введен по определению из "S".)
Если A логически подразумевается аксиомами, результатом является истина логики второго порядка.
(Если нет, то результат замены а его отрицанием дает такую истину, в свете
категоричности аксиом, как установил Дедекинд.) Еще лучше, принимая
во внимание сам предикат ‘число’, как это было предложено, и обобщая, мы получаем

∀X∀R[ПА

2

→ Ля]

Икс

(S / R),

где верхний индекс указывает на релятивизацию всех кванторов к домену X. И снова мы
имеем логические истины второго порядка при тех же самых условиях.

К настоящему времени мы прошли полный круг (по крайней мере, “до отрицания!"), поскольку это уже является
выражением элиминативного структурализма применительно к арифметике, ибо он совершенно
прямо формулирует утверждение, что истины арифметики-это “то, что удерживается в любой
прогрессии вообще. Как выразился Рассел, " наши теоремы... будут касаться всех
наборов терминов, имеющих определенные свойства."Неявно, даже почти явно, Рассел
, кажется, поддержал эту точку зрения в конце концов! Действительно, с еще одним шагом-это
лечение фразы Рассела “ " и утверждая, что результат всегда верен”, еще больше
в широком смысле, чтобы включить возможности прогрессий, а не просто фактических прогрессий—мы приходим
к гипотетическому компоненту модально-структуралистской интерпретации, которая просто
префиксирует вышеизложенное оператором необходимости, руководствуясь подходящей модальной логикой
(естественно, выбранной для S-5 с определенными ограничениями, см. [8]: Ch. 1, и [9]. Та же
процедура обобщается на анализ и многие расширения, включая теории множеств.

Кроме того, как ясно признал Рассел, аксиома бесконечности, как бы она
ни была точно сформулирована, хотя и формулируется в такой логической нотации, не является логической истиной.
Аксиомы существования или аксиомы возможности все еще необходимы. Возможность
прогрессии,

♦∃X∃R[ПА

2

]

Икс

(S / R),

должно быть принято, или оно может быть выведено из еще более элементарного
предположения о возможности, которое не трудно сформулировать. Это образует "категориальный компонент"
интерпретации, и он необходим, чтобы отогнать чуму “если-то'изма”. (Конечно, как
и следует ожидать от сильных лекарств, есть побочные эффекты.)

Очевидно, что абсолютистская позиция Рассела расходилась с некоторыми из его реальных предложений
, касающихся природы математики. Его " логика” имела структуралистские элементы

Абсолютизм Рассела против (?) Структурализм

565

в его рамках и, как мы увидим, его критика взглядов Дедекинда имеет особое значение
для оценки более поздних попыток сформулировать структурализм.