Парадокс Рассела и Гильберта (очень забытый)

Взгляд на теорию множеств

Ян Мычельский

Абстрактный. Мы попытаемся объяснить убежденность математиков в том, что аксиомы Рассела

теория типов и ZFC непротиворечивы. Мы утверждаем, что это индуктивный вывод (
обобщение), основанный на ментальном опыте, опыте определенного физического конструктивного
процесса, происходящего в мозге тех, кто читает с пониманием аксиомы ZFC. Таким образом
, Con(ZFC) является довольно хорошо установленным научным утверждением или предсказанием о физическом процессе.

Мы описываем этот процесс с помощью понятий, введенных Гильбертом, Пуанкаре и Сколем,

и мы добавим ряд замечаний, которые, как мы полагаем, находятся в духе рационализма Рассела.

1. Мы все знаем послание знаменитого письма Рассела к Фреге: класс всех множеств
, которые не являются членами самих себя, не является множеством.

Но почему это должен быть набор? И, поскольку это не так, можем ли мы развить четкое представление о

множества (в нашем воображении), которое ощутимым образом показывает, что этот класс не является множеством?

Ответы на эти вопросы были даны почти сто лет назад, и ответ
таков: наборы подобны воображаемым коробкам, предназначенным для того, чтобы содержать другие коробки. Конечно, мы не можем
заключить коробку в себя. И поэтому класс всех коробок не может быть помещен в одну коробку.
Таким образом, класс Рассела-это супербокс, контейнер, предназначенный для хранения всех коробок, но
не супербокса.

Анри Пуанкаре говорил иначе. Он сказал, например, что линия-это не набор
точек, хотя мы можем построить на ней много точек. Аристотелевская концепция
потенциально бесконечных множеств также предполагает представление о том, что множества-это своего рода воображаемые
коробки, ожидающие заполнения.

Дэвид Гильберт в 1904 году [3] использовал еще другие слова. Он писал, что множества являются
thoughtobjects, которые могут быть представлены до их элементов. [По просьбе судьи
, который спросил, Что такое мыслеобъект, позвольте мне добавить: я понимаю его как мысль об
объекте, который может существовать или не существовать. Таким образом, это электрохимическое событие в мозге
или/и его запись в памяти. В частности, это физическая вещь в пространстве-времени.
Конечно, трудно охарактеризовать какие-либо физические явления. Но у нас есть способность
распознавать мысли как тождественные или различные, точно так же, как у нас есть способность распознавать
бесшумная молния из грозовой. Поэтому я понимаю слова Гильберта следующим образом:
математики представляют себе много множеств, которые не существуют, но их мысли о множествах
существуют, и они могут возникнуть до мыслей большинства элементов в этих множествах. Более того,
в 1923 году [4] он до некоторой степени описал алгоритм, создающий эти мысли, см.
ниже раздел 3. ]

534

J. Mycielski

Георг Кантор использовал термин определенные множества, чтобы подчеркнуть разницу между наборами и
собственными классами. Я полагаю, что он должен был думать о множествах и классах таким же
образом, то есть как о ящиках и контейнерах (несмотря на его настойчивое требование действительной бесконечности),
потому что это единственный способ, которым я могу актуализировать их в своем воображении.

Тем не менее, даже сегодня слово "множество" немного сбивает с толку некоторых философов, которые не
привыкли к теории множеств. На самом деле некоторые озадачены парадоксом Рассела и думают, что
схема существования непоследовательного множества Фреге интуитивно понятна. Было бы лучше, если
бы учителя теории множеств (и книги по теории множеств) сказали в начале, что важно рассматривать
Вселенную множеств как контейнер, предназначенный для хранения ящиков, предназначенных для других ящиков, и
один из них должен оставаться пустым. Конечно же набор-скобки

{...} предложите этот
вид множеств, но эта нотация должна быть объяснена тем студентам, которые встречаются
с ней впервые.

- "Однако позвольте мне защитить Фреге. Когда мы строим аксиоматические теории, естественно
начинать с аксиом, настолько сильных и настолько простых, насколько это возможно (даже если вы не
очень хорошо видите). Затем, если обнаруживаются несоответствия, то, конечно, аксиомы приходится подрезать
. Таким образом, было естественно, что Фреге начал с самой простой и сильной
аксиомы существования множества, которая пришла ему в голову. Нечто подобное произошло, когда Х.
Штайнхаус предложил аксиому детерминации. Его первоначальная форма была слишком сильной, и
я обрезал ее (затем мы опубликовали ее вместе). Но у меня была и другая, более сильная
версия и Д. Скотт показали, что она непоследовательна; см. [6], с. 219. И снова когда

Уильям Рейнхардт предложил свои аксиомы больших кардиналов К. Кунен показал, что некоторые

среди них были слишком сильные и непоследовательные. И недавно некоторые аксиомы, которые подразумевают
GCH, пришли мне и Х. Вудину, показали, что некоторые из них были несовместимы
друг с другом (более слабые версии, которые все еще кажутся согласованными, также подразумевают GCH
и кажутся интересными; см. [9]). В такой работе приходится идти на некоторый риск.]

Представление о множествах и классах как коробках и контейнерах указывает на
конструктивный процесс в человеческом воображении, создающем теорию множеств. Это предполагает тезис о том, что
Сколемовский парадокс существования счетных моделей ZFC вовсе не парадокс, а
предварительное математическое описание этого процесса. Онтология
математики Гильберта была понята следующим образом: чистая математика-это рассказ о ничто (то
есть о чем-то совершенно воображаемом). Это называется формализмом. Это не удовлетворяет,
так как не объясняет, почему математика (теория множеств ZFC) кажется con-
sistent, и почему это кажется открытием, а не чистым изобретением. Я думаю, что
его мнение (по крайней мере в 1904 г.) был глубже, а именно, что чистая математика-это описание
(однако косвенное или метафорическое) роста конечной структуры мысли-объекты
фактически построены на человеческих фантазий, и что теория множеств является прямым
продолжением человека естественной логики, умения классифицировать вещи в комплекты, и
логика и потенциал для создания языка, данной нам естественной эволюции. Возможно
, существенная часть этого взгляда восходит к Аристотелю (я недостаточно знаком с ним
древняя математика, чтобы сделать какие-либо твердые атрибуции). Этот взгляд будет назван здесь
рационализмом. Заметьте, что она свободна от платоновских онтологических допущений. Это объясняет
веру в последовательность ZFC как индуктивный вывод, основанный на мысленном
эксперименте. Это объясняет также такие произведения художественной литературы, кроме математики, где что-то

Гильбертовский (сильно забытый) взгляд на теорию множеств

535

достаточно конкретно было придумано такое, что его можно было бы описать многими способами
и на любом общем языке. Позже (в 1923 году) Гильберт предложил формализм (его
ε-символы) для прямого (не-метафорического) описания таких растущих конечных
структур. Эти структуры также были описаны в 1920 и 1922 годах в математических терминах
(неофициально) Торальфом Сколемом; см. разделы 3 и 4 для получения более подробной информации.

Таким образом, рационализм предлагает биологическое объяснение (и описание) природы
чистой математики и всех достаточно конкретных воображаемых структур, принимая их
за физические процессы и их записи в человеческом мозге. В оставшейся части этой
лекции я попытаюсь более полно объяснить рационализм и добавлю несколько замечаний (или
впечатлений) о его истории. Конечно, этот рассказ - всего лишь набросок, который далек
от полноты.

2. Позвольте мне начать с некоторых событий из моего раннего образования.

Я спросил своего учителя средней школы, является ли математика последовательной. Он сказал, что он
не уверен, так как есть вещи, называемые парадоксами в теории множеств. Но он сказал, что некоторые
беспокоились об этом вопросе, и это стимулировало написание некоторых книг. Он
одолжил мне одну, полуформальное изложение того, что тогда называлось теоретической арифметикой.
Он был полон тесно связанных доказательств очевидных фактов, все это было педантично и скучно,
и абсолютно неубедительно по отношению к моему вопросу.

Конечно, позже я узнал, что Гильберт задавал тот же самый вопрос, и что Гедель имел

показано, что в некотором смысле мы не знаем и не можем знать ответа.

Но, несмотря на это, у меня был опыт, который я могу повторить по своему желанию: читая
формулы, выражающие аксиомы теории множеств, я формирую в своем воображении приблизительную
картину Вселенной множеств, которая настолько конкретна, что убеждает меня в том, что эта система
аксиом непротиворечива.

Как проанализировать этот опыт? Что происходит в моем воображении? Я считаю
, что мысленно строю небольшой конечный сегмент корпуса Сколема множеств, порожденных
пустым множеством, с помощью операций, предложенных аксиомами. Эта конструкция
кажется настолько регулярной, в некотором смысле периодической, что я верю, что она может продолжаться вечно.
Инъекция бесконечного множества прекрасна, никаких препятствий вообще нет. (См. также ниже,
раздел 3.) Физическое предсказание, что ZFC никогда не будет найден несовместимым
, эквивалентно предсказанию, что эти конечные сегменты корпусов Skolem могут быть расширены для as
до тех пор, пока мы можем и хотим сделать это (даже с помощью компьютеров). [Более подробное
математическое определение этих конечных структур, возникающих в человеческом воображении и
поддерживающих ощущение непротиворечивости и конкретности математических теорий
, дано в [8].]

Я не хочу быть непочтительным к тем, кто верит Платоникам, но мне кажется
, что этот опыт в умственном построении не имеет ничего общего с видением
Платоновской Вселенной множеств. Это вытекает из определенной регулярности ZFC. Если бы я подвергся
воздействию, например, NF Куайна, я думаю, что у меня не было бы такого опыта, поскольку
отношение членства Quinean имеет петлю

V ∈ V и поэтому конечные сегменты
корпусов Skolem для NF не так просты. Я рассказывал о своем личном опыте; возможно
, у всех вас был этот опыт (если не с ZFC, то с PA)?

536

J. Mycielski

[Более общее замечание может представлять интерес: тот факт, что мы считаем, что

консистенция ЗФК обусловлена психическим механизмом

М, который превращает в убеждения
эти (и многие многие другие) индуктивные обобщения, основанные на ментальном или внешнем
опыте.

M действует таким образом, что оно превращает в убеждения любое описание или
теорию, которое кажется истинным (то есть согласуется с фактами в некоторой предполагаемой мере)
и является самым простым (или дизъюнкцией самого простого) среди тех описаний, которые
мы знаем и которые, по-видимому, имеют это согласие. [Принять самое простое из наиболее
полных описаний часто называют выводом из наилучшего объяснения. ] Конечно
, есть два способа проверить такое согласие: мы узнали это описание из
источника, которому мы можем доверять, или мы сделали себе наблюдение или эксперимент
что подтверждает это достаточно сильно. Более того,

М действует независимо от нашей воли. В
частности, трудно или невозможно потерять нашу веру, если мы не забудем ее или не выучим
лучшее описание (т. е. такое, которое проще и/или кажется удовлетворяющим этому соглашению
в большей степени). Заметить это

М-это признак хорошего интеллекта, и он
противостоит любой общей форме скептицизма. Позвольте мне добавить, что как только эволюция дала
нам возможность свободно формировать сложные ментальные модели реальности и язык для
их передачи, она должна была также дать нам инстинктивное предпочтение самым простым
таким моделям, т. е. тем, которые легче всего запомнить и передать с
нуля. И

М-это совершенная форма этого инстинкта. Я полагаю, что существует и
другая причина для такого предпочтения: самые простые теории, которые кажутся истинными, имеют
больше шансов быть истинными (в их предполагаемых мерах). В повседневной жизни и
науке это предпочтение всегда соблюдается.]

Таким образом, все вопросы, почему математика кажется последовательной, почему она так конкретна
или реконструируема в нашем сознании, получают ответы. Все это основано на простоте
аксиом ZFC и способности человека выполнять мысленную конструкцию соответствующих
конечных структур, когда они подвергаются воздействию этих аксиом. (Хотя вполне возможно, что кто-то вроде
самого Цермело может сначала представить себе структуры, а затем выразить аксиомы.)

Тем не менее, я не думаю, что ZFC имеет какую-либо абсолютную позицию. Большинство расширений ZFC
с аксиомами существования больших кардиналов даже некоторые очень сильные (например,
аксиома Вопеньки или Рейнхарда

n-расширяемые кардинальные аксиомы существования), легко включаются
в приведенную выше ментальную конструкцию, которая дает таким же образом убеждение в том, что
они последовательны. Но, конечно, по мере того, как аксиомы становятся сильнее, убеждение
становится слабее. Я полагаю, что наш разум имеет некоторые субъективные оценки
вероятности согласованности этих теорий; однако эти значения нелегко
измерить, они присутствуют только в нашем подсознательном знании и изменяются со временем
и опытом. Это чем-то похоже на оценку позиций в шахматах. (Что касается
нашей оценки знаний см. ниже Раздел 5 (e).) В более общем плане, все наши убеждения
могут иметь такие вероятности в нашем сознании. (Таким образом, понятие осуждения, используемое
выше, является упрощением. Вместо того, чтобы создавать убеждения

М приписывает теории вероятности
непротиворечивости (и истинности, когда эта концепция применима). Но мы можем
ясно наблюдать присутствие этих вероятностей в нашем сознании только тогда, когда они
близки к единице или к нулю.)

Гильбертовский (сильно забытый) взгляд на теорию множеств

537

Конечно, следует помнить, что ментальные конструкции, поддерживающие
согласованность ZFC и его естественных расширений, не являются полными доказательствами. Например мне кажется
, что если кто-то не знаком с теорией множеств, и он подвергается воздействию ZFC +

AD (где AD является аксиомой детерминации), он может иметь тот же положительный expe-

- риенс. AD может показаться ему естественным обобщением факта о конечных играх
совершенной информации. Действительно, столкновение между AD и аксиомой выбора не
сразу видно, поскольку оно требует более длинного доказательства. По крайней мере, я могу сказать, что если я опущу
аксиому выбора, то есть я рассматриваю теорию ZF

+ AD, тогда этот ментальный опыт
, поддерживающий последовательность, происходит в моем уме. И я верю, что всякий раз, когда мы рассматриваем
новую теорию, в начале у нас есть только этот мысленный конструктивный метод и нет никакого
Платоновского телескопа, чтобы увидеть что-либо.

3. В 1951 году логик Я. Слупецкий сказал мне: я понимаю свободные переменные. Это места
для подмены более конкретных терминов. Но я не понимаю кванторов, так
как часто они прямо ссылаются на некоторые действительно бесконечные вселенные, в существование которых я не верю
. (Как и многие польские логики того времени, Слуцкий называл себя
номиналистом, так же называли себя Котарбински и Тарски. Они были под влиянием К. Твардовского.
Смотрите также [8].)

Но был отличный ответ на его вопрос, который Гильберт дал в 1923 году [4]
, который я не знал в 1951 году (возможно, что Слупецкий знал это и хотел только
стимулировать своего ученика): гильбертово письмо

ε-символы исключают кванторы из основных

формализм логики. Кванторы становятся сокращениями или определенными символами. Именно,

∃yϕ(x, y) ↔ ϕ(x, εyϕ(x)),

и

∀yϕ(x, y) ↔ ϕ(x, εy(ϕ)(x)).

На самом деле, если мы добавим к логике первого порядка без кванторов то

ε-оператор, а Гильберта

схема аксиомы (H):

ϕ (x, y) → ϕ (x, εyϕ (x)),

и приведенные выше определения, то можно доказать обычные схемы аксиомы на кванторах.

Даже переменные могут быть исключены, так как приведенные выше формулы могут быть интерпретированы

как аксиома схемы логики, где свободные вхождения переменных

x и y
понимаются как произвольные константы (т. е. термины без переменных). (Под
схемами аксиом мы подразумеваем определенные правила, которые дают теоремы.)

Таким образом, как кванторы, так и свободные переменные в любых утверждениях объясняются через
ε-символы Гильберта как схемы для формул без каких-либо переменных, свободных или связанных. Таким образом,
формулы со свободными переменными могут быть поняты как правила для формирования
предложений без кванторов (т. е. формулы без каких-либо переменных), и эти предложения не относятся ни к
каким объектам, кроме тех, чьи имена появляются в них, в частности они не относятся
к юниверсам. Конечно, если

y-единственная свободная переменная в Φ, тогда член εyϕ является
константой. Эта константа может быть названа общим объектом, так как ее единственное целевое
свойство выражается схемой (H), т. е. она максимизирует значение истинности

ϕ. (Это так

полезно обобщить все это таким образом, чтобы мы поняли

x и y, чтобы быть любым конечным

последовательности переменных, и

εyϕ (x) как последовательность| y / функциональных символов, каждый из которых имеет

538

J. Mycielski

| x / переменные места, где |s / обозначает длину последовательности s.) [в отношении
ментальной роли переменных см. Также ниже Раздел 5 а). ]

Теперь обратите внимание на следующую амбивалентность предложений логики первого порядка.
Платоник понимает их как утверждения об идеальной (чаще всего фактически бесконечной)
структуре. Формалист принимает их за бессмысленные ряды символов.
Рационалист (я) понимает их как утверждения о конечных структурах констант, которые
названы в этих предложениях. Кроме того, в зависимости от контекста рационалист
понимает формулы со свободными переменными как имена отношений или как правила для производства
предложений. И он понимает термины с переменными как правила для получения констант
(не утверждая, что он знает или всегда может решить истинностные значения равенства
или других отношений своего языка, когда они применяются к этим константам). Таким образом
, все три используют один и тот же математический язык, но рационалист интересуется
физическими структурами мыслей, лежащими в их основе (в человеческом мозге), и для него
взгляд платоников оказывается ложным, а взгляд формалистов-тривиальным. Понятно, что
рационализм обобщает такое, что он объясняет не только чистую математику, но и все произведения
художественной литературы, выраженные на общих языках, и объясняет все это в биологических терминах, таких как
как мыслеобъекты различного рода, так и исчисления терминов, отношений и логических
связей естественной человеческой логики.

4. Я не знаю, сопоставлял ли когда-нибудь Гильберт свою точку зрения 1904 года (что множества
-это мысленно реально сконструированные мыслеобъекты, члены которых не обязательно должны быть реально сконструированы)
со своей

ε-символы 1923 года (которые обеспечивают обозначения для всех мысленных объектов). Он

не упоминает также, что

ε-оператора можно рассматривать как инструмент для именования Сколема
функции (1920-1923, см. [16]), ни, как мы уже объяснили выше, что они дают
язык описания непосредственно того, что созидательный процесс в нашем мозге, который
стимулируется значение аксиом теории ZFC (см. [8] для более полного определения
этих воображаемых структур).

В своих более поздних работах Гильберт ввел запутанное различие между конкретными
и абстрактными понятиями, которое не соответствует его идее 1904 года (и не связано с
ε-символами). Конечно, мы различаем те понятия, которые используются
в приложениях математики для представления физических объектов и процессов, и те
объекты чистой математики, которые не имеют такого использования, см. [10]. Но это, по-видимому, не
то различие, которое он имел в виду, или, по крайней мере, это не то, как его комментаторы
понимали это (например, понятно, что отдельные действительные числа не входят в число
его конкретные объекты, однако они имеют, конечно, прямые физические интерпретации). По-
видимому, он хотел, чтобы его конкретные объекты были теми, которые могут быть обозначены конечными
строками символов (например, целыми числами). Но затем, согласно рациональной точке зрения,
он совершил онтологическую ошибку, поскольку либо это подразумевает, что существуют математические
объекты, которые не могут быть реально обозначены или воображаемы (платонизм), либо что все объекты
конкретны (и это различие бесполезно).

[Возможно, мы можем спасти различие Гильберта, говоря, что структура состоит из
конкретных объектов, если у нас есть система имен для всех ее отдельных объектов и
процедура принятия решения о равенстве и других основных отношениях, когда они применяются к ним

Гильбертовский (сильно забытый) взгляд на теорию множеств

539

имена (такая структура называется вычислимой структурой). Например, отдельные
объекты теории чисел (целые числа), логики (термины и формулы) и конечной
комбинаторики (наследственно конечные множества) являются конкретными, в то время как объекты арифметики второго порядка
(вещественные числа)-нет. Но поскольку я не знаю никакого онтологического значения этого
понятия, я сомневаюсь, было ли это намерение его различения.]

5. Наконец, позвольте мне добавить различные мысли о философии математики
и даже философии в целом (как упоминалось выше, онтология математики
, представленная здесь, имеет более общее значение). Эти замечания будут дополнять некоторые
высказанные ранее замечания, однако они являются несколько неполными. Я осмеливаюсь сделать их
, потому что предыдущий текст кажется уже диаметрально противоположным подавляющему большинству
онтологических мнений, выраженных философами, а также текущим мнениям
феноменологов и постмодернистов. Действительно, я считаю, что рационализм (как определено
выше) ставит под сомнение познавательную ценность значительной части философской литературы.
Это также говорит о том, что литература по истории философии, как правило, неполноценна
, так как она некритична и поэтому сбивает с толку. Многие авторы подчеркивают тупиковые ситуации и представляют
их в качестве жизнеспособных альтернатив, вместо того чтобы пытаться отделить солидный вклад в
знание или отделить то, что известно, от открытых проблем и осветить
политическое или/и религиозное давление, которое могло бы вызвать ошибки. (Возможно, там
существует сомнительная вера в то, что ошибка является необходимым предшественником знания. На самом деле ошибка
часто затемняет истину и затрудняет построение знания. Невежество,
когда оно открыто признается, гораздо полезнее.) Затем некоторые философы пытаются
оправдать все это, утверждая, что философия неспособна дать какие-либо окончательные ответы
на свои основные проблемы. Это, в свою очередь, кажется мне преувеличением. Более того, я
считаю, что философия не похожа на чистую математику. Мы можем знать математику, как
мы можем знать другие рукотворные структуры, поэтому метаматематика-это знание, так как она
это математическая теория реальности, но чистая математика не является знанием, поскольку
она говорит о воображаемых структурах. С другой стороны, цель философии-
быть частью знания. На самом деле твердое философское знание существует, и я надеюсь, что
рационализм принадлежит знанию. Кроме того, философская критика в науке крайне
необходима (особенно в физике). Но философы оставили это ученым, которые не
очень хорошо в этом разбираются. Слишком часто их оценка основных нерешенных проблем недостаточна
, и они переоценивают алгоритмические и технические ноу-хау.

(a) математики часто оставляют интерпретации и приложения своих концепций
другим, и Гильберт, возможно, опустил все, что казалось ему слишком очевидным. В
философских вопросах он предпочитал писать о вещах, с которыми у него были трудности,
а не о тех, которые были ему ясны. Тогда его комментаторы могли упустить некоторые
смыслы, которые он имел в виду. Возможно, идея о том, что все мысли и воспоминания (а
следовательно, и все математические объекты) являются физическими вещами в человеческом мозге, была бы
очевидна многим ученым на рубеже XIX века.

Я полагаю, что этот взгляд подразумевает, что нет никаких объективных степеней конкретности мыслеобъектов
(я вернусь к этому вопросу чуть позже). Однако мысли могут
быть хрупкими в том смысле, что они мимолетны и не воспроизводимы, или же тверды в своем развитии.

540

J. Mycielski

чувствуйте, что они запоминаются и могут быть объяснены другим многими способами. Более
важным является объективное различие между теми воображаемыми мыслеобъектами, которые
называют и предназначены для моделирования других физических объектов или процессов (например, многих
геометрических фигур), и теми мыслеобъектами, для которых существует мало или вообще нет шансов
найти физическое значение (например, хорошо упорядоченная реальная линия). Это
также обсуждается в [10]. Таким образом, в моем словаре конкретное означает физическое, но оно
не означает осмысленное или представляющее что-то реальное. Таким образом, в чистой математике мы
пишем символы, такие как 2 или

≺ (хорошо упорядоченная реальная линия), и оба они являются символами для
конкретных мыслей, несмотря на то, что 2 является определяемым и играет важную роль
во многих приложениях (например, как свойство объектов, которые мы рассматриваем как состоящие
из двух подобъектов), в то время как

≺ не определяется на языке ZFC (до
ε-расширения) и не имеет предполагаемых прямых физических интерпретаций. То есть, когда
математик использует

≺ в доказательстве, ≺ так же конкретно в его воображении, как и любой другой

мысль-объект.

Возвращаясь к нашему обсуждению переменных, позвольте мне еще раз подчеркнуть, что они являются не
только местами для подстановки (как сказал Слуцкий). Когда мы используем их в расчетах
и доказательствах, они приобретают в нашем сознании статус мыслеобъектов, объектов, которые можно
назвать общими и обозначить константой

ε-термы. Например рассмотрим два выражения

x = x,

εy(y = y) = εy(y = y).

Первое можно объяснить как сокращение второго (которое является более явным).
Нас не волнуют (мы абстрагируемся) все свойства объекта

ey(y = y) (за исключением того, что

это максимизирует

(y = y), т. е. мы можем использовать (H)), поэтому мы называем его общим объектом. [Но бесплатно

переменные также используются различными способами, например в выражении

(x = y). Действительно,
это выражение не может быть понято как утверждение, но либо как обозначение (
мысль) отношения неравенств, либо как схема для некоторых утверждений без
переменных.]

Пуанкаре сделал следующую ошибку: с его рациональной интерпретацией бесконечных
множеств и классов как потенциально бесконечных множеств и классов (мы сказали коробки и контейнеры)
он слишком поспешно перескочил к предсказанию, что теория бесконечных кардинальных чисел Кантора
никогда не будет интересной или подлинной частью математики. Таким образом, он полагал, что один
вид (предположительно слишком абстрактных) объектов может быть априори запрещен в математике. По-
видимому, он также считал, что каждая хорошая математическая теория должна вносить свой вклад в
естественные науки. Но такое требование не согласуется с его собственным утверждением о том, что
в математике существовать - значит быть воображаемым и свободным от любого известного противоречия.
Действительно, по мнению большинства из нас теория множеств-это хорошая и даже восхитительная теория.

В) давайте задумаемся над вопросом, какая информация или какая конкретная структура
математических объектов так ценится конструктивистами или интуитивистами и
в соответствии с ними теряется в классической математике? См., например, [1]. Согласно нашей
рациональной интерпретации, если постулируется или доказывается экзистенциальное утверждение, то
соответствующим объектом должна быть конкретная мысль. (Конкретное не означает полностью
определенное в обычном языке первого порядка, например, мы можем думать о целочисленном языке

Гильбертовский (сильно забытый) взгляд на теорию множеств

541

ey (y = y), и мы не хотим решать его четность, таким образом, он остается общим объектом; или
мы можем думать о карандаше, но мы не думаем о его цвете или длине). Это говорит
о том, что в классической математике ничего ценного не теряется.

Единственное предположение интуитивистов, мотивация которого мне ясна (хотя они
и не выражают ее таким образом), состоит в том, что математика должна иметь дело только с вычислимыми
структурами. Но я думаю, что это ограничение сильно обеднило бы математику.
Мотивация их второго ограничения, а именно отклонения доказательств с использованием закона
исключенного среднего, мне гораздо менее ясна, и это еще больше повредило бы математике
. Это верно, что это ограничение автоматически заставляет математика доказывать
больше, однако если эффект этой дополнительной работы не выражается в теоремах, то он
теряется. Я считаю, что лучше доказывать более сильные теоремы классическим способом, чем
скрывать их смысл в их интуитивистских доказательствах.

[Интуитивистская логика не согласуется с тем, как мы организуем теории и
описания реальности. Мы наблюдаем, что в мире в целом теории и аргументы строятся
так, что Р или не-р принимается за истину, не обязательно зная, что

p истинно или
зная, что не-p истинно, и классическое математическое мышление ничем не отличается
от обычного мышления. (Конечно же, в нашем воображении

p не является ни истинным, ни ложным,
это пропозициональная переменная, общий объект определенного рода.) Таким образом, человеческое знание
организовано на основе классической логики, а не интуитивистской логики; см. Также [5], [8],
[10].]

(d) все рассуждения об истине и существовании в математике в сборнике
[2] предлагают или предполагают теории, которые неубедительны, поскольку эти теории более
сложны, чем рационализм. Таким образом, несколько слов о понятиях истины и существования
вполне уместны. Как мы знаем, истина (в ее первичном значении) - это согласие между
предложениями и реальностью, и адекватная математическая теория этого отношения была
дана Тарским. [Эта теория вдохновляла теорию моделей, но последняя вышла далеко за пределы
первоначальной эпистемологической мотивации Тарского.] В соответствии с этим первичным смыслом,
поскольку чистая математика говорит о воображаемых объектах, в ней нет истины, и
слово истина (когда мы говорим о математических утверждениях или теориях) имеет другое
значение, чем на обычном языке. Мне кажется, это так легко объяснить, что я не
понимаю, почему философы писали статьи, посвященные этому вопросу. А именно, когда речь
заходит об истинности математических утверждений, мы находимся в сфере метаматематики,
см. Также [7]. Таким образом, a истинно означает, что A было принято или доказано из аксиом и
определений, которые ясны из контекста. Если мы оспорим утверждение, что утверждение а истинно, то мы
вопрос о существовании такого доказательства

Ответ-устная и письменная математика не
описывает непосредственно структуру математических мыслей. Мы можем сказать, что это истинное, но
метафорическое описание наших конечных мыслительных структур. Прямое описание, то есть
перевод математики на язык без переменных, определенный в разделе 3, было
бы слишком длинным для использования человеком. [Но я думаю, что это станет полезным для компьютеров, так
как для них такие переводы обычных выражений не будут слишком долгими, пока правила
доказательства переменного свободного языка более единообразны.]

Кроме того, в чистой теории моделей истина или удовлетворение не имеют никаких физических значений.
Такие значения появляются только тогда, когда теория моделей применяется для объяснения истинного свойства

542

J. Mycielski

о реальных мыслях или текстах, описывающих реальность. Таким образом, еще раз, истина может появиться только в
приложениях.

Подобным же образом термин "экзистенция" означает нечто иное в обыденном языке,
философии и науке, нежели в математике. Сначала рассмотрим тривиальное предложение:
все существует. Конечно, понятие существования, используемое здесь, не отличает
ничего от чего бы то ни было, и поэтому оно бесполезно. Таким образом, первичное (и полезное) значение
этого термина должно быть иным. На самом деле его роль заключается в том, чтобы отличать те
мыслеобъекты, которые предназначены для обозначения или соответствия чему-то, от тех, которые
являются чисто воображаемыми (то есть без такого намерения). Но в чистой математике
смысл существования иной. Он отличает мыслеобъекты, которые кажутся
непротиворечивыми, от несогласованных или, в других контекстах, а существует означает, что
мы смогли доказать (в смысле, ясном из контекста) теорему о том, что an

А с
такими-то и такими-то свойствами существует. (Несогласованные объекты действительно появляются в математике на
временной основе в доказательствах reductio ad absurdum и в некоторых предварительных
попытках построить непротиворечивые объекты.)

Mutatis mutandis все вышесказанное относится ко всем художественным произведениям. (Что касается

физические интерпретации математических объектов см. Также [10].)

е) более сложно объяснить или построить интересную теорию интуиции, см.
[11] и ссылки в ней. Есть поразительные примеры важности интуиции:

Хороший шахматист использует для этого не только вычисления, но и свои интуитивные знания

чтобы выбрать хороший ход, математик использует интуицию, чтобы сформировать интересные аксиомы,
определения, гипотезы и построить доказательства. В каждом случае существует слишком много возможных
вариантов, и их последствия слишком далеки, чтобы их исследовать, и человек применяет свое
оценочное знание (EK), см. [8]. ЭК, который полезен в шахматах и математике
, полностью изучен, так как не было никакого эволюционного давления, чтобы дать нам такие возможности. В
работе [8] я разделил знания на ЭК и описательные знания (ДК), а также предложил некоторые
математические определения и теории процесса обучения ЭК и ДК. Здесь
Я только добавлю, что интуиция, механизм

M (см. Раздел 2) и EK тесно
связаны друг с другом. Действительно, оценка степени истинности утверждения,
силы аналогии или простоты теории или описания-все это делается
на основе EK, и они необходимы для действия

M. наоборот M играет an

важная роль в строительстве ЭК.

Предполагая, что наши математические теории EK и DK (см. [8] и ссылки
в них) адекватны, основная нерешенная проблема заключается в том, чтобы объяснить, как EK и DK
влияют на развитие друг друга и как они взаимодействуют в нашем сознании.

(f) философское значение теории доказательств неясно, поскольку, как представляется
, нет онтологического или психологического значения доказательств непротиворечивости арифметики.