Поль дю Буа-Реймон: математик и философ

В конце 19-го века Поль дю Буа-Реймон считался одним из самых влиятельных людей в мире

успешные и влиятельные европейские математики. В классическом учебнике Эрнеста Уильяма
Хобсона " теория функций действительной переменной и теория
рядов Фурье " [20] ни один математик не получил больше ссылок на страницы, чем дю
Буазреймон. В указателе перечислены Кантор, Дедекинд, Дини, Харди, Лебек и Вейерштрасс;
только Кантор приблизился к дю Буа-Реймону по количеству цитат. История credit
du Bois-Reymond с введением терминов "экстремум" и "интегральное уравнение" в
математику. Он использовал слово " метаматематика’ в своей монографии 1890 года на тему:
Основы познания в точных науках [ Über die Grundlagen der Erkenntnis
in den exakten Wissenschaften ] [12] примерно в его современном значении. Он разработал
систему счисления для темпов роста вещественнозначных функций, которая является прямым предком
системы счисления "Большого о" современной компьютерной науки. Под названием "пределы
неопределенности" он определил Лим инф и Лим суп бесконечного ряда и доказал основные
результаты, управляющие ими. (Коши ввел эти понятия, но дю Буа-Реймон
, возможно, был первым, кто осознал их полное значение.) Крупная теорема, несущая его
имя утверждает, что, если тригонометрический ряд сходится и определенная функция является
интегрируемой по Риману, то коэффициенты ряда точно совпадают с коэффициентами Фурье.
В 1868 году он сформулировал и доказал вторую теорему о среднем значении для определенных
интегралов, результат, к которому теперь прилагается его имя, но который Дини когда-то приписывал
Вейерштрассу. В 1873 году он построил непрерывную функцию с расходящимися
рядами Фурье в каждой точке плотного множества, тем самым опровергая гипотезы Дирихле и Римана.
В 1875 году он описал плотные наборы под названием "pantachisch", от греческого для
‘везде.- Позже он заявил, выступая против Георга Кантора, что первенство в их открытии принадлежит ему. (В
своем учебнике Хобсон присудил лавры дю Буа-Реймону.) Кантор представил свое
первое диагональное доказательство общественности в 1891 году в элементарном вопросе теории множеств
[ Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre ] [6]; Поль дю Буа-Реймон
был там задолго до него, опубликовав явно диагональный аргумент в
статье 1875 года об аппроксимации бесконечными числами [9]. Его величайшим изобретением было
, вероятно, бесконечно длинное или бесконечное исчисление, оригинальное, неканторейское учение
бесконечных и бесконечно малых размеров как первосортные сущности, представляющие собой темпы роста

вещественнозначных функций, а не величины коллекций.

Давид Поль Густав дю Буа-Реймон родился в Берлине 2 декабря 1831 года.
Он начал свою академическую карьеру в области медицины и физиологии в Цюрихе; его старший брат
Эмиль был известным физиологом. Находясь в Цюрихе, Павел участвовал в важном
исследовании слепого пятна глаза. Позже он обратился к математической физике и чистой
математике, решая проблемы уравнений в частных производных. Дю Буа-
Реймон получил профессорские должности в Гейдельберге, Фрайбурге, Берлине и Тюбингене,
где он был преемником Германа Ханкеля. Гильберт определенно был знаком с ДУ.
Математические исследования Буа-Реймона; мы знаем, что молодой Гильберт посетил его
по крайней мере один раз в Берлине. Гильберт также был в контакте с уникальной
философией математики дю Буа-Реймона, ибо дю Буа-Реймон был широко признан в качестве ведущего специалиста

Гильберт и Поль Дю Буа-Реймон

523

критик усилий по арифметизации анализа, как подтверждает статья Альфреда Прингсхайма в
Энциклопедии математических наук [ Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften ]
[22]. Дю Буа-Реймон умер во Фрайбурге 7 апреля 1889 года, скончавшись
от болезни почек во время поездки на поезде.

Эмиль и Поль дю Буа-Реймон сыграли главные роли в Ignorabimusstreit,
оживленной общественной дискуссии о скептицизме в естественных науках. Обращение Эмиля 1872 г.к
организации немецких ученых и врачей, посвященное пределам нашего познания
природы [ Über die Grenzen des Naturerkennens ] [8], одновременно вызвало дискуссию и
ознаменовало ее начало. Обращение заканчивалось драматическим заявлением “ "перед лицом
загадки природы материи и силы и того, как они должны быть поняты,
ученый должен раз и навсегда примириться с гораздо более трудной, отрекшейся
доктриной", Ignorabimus - "мы никогда этого не узнаем.]” ([8]: 130). Эмиль утверждал, что
естественная наука по своей сути неполна в том, что есть насущные фундаментальные вопросы
, касающиеся важных явлений, на которые наука никогда не найдет адекватных ответов.
Этот адрес вызвал бурю споров и контраргументов в прессе и
научных журналах, которая продолжалась в течение всего 20-го века. Рудольф Карнап, Эрнст Мах,
Мориц Шлик и Людвиг Витгенштейн присоединились к числу критиков дю Буа-Реймона
([14]: 99-102). Еще в 1930 году Ричард фон Мизес напал на Эмиля дю Буа-Реймона
лекция от имени логического позитивизма, осуждающая скептические тропы Эмиля как
Scheinprobleme ([27]: 119). Эдит Штайн использовала слово " Ignorabimus " в своих летних
лекциях 1932 года в качестве общего термина для психологических вопросов, на которые эмпирическая наука
не смогла бы ответить ([25]: 167). Агностицизм Эмиля дю Буа-Реймона был
тем изначальным невежеством, против которого так часто выступал Гильберт.
Обличение Гильберта на этот счет сильно проявилось в обращении к проблемам ([5]: 7), а также в его последнем публичном
заявлении-Кенигсбергской речи 1930 года ([18]: 378-387). Последнее заключалось в следующем:
прямая ссылка на лекцию Эмиля 1872 года: "вообще неразрешимых проблем не существует.
Вместо нелепого невежества наш девиз, напротив, звучит так: "мы должны знать. Мы
будем знать”’ ([18]: 387). Эти оптимистичные строки “ " Мы должны знать. Мы узнаем"
, - начертано на погребальном памятнике Гильберта в Геттингене.

Монография поля дю Буа-Реймона 1882 года "общая теория функций " [ Die
allgemeine Functionentheorie ] [11] и посмертно опубликованная работа "Об основах
знания в точных науках " [12] были частично посвящены посеву скептицизма
в саду чистой математики. В этих работах он изложил философию
математики, как очень оригинальную, так и удивительно прозорливую, а не просто транслитерацию
в математические термины агностицизма его брата о физической науке. Поль дю
Буа-Реймон проявил себя ярым критиком арифметики и логики, а также основоположником теории логики.,
в этом отношении, как и другие, прямой предок Brouwer. Действительно, степень, в
которой его идеи предвосхитили идеи Брауэра, является одним, но едва ли единственным показателем
ценности философии дю Буа-Реймона. В общей теории функций Поль провел
четкое различие между фактически и потенциально бесконечными множествами и, признавая, что
существование потенциальных, но неактуальных бесконечностей предъявляет требования к логике, поставил под
сомнение общую валидность tertium non datur. Кроме того, он, возможно, был
первым, кто описал в печати последовательности беззакония, последовательности Коши последовательные термины

524

Д. К. Маккарти

которые не могут быть порождены каким-либо предопределенным правилом или процедурой, и пытаться
доказать их существование. Чтобы прояснить идею беззакония, он представил
последовательности, условия которых даются бросками кубика: "можно также подумать о следующих
средствах порождения для бесконечного и беззаконного числа. Каждое место [в последовательности]
определяется броском кубика. Поскольку можно с уверенностью предположить, что
броски жребия происходят на протяжении всей вечности, тем самым создается концепция беззаконного числа
” ([11]: 91). Доктрины беззаконных последовательностей по-прежнему составляют главу в
интуитивистская теория континуума; современные интуитивисты прибегают к
той же самой аналогии с литьем под давлением, чтобы объяснить свой подход к предмету ([26]: 645).

Дю Буа-Реймон придумал аргументы, близкие к "слабым"
контрприемам Брауэра. Он полагал, что информация о физическом мире может быть настолько
закодирована в последовательностях, что, если бы такая последовательность кодирования управлялась законом,
знание этого закона дало бы предсказания о Вселенной, которые
в противном случае были бы невозможны. Если бы мы знали законы развития этих
последовательностей, рассуждал он, мы могли бы правильно ответить на вопросы о
точном расположении материи в любой точке пространства и в любое время в прошлом. Он
он писал: "Если мы думаем о материи как о бесконечности, то постоянная, подобная температуре пространства
, зависит от эффектов, которые не могут быть отрезаны в любом десятичном знаке. Если бы его последовательность
терминов определялась законом образования, то этот закон содержал бы историю
и картину всей вечности и бесконечности пространства " ([11]: 91-92). Он пришел
к выводу, что, поскольку мы никогда не будем обладать всеобъемлющими физическими знаниями, мы никогда
не будем иметь законов для последовательности, дающей точную температуру пространства. Сходство
с "слабыми" контрприемами Брауэра должно быть очевидным: интуитивист утверждает, что мы
никогда не будет закона для сортировки вещественных чисел на две категории, “равные нулю” и
“неравные нулю”, под страхом сбора урожая, от этого закона, плода от интуитивистского
дерева добра и зла, то есть знания, достаточного для доказательства tertium non datur. По
мнению Брауэра, это знание, которым мы не можем обладать.

Значительная часть общей теории функций была написана в форме диалога
между двумя воображаемыми математиками, идеалистом и Эмпириком. Идеалист
отстаивал концепцию геометрического континуума, в котором его основные составляющие
могут быть трансцендентными и будут включать как бесконечные, так и бесконечно малые величины.
Эмпирик ограничивался рассмотрением тех точек, отрезков линий и отношений между
ними, которые имманентны и доступны интуиции. Дю Буа-Реймон считал, что
наши нынешние и будущие лучшие усилия в области философии математики и разума будут направлены на то, чтобы
различите только эти два различных, взаимно несовместимых, фундаментальных взгляда на
основы математики, и никакого окончательного решения между ними никогда не будет достигнуто.

Нокдаун математический аргумент не будет изобретен для предпочтения одного над другим

Другие. Сейчас или позже, выбор между ними в значительной степени зависит от научного
темперамента. Согласно Дюбуа-Реймону, математика, которая является научным исследованием
величины, может пройти свой окончательный фундаментальный тест только в том случае, если она будет перенесена назад к
пробному камню континуума и этим двум концепциям его. Следовательно, он
считал, что литературный прием полемики между идеалистом и Эмпириком отражает естественное
разделение и вечный спор внутри человеческого математического познания.

Гильберт и Поль Дю Буа-Реймон

525

Дю Буа-Реймон рассуждал о том, что этот постоянный интеллектуальный дуализм порождает
абсолютные результаты неразрешимости, что существуют значимые вопросы математики
, ответы на которые существенно зависят от принятого мировоззрения. Идеалист отвечает
на эти вопросы так, а Эмпирик-иначе. Поскольку никакое окончательное математическое
рассмотрение никогда не решит между ними, такие вопросы представляют собой неразрешимые
проблемы, решения которых навсегда останутся за пределами наших математических
способностей. Главным пунктом общей теории функций было то, что один, если не пре-
миэр, таким вопросом является существование пределов для ограниченных, монотонно возрастающих
последовательностей. Дю Буа-Реймон писал:,

Решение загадки [например, о границах], если я прав, состоит в том, что она
есть и всегда будет оставаться загадкой. Простейшее выражение загадки
оказывается психологическим. Самое обширное наблюдение наших
мыслительных процессов и их связи с восприятием неизбежно приводит нас к
заключению, что существуют два различных способа представления, имеющих одно и то
же право считаться основополагающими в точных науках, поскольку ни
один из них не дает результатов, которые не поддаются подтверждению, по крайней мере, когда мы
ограничиваемся чистой математикой.... Эти два метода представления-
Тион я называю, в соответствии со стандартной номенклатурой,... идеализмом и
эмпиризмом. ([11]: 2–3)

Для поля дю Буа-Реймона, который выдвинул свой собственный подход к бесконечно малому,
вопрос “содержит ли континуум бесконечно малые числа?” это было не менее важно. Его
идеалист утверждал, следуя смутно реалистическим принципам, что бесконечно малые реальные величины действительно существуют
и требуются для полноты действительных чисел. Его Эмпирик стоял в
оппозиции, настаивая на том, что у нас есть все основания полагать, что реальные бесконечно малые числа являются
плодом воображения, никоим образом не требующимся для удовлетворительной высшей математики.
Дю Буа-Реймон утверждал, что мы никогда не найдем достаточно твердых оснований для этого.
предпочитая одну позицию по этому вопросу другой. В этом, как и в вопросе о границах,
наша математика есть и всегда будет неполной.