Философия дю Буа-Реймона и программа Гильберта

Взгляд поля дю Буа-Реймона на математику включал взгляды, которые можно было бы естественно
ожидать в положении, на которое программа Гильберта должна была быть ответом. Он и Гильберт
согласились бы, что при правильной метафизике доказательства, доказательства рассматриваются
как массивы представлений. Дю Буа-Реймон считал, что математическое мышление-это
управляемая правилами манипуляция представлениями, а не
прямое интеллектуальное взаимодействие с математическими объектами, как утверждали интуитивисты. Он полагал, что разум
населен представлениями или Vorstellungen, которые являются абстрактными в различной степени. В
уровень, близкий к восприятию, репрезентации извлекаются из восприятий или интуиций
и стоят для воспринимаемых или интуитивно воспринимаемых объектов так же, как ксерокопия может стоять для своих

526

Д. К. Маккарти

оригинал. Можно было бы назвать их "объектными представлениями".- Дю Буа-Реймон допускал
, что существуют также представления, полученные не из реального восприятия, а из самого
разума. Он называл их Wort-Vorstellungen, словесные представления. В этом случае
нет никакого живописного изображения, но только слово, чтобы пометить концепцию. Наши представления
о границах последовательностей рациональных чисел часто были бы такого рода. Для дю
Буа-Реймона доказательства должны были представлять собой комбинации представлений, удовлетворяющих определенным
математическим требованиям. Во введении к общей теории функций мы находим,
"Так много, конечно, ясно: доказательство должно соединить либо представление, которое
уже доступно в начале, либо общее содержание класса представлений,
известного как понятие, с новым, которое должно быть схвачено или доказано, окончательное представление через
связную цепь представлений” ([11]: 11).

Во-вторых, для Дюбуа-Реймон, как для Гильберта, успешного доказывания должно быть конечным
по протяженности и полностью surveyable: “для доказательства, а с объяснением, является, на
дно и вообще говоря, производство логически удовлетворения последовательность
представления, связывающие одно представление, в котором участвует наша забота, чтобы такие
представления, которые не нарушают наш покой” ([11]: 111). Анализ дю Буа-Реймона
различных аргументов в пользу существования пределов, изложенных идеалистом в общей
теории функций ([11]: 61ff), предполагает конечность доказательств. Например, в
Идеалист критиковал стандартное доказательство, исходящее из многократного интервального деления, за
наименьшее свойство верхней границы вещественных чисел, а именно, что каждая ограниченная, строго
возрастающая последовательность вещественных чисел приближается к пределу, своей наименьшей верхней границе. Как
попытка доказательства, как связная репрезентативная цепь, преобразующая представления
для посылок в представления для выводов за конечное число промежуточных шагов,
процедура интервального деления терпит неудачу, или так рассуждал идеалист. У дю Буа-Реймона был тот самый
Идеалисты жалуются на то, что в конечном итоге процедура деления не может произвести из начального
представления объекта для интервала и последовательности представление объекта для
одной безразмерной предельной точки. Он утверждал, что в цепи представлений, составляющих доказательство, может быть только конечное число шагов
. Однако после конечного числа
шагов может быть сделано самое большее конечное число делений исходного интервала, охватывающего хвост
последовательности. На конечном этапе процесса деления, этап, на котором
предполагаемое доказательство должно заканчиваться, в лучшем случае остается объект-представление
рационального интервала ненулевой длины (возможно, визуализированный отрезок линии), а не
визуализированная точка или точка, представляющая уникальное вещественное число, которое
требуется для вывода доказательства. “Исходя из наших предположений, мы, безусловно, можем продолжать сокращать
длину интервала без ограничений. Это, однако, процесс, который ничего не меняет
в природе наших представлений. Большой или маленький, интервал

... остается всегда
интервал между двумя рациональными точками " ([11]: 61). Независимо от того, оправдан этот
ход мысли или нет, он не имел бы никакого смысла, если бы автор общей теории функций
в лице идеалиста не требовал доказательств, состоящих из представлений и имеющих конечную
длину.

В-третьих, было бы не совсем анахронизмом спросить, не считал ли себя Поль
дю Буа-Реймон, со своим бесконечным расчленением, создателем нестандартного континуума.
Конечно же, современные идеи нестандартной модели и абстрактных языков sepa-

Гильберт и Поль Дю Буа-Реймон

527

ставка из их различных интерпретаций тогда еще не была доступна. Дю Буа-Реймон считал
, что свойства его области бесконечностей или бесконечных порядков (не путать с
канторовой арифметикой бесконечных кардиналов, совершенно отличающейся по своему развитию) до
некоторой степени совпадают с теми, которые обычно предполагаются среди стандартных вещественных чисел.
В нестандартном числовом континууме также проявляются некоторые особенности стандартной области, охватываемые геометрическими представлениями объектов,
например, плотность. Однако
эти два континуума могут иметь не все аналитически различимые общие черты. США-
в ходе диагонализации дю Буа-Реймон доказал, что бесконечные порядки определенно не
обладают наименьшим свойством верхней границы. Область приказов содержала бесконечно малые числа,
что также смог показать дю Буа-Реймон.

В первом приближении противостояние между двумя персонажами дю Буа-Реймона,
идеалистом и Эмпириком, было регистром расходящихся взглядов на существование
бесконечно малых величин. Идеалист отстаивал видение, согласно которому нестандартный числовой
континуум образует истинную структуру, лежащую в основе геометрического континуума, структуру
, открытую аналитическому интеллекту, но раскрывающуюся лишь частично, в проблесках, часто мимолетных
и вводящих в заблуждение, для геометрической интуиции. Нестандартный континуум идеалиста
- это идеал, или серия идеалов, положенных разумом и вставленных для заполнения пробелов в геометрическом
континуум, где должны лежать границы. Напротив, Эмпирик был сторонником
реальной системы счисления, исчерпанной интуицией; его математический эмпиризм должен был стать
системой “полного отречения” ([11]: 3). Эмпирик отрекся от бесконечно малых величин,
ограничившись созерцаемыми реальными величинами. Он открыто отрицал, что
аналитический аппарат идеалиста работает за кулисами, создаваемыми представлениями объектов
как подходящим фоном для математического анализа.

Разделение математической мысли Дюбуа-Реймона на эмпиризм и
идеализм в значительной степени совпадало с разделением ее на конечную и бесконечную части,
причем первая из них сохраняла приоритет над второй. Идеалист полагал
, что понятие бесконечно больших величин и бесконечно малых величин имеет
смысл и должно быть воплощено в реальности; эмпирик отрицал
и то, и другое. У дю Буа-Реймона было его эмпирическое восклицание: “для построения
математики достаточно конечного” ([11]: 146). Континуум идеалиста был таков:
быть несчетным по величине, но эмпириком-только потенциально бесконечным.
Важно помнить, что в трудах дю Буа-Реймона идеалист и
Эмпирик были не столько представителями различных фундаментальных школ, например
логицизма или конструктивизма, сколько различимыми голосами в одном и том же математическом
сознании. Каждый математик, думал дю Буа-Реймон, иногда рассуждает
как идеалист, а иногда как Эмпирик, подобно тому как в схеме Гильберта финитизм
господствовал бы в метаматематическом раю в то же самое время, когда бесконечное, классическое
анализ господствовал над математической землей.

Далее, поскольку дю Буа-Реймон полагал, что континуум Эмпирика
согласуется с континуумом идеалиста во всех приемлемо элементарных геометрических и аналитических
отношениях, ни одно объектное представление и ни один математический факт никогда
не будут различать противоположные видения, подтверждая одно и опровергая другое.
Идеалист никогда, если только он не совершает математической ошибки, не будет претендовать на то, чтобы быть чем-то большим.

528

Д. К. Маккарти

математический факт элементарного характера, который Эмпирик не сможет
принять. Несмотря на угрозу анахронизма, можно было бы предположить, что идеалистическая математика
должна быть консервативной по отношению к эмпирицистской, когда речь заходит о математике, приемлемой
для последней, так же как бесконечно большая арифметика Гильберта должна быть консервативной по
отношению к ее финитному фрагменту. Таким образом, эмпиризм в своей строгой приверженности
геометрической интуиции должен был иметь некоторый приоритет над идеализмом. Знание, которое он предоставляет
он уверен в большей определенности, так как, согласно дю Буа-Реймону, обращение к
геометрическому объектному представлению является либо врожденным для человека, либо приобретенным очень рано в
жизни, в то время как свободное аналитическое мышление и словесные представления идеалиста
-нет. Поль дю Буа-Реймон считал результаты идеалистического реального анализа
запоздалым приспособлением к некоторым оригинальным геометрическим данным: "соответственно, мы можем увидеть
в интеркаляции иррациональных чисел среди рациональных только ретроспективную
адаптацию концепции интеллектуального числа к концепции геометрического Магни-
туде, которая либо врожденная, либо приобретается в младенчестве” ([10]: 150). Поскольку идеалист
и Эмпирик должны были согласовать все соответствующие данные, идеалист мог смотреть на
будущий математический прогресс Эмпирика как на дополнительную поддержку для его собственных
бесконечных исследований ([11]: 148).

В-четвертых, в посмертной монографии [12] дю Буа-Реймон утверждал, что
бесконечные математические формулы обычно идеальны в том смысле, что их термины не должны обозначать
что-либо, данное объектным представлением, полученным из воспринимаемой или интуитивной области.
Вместо этого элементы, представленные этими терминами, следует рассматривать как символические ограничения
, добавленные к финитистскому или эмпирическому сектору для того, чтобы завершить его. Кроме
тех величин, как

√

2 связан с видимым результатом геометрические
конструкции, иррациональные числа не являются союзниками объект-репрезентации, но только
слова-представления, которые не имеют ничего общего с интуитивно математической действительности: “в
последовательности содержательной репрезентации точность имеет своим конечным результатом [предела], а
слово, обозначающее нечто непредставимое” ([12]: 80). Несколькими страницами позже в той же работе
мы находим его утверждение “ " понятие бесконечного, которое появляется здесь, является самым
значительным из непредставимых слов-представлений, самым главным идеалистическим понятием,
потому что она лучше всего привязана к вопросу о нашем представлении о существовании
идеального” ([12]: 85-86). В общей теории функций [11] любая чисто
идеалистическая величина есть не что иное, как символ:

Все математические величины, которые мы ввели до сих пор можно найти

в сфере перцептивного мира, ментального или не-ментального. Мы
хотим назвать такие величины реальными. Существуют также величины, созданные
человеческим мыслительным процессом и стоящие вне всякого прямого отношения
к перцептивному миру. Логические процессы для достижения комбинаций
символов, одно из любимых занятий человеческого духа, приводят к
определенным символам, которые в математике также называются величинами и
которые служат для сборки в единый знак математического вывода, который
часто повторяется. ([11]: 38)

Гильберт и Поль Дю Буа-Реймон

529

Кстати, эта цитата помогает подчеркнуть ту степень, в которой дю Буа-Реймон
рассматривал эмпиризм как приоритет над идеализмом. Эмпирик ограничил свои
математические рассуждения теми величинами, которые, как здесь объяснено, реальны.
А вот идеалист-нет.

В-пятых, как уже отмечалось ранее, Поль дю Буа-Реймон недвусмысленно отказался от любого принципа
разрешимости для математических задач. Этот отказ явился непосредственным
следствием его характеристики идеалистического / эмпирического дуализма. Первые верили в
существование континуума, содержащего, помимо обычных величин, бесконечные и
бесконечно малые числа. Последний твердо утверждал, что ни одна из этих чисто аналитических
корректировок на самом деле не существует. По словам дю Буа-Реймона, нет полностью убедительной
математической демонстрации, нет математических данных, нет научно обоснованного ar-
гумента будет достаточно, чтобы доказать либо истинность, либо ложность притязаний идеалиста
на удовлетворение всех. Истинность утверждения "бесконечно малые величины действительно
существуют", имеющего решающее значение для мировоззрения идеалиста, не может быть решена. Это никогда не будет доказано; это
никогда не будет опровергнуто. Не может быть никакого окончательного научного определения структуры
континуума. Изучение текста обращения к проблемам Гильберта позволяет предположить
, что его аксиома разрешимости, высказанная там, вполне могла быть направлена на
изгнание этого конкретного спектра неполноты [21].

Наконец, Гильберт и Брауэр самым решительным образом поддержали автономию
математики. Дю Буа-Реймон отверг его не менее энергично; он настаивал
на том, что математика не является самостоятельной наукой, а может жить только в симбиозе, ее
фундамент укрепляется нематематической дисциплиной. Он писал “ " как и следовало
ожидать и как мы вскоре признаем, [основополагающая] трудность понятия
предела не имеет математической природы. Если бы это было так, то с этим давно бы разобрались
. Трудность на самом деле коренится в простейших составляющих нашего мышления, таких как
представления " ([11]: 2). Дисциплина, лежащая в основе математики, должна была стать надлежащим
изучением представлений. Для дю Буа-Реймона это исследование было той физиологической
психологией, которая так процветала в Германии в XIX веке, среди
выдающихся представителей которой были Иоганн Мюллер, Герман фон Гельмгольц и его
старший брат Эмиль. В первом разделе общей теории функций, посвященном
анализу величины, наиболее часто упоминаются авторитеты, по-видимому, такие физиологи
, как Мюллер и Густав Фехнер. Поль дю Буа-Реймон считал, что физиология будет
Откройте нам экспериментально природу и степень представляемой величины, и на
этой экспериментальной основе можно было бы построить основы математики. Только
таким образом, путем научного определения того, что люди действительно могут воспринимать, можно
с полной уверенностью провести принципиальное различие между Эмпириком, который ограничивается
величинами, полностью захваченными геометрическим представлением о предмете, и идеалистом, который
готов мириться с непостижимыми и непостижимыми величинами
. Самая крупная особенность на карте математической мысли дю Буа-Реймона,
последняя договорная линия между эмпиризмом и идеализмом должна была быть проведена рукой
физиологии, а не рукой математики.

530

Д. К. Маккарти

Вывод

И программа Гильберта, и проект, в котором она принимала участие, были нацелены на ряд
диалектических целей; они не были нацелены исключительно на большую цель, предложенную
интуитивистами. Точно так же в поле его зрения был невежественный план Эмиля дю Буа-Реймона,
грандиозная агностическая схема и, таким образом, фольга, хорошо подходящая для широкого оптимизма и широкого
эпистемологического охвата, предназначенных для проекта. А еще были скептическая
философия и нестандартная математика брата Эмиля, Павла, комбинация, более подходящая
философски, чтобы позволить себе естественный противник Гильбертизма, чем любой интуитивизм от

Амстердам. Чтобы поставить естественность этой оппозиции на четкое отображение было главным

цель этого письма. Никто не усомнится в том, что мы можем получить истинное и прочное
понимание взглядов Гильберта и его союзников, только зная, и зная досконально,
идеи интеллектуальных врагов Гильберта. Следовательно, без должной оценки идей
братьев дю Буа-Реймон и точной оценки того мощного влияния
, которое эти идеи оказали на мыслителей своего времени, не может быть полного, богатого понимания
программы Гильберта, не только в ее первых началах, но и в ее аргументативных
целях, предстоящих в наши дни.

Подтверждение. Я благодарен Кристиану Тилю и Петеру Бернарду из Uni-

версити из Эрлангена, а также Фолькеру Пекхаусу из Университета Падерборна за
разрешение представить предварительные версии этого эссе на коллоквиуме
LogicoPhilosophicum в Эрлангене. Я хотел бы поблагодарить Бернда Бульдта, Фолькера Хальбаха и их
коллег из Logik Forschergruppe в Университете Констанца, особенно Ульфа
Фридрихсдорфа и Макса Урчса, за замечания и предложения по Предтече этой
статьи, представленной там. Бернд Бульдт также был более чем щедр в предоставлении подробных
комментариев по последующим версиям. Существенную помощь мне оказал Герхард Беч,
Мик Детлефсен, Джеймс Харди, Рейнхард Каль, Стюарт Маккензи, Джереми Маккрэри и
Марианна Моберг-Блауэрт. И последнее, но не менее важное: Я благодарю Стива Форреста, Роберта Ноэля и
Паулу Паттон из библиотеки Университета Индианы в Суэйн-холле за их терпение и
решимость в поиске работ математиков и философов XIX века
, которые сейчас, к сожалению, забыты.

Рекомендации

[1]

Brouwer, Luitzen E. J.: 1927. Über Definitionsbereiche von Funktionen. [О доменах
определения для функций.]

1

Mathematische Annalen 97: 60–75.

[2]

Brouwer, Luitzen E. J.: 1928. Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus.
[Интуитивистские размышления о формализме.] Koninklijke Akademie van wetenschappen te
Amsterdam. Труды секции естественных наук. [The Royal Academy of Sciences in

Амстердам.] 31: 374–379.

1

Если не указано иное, переводы с немецкого языка являются моими собственными.

Гильберт и Поль Дю Буа-Реймон

531

[3]

Brouwer, Luitzen E. J.: 1952. Исторические предпосылки, принципы и методы
интуитивизма. In: W. Ewald (tr. и Эд.), От канта до Гильберта: учебник по основам
математики. об. II, Oxford: Clarendon Press, 1197-1207.

[4]

Brouwer, Luitzen E. J.: 1992. Интуитивизм. [Интуиционизм.] Edited by D. van Dalen,
Mannheim: Bibliographisches Institut und F. A. Brockhaus AG., 161пп. (Содержит
отредактированный текст берлинских лекций Брауэра 1927 года вместе с теорией реальных
функций Брауэра, оба ранее неопубликованные.)

[5]

Браудер, Феликс Э. (ред.): 1976. Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта
. Труды симпозиумов по чистой математике. об. XXVIII. Providence, RI:

Американское математическое общество, xii+628. Я исправил перевод книги Гильберта:

1900 г. Лекция в свете [18].

[6]

Cantor, Georg: 1891. Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. [По
элементарному вопросу теории множеств.] Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.
[Годовой отчет немецкой математической Ассоциации.] Erster Band: 75–78.

[7]

Detlefsen, Michael: 1986. Программа Гильберта. Эссе о математическом
Инструментализме. Дордрехт: Рейдель, xiv+186.

[8]

Du Bois-Reymond, Emil: 1886. Über die Grenzen des Naturerkennens. Reden von Emil
du Bois-Reymond. Erste Folge. [О границах нашего познания природы. Адреса
Эмиля дю Буа-Реймона.] Leipzig: Verlag von Veit and Comp., viii+550.

[9]

Du Bois-Reymond, Paul: 1875. Über asymptotische Werte, infinitäre Approximationen
und infinitäre Auflösungen von Gleichungen. [Об асимптотических значениях, бесконечных
приближениях и бесконечных решениях уравнений.] Mathematische Annalen 8: 363–414.

[10] Du Bois-Reymond, Paul: 1877. Über die Paradoxa des Infinitärcalcüls. [О парадоксах

о бесконечном исчислении.] Mathematische Annalen 10: 149–167.

[11] Du Bois-Reymond, Paul: 1882. Die allgemeine Functionentheorie. [общая функция

Теория.] Tübingen: H. Laupp, xiv+292.

[12] Du Bois-Reymond, Paul: 1966. Über die Grundlagen der Erkenntnis in den exakten Wis-

senschaften. [Об основах познания в точных науках.] Sonderausgabe.
Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, vi + 130.

[13] Felscher, Walter: 1978. Naive Mengen und abstrakte Zahlen II. Algebraische und reelle

Zahlen. [Наивные множества и абстрактные числа II. алгебраические и вещественные числа.] Mannheim:
Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, 195.

[14] Geier, Manfred: 1992. Der Wiener Kreis. [Венский кружок.] Reinbek bei Hamburg:

Rowohlt, 157.

[15] Hardy, Godfrey H.: 1954. Порядки Бесконечности: "Infinitärcalcül" поля дю Буа-

- Реймонд. Кембриджские трактаты по математике и математической физике 12. Cambridge:
Cambridge University Press, 77.

[16] Гильберт, Дэвид: 1919-1920. Natur und mathematisches Erkennen. [Природа и математика-

матические знания.] Berlin: BirkhäuserVerlag, 1992, xiv + 101.

[17] Hilbert, David: 1922. Новое обоснование математики. In: W. Ewald (tr. и Эд.),

От канта до Гильберта: учебник по основам математики. об. II. Oxford:
Clarendon Press, 1996, 1115-1134.

532

Д. К. Маккарти

[18] Hilbert, David: 1935. - Дэвид Гильберт. Gesammelte Abhandlungen. Dritter Band. [Седло-

lected Works. об. 3] Берлин: Springer, vii+435.

[19] Hilbert, David: 1964. На бесконечность. In: P. Benacerraf and H. Putnam (eds.), Философия

из математики: избранные чтения. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., 134–151.
(Перевод обращения Гильберта 1925 года к Вестфальскому математическому обществу,
напечатанный в Mathematische Annalen.)

[20] Hobson, Ernest W.: 1907. Теория функций вещественной переменной и теория управления ими

Ряд Фурье. Cambridge, UK: Cambridge University Press, xv+772.

[21] McCarty, David C.: 2004. Проблемы и загадки: Гильберт и Дю Буа-Реймон.

Синтетика. Специальный выпуск для GAP 2000. Чтобы появиться.

[22] Pringsheim, Alfred: 1898-1904. Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse.

[Иррациональные числа и сходимость бесконечных процессов.] In: W. F. Meyer (ed.),
Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Erster Band in zwei Teilen. Arithmetik
und Algebra. [Энциклопедия математических наук. Первый том в двух частях.

Арифметика и анализ.] Leipzig: Teubner, 47–146.

[23] Reid, Constance: 1970. - Гильберт. Берлин: Спрингер, xi+290.

[24] Sieg, Wilfried: 1999. Программы Гильберта: 1917-1922. Вестник символической логики 5:

1–44.

[25] Stein, Edith: 1987. Очерки о женщине. Собрание сочинений Эдит Штейн. об. 2. Транс-

автор: Freda Mary Oben. Вашингтон: ICS Publications, ix+290.

[26] Troelstra, Anne S. И Dirk van Dalen: 1988. Конструктивизм в математике: введение-

дукция. об. II. Амстердам: Северная Голландия, xvii+879+LII.

[27] Webb, Jadson C.: 1980. Механизм, ментализм и Метаматематика. Эссе на тему:

Финитизм. Дордрехт: Рейдель, xiii+277.

Индианский университет
Блумингтон, в 47405-1006
США

E-mail: [email protected]