Разновидности современного структурализма и их вызовы

Четыре основные разновидности современного структурализма легко выявить: (1) теоретико-множественной
(“СТС”), основанный на модели теории, (2) структуры в качестве своеобразных универсалий (на “ Анте
Рем ” структурализм Шапиро [18] и Резник [15]) (“СГС”), (3) модально-структурализм
(“МС”), и (4) подход, основанный на теории категории (“ЦТС”). Они были
описаны более подробно в другом месте, см. [10] и [11]. Здесь мы кратко напомним их
ведущие характеристики.

STS восходит к Бурбаки и сегодня будет апеллировать к теории моделей, с ZF
в качестве фона, как предоставление общих понятий математических структур
, а также теории их взаимосвязей и существования. Что касается систем счисления, хотя
фиксированные теоретико-множественные интерпретации известны (например, конечные ординалы фон-Неймана
для арифметики, Дедекинд сокращает рациональные числа для реального анализа и т. д.), они рассматриваются как
удобные способы "исправить идеи". Арифметические истины принимаются как истины на языке
арифметической истины в любой (стандартной) модели ПА (будь то первый или второй порядок); аналогично
для реалов, комплексов и т. д. В отношении этих теорий СТС является вариантом
элиминативного структурализма, в котором числа как определенные объекты, референты числительных и
других сингулярных терминов, исключаются в пользу множественных структур. Это согласуется с
пониманием того, что природа индивидов не имеет значения; то, что имеет значение-это структурные
отношения, реализуемые многими изоморфными способами. В более общем виде, все пространства
и структуры, знакомые из отраслей обычной математики, понимаются как
теоретико-множественные структуры, заданные области вместе с функциями и отношениями на них,
независимо от того, являются ли соответствующие теории категоричными. Примечательно, однако, теория множеств
сама по себе не лечится конструктивно: хотя один расследует различных моделей ZF и
расширения, трансмиссия ZF аксиомы, сами не читали “алгебраически” или “конструктивно”,
т. е. как простые определения условия о структур; скорее они воспринимаются как
утверждения истин откровенных истин о “кумулятивной иерархии”, себя “слишком большими”
, чтобы быть набор.

SGS трактует математические структуры как универсалии, паттерны в терминологии Резника,
отвечая на вопрос” Что общего имеют все частные системы (реализующие ключевые аксиомы)",
состоят ли эти системы из конкретных элементов или наборов. Можно буквально говорить о " структуре
натуральных чисел“, например, состоящей из” позиций “или” мест“, рассматриваемых
как абстрактные объекты, а не просто схематически как держатели мест или” должности", которые должны быть заполнены
частностями. (Отсюда термин Шапиро, " ante rem “, чтобы противопоставить эти структуры от
систем ” in re ", таких как системы мереологии (теория части-целого) или теории множеств.)
Именно такой позиции, которые принимаются в качестве буквальных референтов числительных и т.д., причем
структурные отношения между ними берутся как непосредственно выраженные константами отношений
нашего языка, например, "преемник”, "дополнение" и т. д. Таким образом, это неизбирательный
структурализм, тесно связанный с предпочтительной концепцией Дедекинда. Системы аксиомы в

566

Г. Хеллман

математика одновременно определяет условия на структуры и утверждения об идеальных
типах, о которых они принимаются. На Шапиро версия, на заднем плане
secondorder логика и список (assertory) аксиомы непосредственно регулирующих существование Анте
Рем структур; эти напоминают аксиомы второго порядка для ZFC, но с добавлением
в последовательности аксиом, гарантирующих структура ответив ни “Связного” набор
второго порядка, условий, где это новый примитив, соответствующий “реализуемая как
модель” в рамках "СТС", МВ. [18]: 95.

МС уже был представлен выше. Очевидно, что это элиминативный структурализм,
в большей степени, чем STS, поскольку он применяется к теориям множеств, а также к обычной
математике. Однако при использовании логики второго порядка MS, по-видимому, требует классов или Фрегеанских
концепций в фоновом режиме. Хотя такие интерпретации возможны, бесклассовая
интерпретация доступна через комбинацию мереологии и множественной квантификации
[9]. Объекты любых развлекаемых структур-теперь уже в смысле in re-являются
неопределенными. До тех пор, пока есть смысл говорить о целых или их комбинациях, они могут
происходят в структурах. В отличие от SGS, здесь не задействованы специальные “конструктивные объекты”. Действительно,
благодаря использованию мереологии и множественного числа, сами структуры как объекты не должны быть
признаны. Один просто говорит о некоторых, или тех, или других, объектах, связанных соответствующим
образом между собой или с другими объектами. Восстанавливается полная теория отношений (и функций)
, так что их тоже не нужно признавать в качестве объектов. В этом
смысле МС можно понимать как (модальную) номиналистическую реконструкцию. (Однако, это
не должно быть принято таким образом. Свое машинное оборудование имеет в распоряжении большое разнообразие
онтологические рамки, по поводу которых, официально, она может оставаться вполне нейтральной.) Наконец,
важной особенностью МС, в отличие от СТС и СГС, является то, что он не признает
абсолютно максимальной Вселенной или области для математики. Вместо этого он включает
в себя принцип расширяемости, что любая область может быть расширена.
Принципы понимания для целых или множественностей ограничены экстенсиональностью:
операции, подобные сбору, как бы ограничены в пределах одного мира. (Официально миры или возможности
, конечно, не признаются; модальные операторы примитивны в системе и не являются таковыми
объясняли буквально как кванторы.)

CTS несколько сложнее описать, потому что, хотя теория категорий
и теория топоса хорошо развиты как ветви математики, структуралистская интерпретация
математики в категориальных терминах остается несколько зачаточной. Иногда кажется
, что достаточно просто сформулировать математику категориально, чтобы выразить
структуралистскую философию, поскольку, действительно, CT имеет свой собственный характерный способ получения
математической структуры, через морфизмы между структурами как точечные объекты и через
функториальные отношения между категориями. Однако эта точка зрения проблематична, поскольку она оставляет
нерешенные фундаментальные фундаментальные вопросы “такие как " Что такое внешняя,
фоновая логика?", "Какие аксиомы существования управляют категориями и топоями сами по себе?",
"Задействованы ли модальные понятия?", "Признается ли принцип расширяемости, как в МС,
или нам следует серьезно относиться к всеобъемлющей категории категорий?"(см. [13]) и т.д.

К таким вопросам должна быть обращена полноценная КТ-версия структурализма. По одному

предположение, что обычная математика может быть осуществлена относительно любого числа Топоев как
вселенных дискурса, и это может быть сделано без теоретико-множественного фона [1].

Абсолютизм Рассела против (?) Структурализм

567

Результатом является своего рода относительность обычных математических понятий, и
тогда возникает различие между инвариантной математикой (например, подчиняющейся интуитивистской логике, возникающей
естественно внутри топоса) и по существу относительной математикой, например, теорией классических
континуумов, для которых требуются специальные условия на топосе (например, принцип выбора,
хорошо направленность и т. д.). Топои затем рассматриваются как” возможные вселенные " для
математики;нет никакого привилегированного, уникального. Является ли CTS тогда "элиминирующим"? В отношении
можно, например, предположить, что топос имеет “объект натурального
числа”, но это не является уникальной структурой ни в смысле Дедекинда, ни в смысле Фреге, ни
в смысле Рассела. Случай теории множеств менее ясен, поскольку говорят о “ категории
множеств” и используют для ее названия шрифт полужирного шрифта. Насколько буквально это следует понимать? (Добавьте это
в список вопросов выше.)

Как уже будет видно, ни одна из этих версий не является беспроблемной. Следы
абсолютизма, присутствующие в STS и SGS, не так легко избежать. Цель дать
структуралистскую интерпретацию теории множеств (лучшие теории) - это достаточная мотивация, чтобы заглянуть
за пределы STS. Однако, как будет показано в следующем разделе, SGS с его абсолютными
"структурными объектами" подвержен усиленному варианту критики Расселом
структурализма Дедекинда. Кроме того, как STS, так и SGS страдают от приверженности фиксированной,
максимальной Вселенной для математики, нарушая принцип расширяемости, который является
прочно укоренившись в математической мысли и практике. Обе эти проблемы преодолеваются
в МС и, в ожидании дальнейших разъяснений, также в CTS. Но эти подходы сталкиваются
со своими собственными характерными трудностями. Различные компромиссы кратко изложены в
следующей таблице.

2

Основные разновидности математического структурализма и задачи

STS

СГС

МС

CTS

Максимальная Вселенная

__

__

Устанавливает исключительный несмотря на

__

__

__
теории множественных множеств
отсутствие эквивалентности

__

(ОК)

(ОК) (на относительном

типы

толкование)

Возможность большого er-

__

__

__
ror (например, отсутствующие наборы)
" позиции как объекты”

__

__

__

Чисто структурная реляция-

__

__

__

тионс?

Примитивная модальность

?

__

(неформальный)

Никакого учета математики.

__

__

__

существование или ссылка

2

В этой таблице флажок указывает, что рассматриваемая проблема действительно влияет на версию структурализма,

так что цель игры состоит в том, чтобы” нарисовать пустую " (если не указано иное, как в третьем ряду).

Что касается CTS, несмотря на то, что мы сказали, Мы взяли наше лучшее предположение о том, как заполнить коробки

(пытаясь дать взгляду преимущество сомнения с точки зрения структурализма).

568

Г. Хеллман

Остальная часть настоящего документа будет посвящена разъяснению и обсуждению некоторых из них.

из ключевых коробок и отношений, которые возникают.

3

Давайте начнем с дальнейшего объяснения самой левой колонки проблем. Первый,

“максимальная Вселенная " ясна, но стоит процитировать Мака Лейна по этому вопросу:

Понимание математических операций многократно приводит к формированию
тотальностей: совокупности всех простых чисел, множеству всех точек на
эллипсе... множеству всех подмножеств множества..., или категории всех топологических
пространств. Здесь нет верхних пределов; полезно рассматривать "Вселенную"
всех множеств (как класс) или категорию Cat всех малых категорий, а также
CAT, категорию всех больших категорий. Это и есть идея тотальности....

После каждого тщательного разграничения появляются более крупные тотальности. Нет теории множеств

и никакая теория категорий не может охватить их все–и они необходимы, чтобы
понять, что делает математика. ([14]: 390)

То, что STS нарушает эту “открытость”, известно из его приверженности фиксированному
“реальному миру” наборов. Но, по-видимому, это также нарушает его приверженность к совокупности
“всех позиций в структурах” (по крайней мере, такова формулировка Шапиро в
логике второго порядка). Однако SGS улучшает STS в следующем ряду, поскольку он применяет свою "структурную
интерпретацию “к теориям множеств в целом, и ему не нужно признавать максимальную”совокупность
всех множеств". Он автоматически избегает таких вопросов, как: "являются ли наборы действительно хорошо-
- основал?", "Удовлетворяют ли они Выбор?”, прием.; до тех пор, пока соответствующие системы аксиом являются
когерентными, существуют структуры, отвечающие им, и ни одна из них не является онтологически привилегированной
(хотя, конечно, некоторые из них могут представлять больший математический интерес, чем другие).

Третья строка, “отсутствие типов эквивалентности”, касается статуса объектов, таких
как числа Фреге–Рассела, или классов эквивалентности при изоморфизмах, сохраняющих
структуру, такую как “

ω-последовательность", "счетное, плотное линейное упорядочение без конечных точек”,
“сепарабельный континуум”, "комплексная плоскость" и др. Формирование классов эквивалентности является
естественным способом перехода от частных экземпляров типа структуры к “самому типу
", но, как известно, в теории множеств это разрушается, если только экземпляры не ограничены
каким-то уровнем кумулятивной иерархии (в противном случае необходимы собственные классы, поднимающие
свои собственные проблемы, особенно с точки зрения структурализма). SGS преодолевает все
это, поскольку его абстрактные структуры должны быть платоновскими архетипами, идеальными образцами
отвечая непосредственно на вопрос “Что общего у всех инстанций". МС, конечно, не признает
таких животных, но считает это добродетелью, придавая смысл “общей структуре” в более
скромных терминах, например, путем ссылки на удовлетворение одних и тех же аксиом или с помощью “
карт сохранения структуры между структурами”, прописанных в особой, МС-моде. CTS,
по крайней мере, на “много Топоев” релятивистский взгляд, предложенный Беллом, также делает добродетелью
отсутствие абсолютных типов эквивалентности. Опять же, общая структура объясняется
через внешние отношения, т. е. морфизмы и функториальные отношения, и никто не упускает
максимальные или абсолютные архетипы.

Четвертый ряд касается дерзких вопросов, вызванных буквальным, set-theoreti-

cal реализм, такие как “как вы знаете, что реальная власть набор

Н

- а разве полно?

3

Более полное обсуждение содержания этой таблицы смотрите в моих работах [10] и [11].

Абсолютизм Рассела против (?) Структурализм

569

Может быть, некоторые подмножества отсутствуют!"Такие вопросы не возникают на других
подходах. Каждый может рассказать свою собственную историю о том, насколько когерентность понятия полного
набора мощности достаточна для математики (что оставляет открытой также возможность
отрицания когерентности, что является вопросом, предшествующим структуралистской интерпретации).

Пятый и шестой ряды возвращают нас к Расселу.

3. Расселовская критика Дедекинда-структурализм
(с помощью Лейбница и Бенацеррафа)

Как показывает SGS, структурализм иногда понимался в “абсолютистских " терминах.

Хитрость заключалась в том, чтобы поместить особые “структурные”, не пространственно-временные объекты, “чистые
места” в архетипические структуры, абстрагированные от всех частных случаев, будь
то конкретные или абстрактные. Шапиро называет частные случаи "системами“, более
общим термином, чем” структура" в смысле ante rem. Структуры также квалифицируются как
системы, но они могут быть самоспецифичными, так что никакой регресс “третьего человека” не генерируется.
(Поскольку, однако, многие системы обычно рассматриваются как уже абстрактные, например,
те, которые построены из чистых множеств или свойств и т. д. если меня признают, я назвал SGS a
"гиперплатонистский" взгляд на математическую структуру.)

Эта процедура имеет свой самый выдающийся антецедент в Дедекинде ([5] и [6]), как

это стало ясно из переписки с Вебером.

4

Натуральные числа (или чисел,
тема Вебер заочная) форма уникальная, особая система и
, прежде всего, другие просто бесконечной системы (континуумов), иллюстрирующих то, что все они имеют
общего, и якобы не хватает несущественных признаков, т. е. те, которые за отличимость
от других объектов и их ролей, определенных структурных отношений, указанных в
математике сам. (Тейт называет переход от частных реализаций, например,
теории множеств, к таким чистым архетипам “абстракцией Дедекинда”. [19])

Теперь можно сразу же усомниться в идее "чистоты". Как могут какие-либо объекты не
иметь математически нерелевантных свойств, таких как возникающие из случайных отношений
к внешним вещам, например, “будучи мыслимым Дедекиндом”, “будучи обозначенным
английским односложным”, “девять”, "будучи числом планет" и т. д. Предпринимались
попытки спасти чистоту путем различения "существенных” или “внутренних” свойств
от остальных, но это также проблематично: конечно, при выдвинутой концепции
“быть абстрактным”, “быть не пространственно-временным”," лишенным цвета или массы " и т. д., квалифицировать
как бы то ни было, но математика умалчивает о таких вещах. В "принципах" Рассел
высказал опасения по этому поводу::

4

См. [7]: vol. 3, 489–90. Есть также, однако, письмо Липшицу (датированное июнем 10, 1876 [7]: §65,
cf. [18]: 173) говоря: "если кто-то не хочет вводить новые номера, я ничего не имею против этого...”.
Хотя он, возможно, предпочел бы думать о числах (естественных и вещественных) как о специальных, “недавно введенных” объектах,
Дедекинд признал, что математика не требует этого, и что имеет значение “удержание
правильных свойств”, которое совместимо с элиминирующим структурализмом.

570

Г. Хеллман

Невозможно, чтобы ординалы были, как предполагает Дедекинд, ничем
иным, как терминами таких отношений, которые составляют прогрессии. Если они
хоть что-нибудь, они должны быть изначально что-то; они должны отличаться от
других лиц в виде точек из мгновений, или цвета из звуков... Дедекинд
не показывают нам, что все прогрессий имеют в общем, не
дают никаких оснований полагать, что это порядковые числительные, за исключением того, что
все прогрессии подчиняются тем же законам, порядковые числительные сделать, что бы доказать
также, что любые назначенные прогрессии является то, что все последовательности в
общих....
Его демонстрации нигде— даже когда он приходит к кардиналам-
не связаны с каким-либо свойством, отличающим числа от других прогрессий.
([16]: 249)

Тем не менее, структуры ante rem положены в SGS, в явном вызове этих
структур. Но, возможно, можно признать, что места в структурах “должно быть
свойственно что-то”, но это все, что нужно количество, что они просто несколько отличаются от
позиции Рассела списки (и намного больше), что они зависят в основном на внутри-структурных
отношений в другие места, и что они “уловили” какое-то абстрагирование от
“системы”, как полагают. Это противостояние, и необходим дальнейший аргумент, чтобы его разорвать
, так или иначе.

На самом деле недавно появились два связанных с этим возражения, которые оспаривают саму
когерентность “ ante rem structure” и “Dedekind-abstraction” в поддержку Рассела.
Оба имеют лейбницевский аромат, а второй поставляется с добавлением Бенацеррафа
(сохраняя аналогичный аромат).

Первый, независимо от Керенена [12] и Берджесса [4], касается понятия
идентичности мест в структуре ante rem. В двух словах аргумент звучит
так: кажется, что эти “структурные объекты” должны быть достаточно индивидуализированы
только внутриструктурными отношениями (включая функции), без помощи “извне” или
от индивидуальных констант. (Причины этого подробно изложены в [12].) Это дает
версию Лейбницевского "тождества неразличимых": любые предметы, имеющие точно такие же
внутриструктурные отношения к другим предметам, должны быть не многими, а одним. Но это сразу же
подразумевается, что нетривиальных автоморфизмов структуры не может быть, т. е. что
структура является “ жесткой”. Теперь, в то время как некоторые структуры, центральные для математики, являются жесткими, такие
как натуральные числа, вещественные числа (как поле) и сегменты совокупной иерархии
множеств, многие из них не являются таковыми. Комплексное поле допускает автоморфизм, меняющий местами i и
-i; аддитивная группа целых чисел допускает автоморфизм, меняющий местами +1 и -1,
и т. д. Действительно, такие структуры изобилуют в математике, как замечает Керенен: каждая группа
порядка, отличного от 1 или 2, любая геометрическая фигура с отражательной симметрией, homo-
генетическое Евклидово nspace (Burgess) и др. Жесткие структуры, хотя и фундаментальные,
также довольно специфичны. Керенен исследует возможные ответы
, которые мог бы дать структуралист ante rem, в том числе ссылаясь на haecceities (свойство “быть только этой вещью и
никаким другим”), или не давая никакого учета идентичности структурных объектов вообще, и находит их
все неудовлетворительными. Шапиро ответил, что учет личности на самом деле не требуется.
Дискуссия по этому поводу продолжается.

Абсолютизм Рассела против (?) Структурализм

571

Еще одним ответом от имени SGS может быть обращение к сокращению всех
структур до жестких, возможно технически возможных, если каждая структура может быть адекватно
смоделирована теоретически. Это кажется чуждым для всей программы SGS и больше
соответствует STS. В любом случае предложение бессильно против второго возражения.

Это возражение, которое я развил в [10], бросает вызов самой разборчивости ante
rem структур вообще, жестких и нежестких. В то время как
возражение Керенена-Бурджесса принимает структурные отношения как данность и
ставит под сомнение различимость структурных объектов как relata, это возражение идет дальше в вопросе об
умопостигаемости чисто структурных отношений в контексте мнимо структурных
объектов как relata. Это очень похоже на критику Рассела: если мы не будем апеллировать
относить как независимо данное каким—либо образом, но вместо того, чтобы думать о них как о детерминированных
только через структурные отношения—что, несомненно, кажется неотъемлемой частью прежнего
структуралистского взгляда-тогда что мы должны продолжать в определении структурных отношений
, кроме самих аксиом как определяющих условий? Что, например, может означать
говорить о “упорядочении” “ натуральных чисел” как об объектах предшествующей структуры,
если, в свою очередь, мы не имеем независимого понимания того, что такое эти числа, независимо от их
положения в этом упорядочении? Как математические функции (обрабатываются экстенсивно в clas-
sical mathematics), функция преемника любой данной системы или модели отличается
от функции преемника любой другой системы или модели. Таким образом, архетипический элемент, который мы ищем, не является буквально тем же самым, что и любой
другой, с которым мы можем быть знакомы (например, “следующая цифра” в нашей системе счисления или
“следующий элемент” в некоторой пространственно-временной последовательности). Имеет ли смысл говорить о
"самой близости“, как о Платоновской абстракции от всех случаев, когда что-либо вообще
может быть” следующим после" чего-либо еще в той или иной системе? Кажется, мы можем
понять “next” только так, как это сделал сам Дедекинд, а именно как относительно данной
функции

ϕ, или расположение какого-то вида, то есть, в данном случае, относительно данной
просто бесконечной системы. Таким образом, мы имеем порочный круг в самом понятии структуры ante
rem: предполагается, что такая структура состоит из чисто структурных отношений
между чисто структурными объектами, но понимание одного из них зависит от уже
понимания другого. Учитывая объекты, вы можете получить отношения, и (если бы не
возражение Керенена-Берджесса) наоборот. Но вы не можете получить оба сразу!

Один из ответов на это (данный Шапиро в переписке) заключается в отрицании того, что структурные
отношения должны быть предшествующими местам ante rem структуры. Например, у нас есть "конечные
кардинальные структуры “как вырожденные случаи структур ante rem, в которых есть
конечное число” мест", но нет никаких отношений вообще (кроме идентичности)! "Мнение должно
быть таково, что структура определяется ее местами и отношениями. Ни то, ни другое не предшествует
друг другу.”

Я согласен, что если мы можем как-то самостоятельно выбирать места, то можно
говорить и об отношениях между ними. Это стандартная платоническая процедура, опирающаяся
, скажем, на обозначение определенными сингулярными терминами в нашем языке. Но тогда объекты
даны не "чисто структурно", а по отношению к внешним, а в данном случае даже
условным отношениям. Но если мы не прибегаем к таким экстраструктурным средствам
идентификации объектов (что, я бы предположил, является тем, что мы обычно делаем в
математической речи Платона), то какой смысл говорить о” местах", если не относительно данных

572

Г. Хеллман

порядки или отношения? В случае со структурами ante rem, предложенными SGS, мы, по-видимому, находимся
в ситуации, когда нам необходимо преуспеть в ссылке на B (места) в качестве предварительного
условия ссылки на A (отношения), и наоборот. Но тогда вы не можете сделать ни то, ни другое.

Вы должны делать и то, и другое вместе, и это кажется невозможным.

Что же тогда делать с”конечными кардинальными структурами"? Если вдуматься, они кажутся совершенно
непонятными, действительно, последнее оскорбление против лейбницевских угрызений совести. “4 кардинальная
структура", например, предполагается состоять из четырех различных абстрактных вещей периода.
Здесь вообще не задействованы никакие структурные отношения; нет никакого смысла говорить об одном из них
как о “первом” или как о занимающем какое-либо “положение” в каком-либо интуитивном смысле. Как же получается, что любой
отличается от любого другого? Действительно, как мы можем иметь смысл ссылаться на любой из
них в противоположность любому другому или сопоставлять любой из них с чем-либо другим или от чего-либо другого
(что существенно, если они должны служить примером кардинальности)? Номера-тож не достаточно
для этого, и—в отличие от натуральных чисел на объекты-неоплатоник толкование, согласно
которому, по крайней мере, у нас есть стандартные имена для объектов, и в отличие от “идентичных бозонов”
частицы физик, который, по крайней мере, “сделать разницу”, внося свой вклад в общее
массы и энергии, даже если мы не можем назвать их—ничего другого не. С этими
предполагаемыми структурами, как мы сейчас увидим, сходятся возражения Керенена-Берджеса и Хеллмана
в том, что каждая перестановка таких объектов была бы не --
тривиальный автоморфизм ("тривиально", так сказать, так как нет никаких отношений для сохранения)!

Это подводит нас к окончательному рассмотрению вопроса. Предположим, ради аргументации, что,
несмотря на вышеприведенный аргумент, мы могли бы иметь смысл “вводить
структуру ante rem”, жесткую, скажем, для натуральных чисел. Называть это

<

Н

,

ϕ, 1 >, где ϕ - это

привилегированное отношение преемника и 1 начальный элемент

Н

. Тогда мы сразу
же видим, что бесконечно много других прогрессий, явно определимых в терминах этого,
равно хорошо подходят в качестве кандидатов на роль референтов наших числительных, даже если
мы требуем "свободы от несущественных признаков", в какой бы то ни было степени

<

Н

,

ϕ, 1 > >
сам выполняет это. Ибо нам нужно только рассмотреть результат перестановки любого (конечного, скажем)
числа элементов

Н

и регулировать

ϕ и 1 соответственно. Любая такая структура, звоните

IT

<

Н

, ϕ, 1 >, способен служить в качестве” архетипической > ante rem прогрессии " каждый бит

так же как

<

Н

,

ϕ, 1 >. Действительно, на каких мыслимых основаниях мы можем назвать одно, но
не любое другое “результатом Дедекиндовой абстракции”. Мы не можем сказать, например “что " действительно
1, а не 1 "

, является "первым" (если рассматриваемая перестановка движется 1), ибо “первый” не делает никакого

смысл, кроме как по отношению к функции-преемнице, и, относительно

ϕ, 1, а не 1, является первым.
Читатель вполне может вспомнить знаменитый аргумент Бенацеррафа о том, что числа
в действительности не могут быть множествами, поскольку многие прогрессии множеств в равной степени доступны для использования в качестве натуральных
чисел, и было бы абсурдно говорить, что мы действительно говорим об одном в отличие от
любого другого [2]. Действительно, он обобщил аргумент, чтобы заключить, что натуральные числа
вообще не могут “действительно быть” объектами, и здесь, с ante rem структурами, у нас есть еще
один пример почему бы и нет. Гиперплатоническая абстракция, далекая от преодоления проблемы,
ведет прямо к ней.

Это снова напоминает нам замечание Рассела, процитированное в первом разделе выше,
о "благоразумии" принятия решения о классе пар, а не”охоте за
проблематичным числом 2, которое всегда должно оставаться неуловимым". Он был слишком оптимистичен.

Абсолютизм Рассела против (?) Структурализм

573

о "классе пар“, но его беспокойство о” метафизической сущности, о которой
мы никогда не можем быть уверены, что она существует или что мы ее выследили", кажется нам
точно на отметке.

За Гранью Абсолютизма

Фундаментальная неформальная интуиция, лежащая в основе структурализма, состоит в том, что в математике
важны структурные взаимосвязи, а не природа отдельных объектов. СТС
сталкивается с этим в случае самой теории множеств, обычно принимаемой как теория о
фиксированной Вселенной абсолютных объектов,”множеств". ("абсолютное “в смысле” определенное“,
” безусловное “и даже”чистое".) SGS, несмотря на то, что он беспристрастен в своем применении к множеству
теорий наряду со всеми другими математическими теориями, тем не менее нарушает интуицию
, полагая специальные абсолютные объекты, предназначенные для полного абстрагирования от
любые несущественные, нематематические признаки, хотя и гарантированные простой когерентностью
подходящих математических аксиом, неявно характеризующих их. Несомненно, Рассел был прав
, когда ставил под сомнение понятность таких "вещей" и указывал на тщетность попыток
выйти за пределы природы индивидуальных объектов, полагая объекты без всякой природы. И
мы видели, что более глубокие возражения, уточняющие Рассела, направлены против самих понятий
“ ante rem structure” и “dedekind abstraction”. Более того, как
видно из приведенной выше таблицы, СТС и СГС являются " абсолютистскими” во втором смысле, в стремлении к максимальному
Вселенная математических объектов, нарушающая расширяемость,как уже было описано. Мы
, естественно, вынуждены искать не абсолютные альтернативы.

Как видно из таблицы, и МС, и СТС обходят стороной эти проблемы
абсолютизма, затрагивающие либо СТС, либо СГС, хотя и весьма различными способами. МС "абстрагируется"
от нерелевантных признаков объектов структур не путем постулирования специальных абстрактных
объектов, а путем обобщения всего, что может существовать (соответственно взаимосвязанные вещи)
, которое может оставаться открытым. Обычные константы (например, числительные) толкуются
как "представляющие места в структурах", но не в буквальном смысле SGS, а косвенно,
указывая на соответствующее обобщение: ‘2', в контексте, перефразируется ссылкой на
третий пункт любой прогрессии (начиная с ‘0’), а также в качестве удобного устройства в
модально-экзистенциальной инстанциации на предположении, что прогрессии возможны в
первую очередь (здесь нет каламбура). CTS, с другой стороны, избегает прямого разговора о предметах, внутренних для
математических структур, полностью в пользу морфизмов К и от других структур,
которые рассматриваются как “точечные”, “объекты” категории. При благоприятных обстоятельствах
(например, наличие терминалов) подходящими заменителями для “членов структуры” могут быть:
найденные, и, с изобретательностью, CT парафразы обычных теоретико-множественных условий могут быть
выражены. Подобно МС, СТС "трансцендирует" природу индивидуальных объектов (в
обычном смысле) не постулированием особых сущностей, а просто оставаясь молчаливым в отношении
любых таких вопросов. MS, напомним, принуждает к молчанию, придерживаясь математических условий
в своих общих утверждениях относительно структур, и далее путем тщательной
замены переменных первого и второго порядка, как в конечном итоге предложил Рассел (ср. §1,

574

Г. Хеллман

выше). CTS, с другой стороны, обеспечивает такое молчание своим собственным умным способом,
ограничиваясь свойствами, полученными через морфизмы в категории и/или функториальные отношения
между категориями. Более того, и МС, и СТС избегают “абсолютизма” в отношении
“математического универсума”, опять же в своих отличительных чертах, МС, непосредственно принимая
принципы расширяемости и ограничивая понимание “внутри мира”, СТС,
не принимая никакой официальной онтологии и действуя неофициально в вопросах (внешней)
логики.

Однако, как видно из таблицы, МС и СТС сталкиваются со своими
собственными проблемами, в случае МС-проблемами, связанными с примитивной модальностью, и в случае
СТС-проблемами, возникающими из-за неспособности решить фундаментальные вопросы, касающиеся
фоновой логики, универсалий дискурса и математического существования. Если CTS избегает
модальности, то это может быть просто проявлением этой позиции. Интересно, что взгляд Белла на "много
Топоев" действительно затрагивает вопрос о Вселенных дискурса
, не возвращаясь к области множеств, и он намекает на модальную формулировку, в которой топои являются
думал о том, как возможны миры для математики. Кроме того, существуют независимые
причины полагать, что некоторая апелляция к модальным понятиям неизбежна, особенно если
нужно отдать должное неслучайности математики и ее открытости,
расширяемости ее вселенных и ее свободе вводить все новые тотальности, как
описано выше Мак Лейном.

Это говорит о том, что мы должны искать способ синтеза МС и СТС, сохраняя
их соответствующие преимущества при минимизации их обязательств. Оказывается
, что это действительно возможно: подробности здесь представить невозможно,

5

но в результате
общий, нейтральный аппарат MS-мереологии и множественностей, без множества-членства
или классов-достаточен для описания больших областей (соответствующих множеству вселенных
недоступной мощности), и можно постулировать их как математические возможности,
служащие достаточным фоном для категорий и Топоев, а также для моделей теории множеств
. Конечно, гораздо меньше требуется для обычной математики, но это дает
объединяющую, структуралистскую основу для экстраординарной математики, в которой топос
теория и теория множеств могут быть разработаны бок о бок, ни один из них не принимается как предшествующий
другому. Таким образом, соответствующие структуралистские идеи теории множеств и теории категорий
могут быть одновременно сохранены, никогда не вводя абсолютные объекты.
Относительность математики к выбору топоса, предложенная Беллом, включена
в этот синтез, в то же время дверь остается открытой для классической математики
как объективного предприятия.

Рекомендации

[1]

Bell, John L.: 1986. От абсолютной до локальной математики. Синтез 69: 409-426.

[2]

Benacerraf, Paul: 1965. Каких только цифр быть не могло. Философское Обозрение 74: 47-73.

[3]

Boolos, George: 1998. Непротиворечивость основ арифметики Фреге, 1987. In:
G. Boo