Программа Гильберта и интуитивизм Брауэра

Несомненно, Дэвид Гильберт и его коллеги-теоретики доказательства разработали зрелую
программу Гильберта 1920-х и 30-х годов, чтобы сформировать, в значительной степени, защитный бастион против
интуитивизма Брауэра. Но даже в этом случае программа не была рождена и не
понимается должным образом исключительно как контрмера против интуитивизма. Он был рожден и взращен
тем, что можно было бы разумно назвать “проектом Гильберта”, его многолетним участием
и пропагандой истинной эпистемологии, правильной педагогики и культурного значения
математических наук. Средства и цели этого проекта проинформировали Гильберта
лекции и сочинения, Как видно из его лекций 1919-20 годов, природа и
математическое знание [ Natur und mathematisches Erkennen ], в которых мы находим следующее
объявление.

Одной из самых благородных задач философии является исследование вопросов
о том, как возникает знание, что оно такое и что оно принимает за свою цель. Я буду
рассматривать свой материал в свете этих вопросов. Моя лекция должна была бы...,

518

Д. К. Маккарти

поэтому формируют своего рода подготовку к эпистемологии [
Erkenntnistheorie ]. ([16]: 3)

Ранние и поздние, интеллектуальные ингредиенты для программы были собраны из проекта.
Одним из таких компонентов была аксиома Гильберта о разрешимости: каждая хорошо поставленная
математическая проблема допускает разрешение: либо определенное "да", либо определенное "нет", либо убедительное
доказательство того, что никакого решения не будет получено. Гильберт верил, что его теория доказательства
подтвердит аксиому, но его утверждение об этом предшествовало теории доказательства зрелой
программы. Он занимал видное место в проблемном обращении 1900 года, сделанном за семь
лет до того, как Брауэр закончил свою кандидатскую диссертацию и за восемь лет до Брауэра
он должен был начать свою первую атаку на законность логических законов. В то время, до
Первой мировой войны, программа все еще была в коротких штанах; и ни программа, ни
проект не могли быть ответом на Brouwer, Weyl and company, ибо интуитивисты
тогда не считали большой угрозой математическому миру в Геттингене.

Несмотря на заявленные намерения Гильберта в отношении его послевоенной программы, нельзя
всегда правильно понимать его идеи как разумные антиинтуитивистские контрмеры,
способствующие prima facie эффективным аргументам против взглядов Брауера. Во-
первых, Брауэр не мог согласиться с основными посылками Гильберта. Метатеоремам
о том, что различные формальные системы, представляющие высшую математику, являются последовательными и
полными, демонстрации которых были объектами столь напряженных трудов Гильберта,
предстояло получить посредством строго финитистских рассуждений. Это требовало, в частности, чтобы те, кто метал-
оремы и их доказательства излагаются на языке, несущем определенную интерпретацию
, которую Гильберт приложил некоторые усилия, чтобы прояснить в своих трудах. При такой интерпретации
некоторые предложения, формализованные с помощью неограниченных кванторов, должны были считаться неполными
сообщениями: либо это способ математической краткости для других конечных
полных сообщений, либо процедуры для перечисления конечных полных
сообщений. Согласно Гильберту, такие общие утверждения, как их читает финитист, не могут
быть существенно опровергнуты.

Например, утверждение, что если

a-это числовой символ, то a + 1 =

1

+ A является универсально истинным, является с нашей финитарной точки зрения неспособным к

отрицание. ([19]: 144)

Гильберт также настаивал на том, что в языке, интерпретируемом таким образом,“мы не можем записывать
числовые знаки или вводить аббревиатуры для бесконечного числа чисел” ([17]: 1123).
Кроме того, финитно допустимые термины обозначения должны были относиться исключительно к воспринимаемым
формам созерцаемых конечных последовательностей: “объекты [финитистской] теории чисел являются для
меня—в прямой противоположности Дедекину и Фреге—самими знаками, чьи формы
могут быть в целом и определенно признаны нами” ([17]: 1121). Брауэр не мог
последовательно принять эти финитные ограничения. Это имело меньшее отношение к делу.
логика работает в предполагаемых доказательствах больше, чем со значениями утверждений, которые
бы их содержали. Неограниченные универсальные квантификации в интуитивистской
арифметике были совершенно полными связями; в общем, Брауэр считал, что они
утверждают существование абстрактных математических операций с бесконечными областями и

Гильберт и Поль Дю Буа-Реймон

519

диапазоны. Хотя они в общем и целом не дают подтверждающих примеров
tertium non datur, они допускают осмысленное отрицание. Более того, в интуитивизме не было
запрета на запись “знаков чисел или сокращений
для бесконечного множества чисел”, пока рассматриваемые бесконечности подлежали
интуитивистской обработке. В-третьих, по мнению Брауэра, “первым актом интуиционизма [является]
полное отделение математики от математического языка и, соответственно,
от языковых явлений теоретической логики. Интуитивистская математика-это а
безъязыковая конструкция, осуществляемая человеческим умом " ([4]: 21). Брауэр назвал
математику, лицензированную первым актом “ "сепарабельной математикой", то есть математикой
, преследуемой в полном отрыве от языка. Поэтому его интуитивистская математика,
по крайней мере в своем отделимом аспекте, не могла полагаться в своем значении на формы или формы
физически реализуемых знаковых последовательностей. Наконец, в математической Вселенной Брауэра
не было места для конкретных знаков, чьи формы давали конечные объекты для
метаматематики Гильберта, потому что интуитивистская Вселенная чистой математики
это была вселенная, целиком состоящая из ментальных конструкций и потому до такой степени абстрактная.

Гильберт хорошо знал, что большинство утверждений, сделанных обычными
математиками, работающими, скажем, в анализе, лежат за гранью финитистского перефразирования,
требуя для своих формализаций неограниченных универсальных и экзистенциальных кванторов, которые, как полагают
, охватывают бесчисленные области. По основному замыслу, изложенному в таких
работах и обращениях, как "о бесконечном " [19], эти утверждения не должны были считаться ни
содержательно финитными, ни денотативно значимыми. Такое значение, какое они будут
иметь, должно было быть все умозаключение и никакой ссылки или, точнее, никакой ссылки не ex-
одержимый умозаключениями. Проводя аналогию между бесконечными утверждениями, расширяющими
содержательную математику, и идеальными точками и линиями, которые проективные геометры добавляют, чтобы
расширить евклидову плоскость, Гильберт применил эпитет "идеальный" к бесконечным утверждениям
и включил их в свою карту математического мира как Формулы, примыкающие
к строго финитистским теориям, чтобы улучшить их дедуктивную эффективность.

Напротив, критическое давление интуиционистская критика традиционной
математики через критику вывода исчезнут на предположении, что
infinitary заявлений, таких как классическая Больцано–Вейерштрасса Теорема (что каждый
бесконечного, ограниченного множества действительных чисел имеет точка накопления), что Гильберт будет
уже рассматриваться как идеальная, не несут никакой ссылочной содержание за рамки своих умозаключений роли. Для
Брауэра одной из главных трудностей, преследующих утверждения такого рода, было то, что утверждения, которые они
делают о реальных числах, не могут быть подкреплены надежными формами вывода, формами
умозаключения, убедительность которых ответственна за референциальные значения этих
утверждений. Термины в значительных математических формулах, как элементарных, так и более высокого порядка,
должны относиться к ментальным конструкциям, существующим до умозаключений и к которым умозаключения
полностью ответственны. Неудача традиционного умозаключения с его зависимостью от
tertium non datur и других неконструктивных логических правил заключается в его неспособности
проследить ход мысленного построения. Применение tertium non datur к
оператору, дающему подходящую конструкцию, вполне может преобразовать его в оператор, к которому
никакая конструкция не может соответствовать. Эта критика умозаключения широко открывает дверь
к наиболее характерной и наиболее смелой черте интуиционизма: в своем высшем порядке он достигает,

520

Д. К. Маккарти

интуитивистская математика противоречит не только формально, но и содержательно
освященным результатам классической математики. Интуитивисты Броуэровской полосы понимали
и до сих пор понимают положение “каждая суммарная функция от действительных чисел в
действительные числа непрерывна” как теорему интуитивистского реального анализа
, противоречащую и поражающую в корне классический анализ. Он отрицает, например, существование
ступенчатых функций, определенных над всеми вещественными числами. Эти функции тоже не могут существовать, потому что
они не могут соответствовать соответствующим особенностям лежащей в их основе конструктивной реальности.

В-третьих, на основе концепции Гильбертовой теории доказательства, наиболее знакомой современным
ученым, Гильберт предположил, что доказательства были бы конечными объектами того же общего
вида, что и интуитивные строки или последовательности. A fortiori, каждое доказательство должно было бы закончиться
в конечном числе шагов. Цитируя его “ " в нашем настоящем исследовании доказательство само
по себе является чем-то конкретным и наглядным” ([17]: 1127). Гильберт надеялся доказать
непротиворечивость формальных теорий, сведя к очевидному абсурду предположение о том, что
рассматриваемые теории содержат конечные доказательства противоречий, которые могут быть
полностью выложен на экспертизу. У Брауэра этого было бы мало. В своих попытках
[1] доказать правильность индукции бара (индукции на некоторых хорошо обоснованных деревьях)
Брауэр предложил анализ доказательств, на которых интуитивно приемлемые доказательства
являются в целом инфинитистическими и, следовательно, невозможными для отображения и исчерпывающего обзора. В
результате любой метатеорем Гильберт доказал, показывая, что никакое конечное доказательство
противоречия не существует, было бы недостаточно, предполагая, что Брауэр способен согласиться
со значением Гильберта, присвоенным ему, чтобы убедить Брауэра в том, что неформальная математика-
теория кал не содержит никаких скрытых противоречий. Ибо последний допускал бы, что
противоречие в математической дисциплине может обнаружиться только как вывод
бесконечного доказательства.

Далее, Гильбертовские теоретико-доказательные усилия должны были быть приложены не к теориям в
математическом Umgangsprache, а к их формализованным аналогам в искусственных
языках. Даже интуитивно допустимое доказательство того, что формальная теория, представляющая
результаты традиционной математики, минимально когерентна, не может ни поощрить, ни
смутить надлежащего Брувера. Ранние интуитивисты считали, что математический язык,
искусственный или нет, не является подходящим руководством для математического мышления. Такой
интуитивист мог бы предложить (но, насколько мне известно, не сделал этого) следующую аналогию.

Мы можем допустить, что определенная картина события является, как картина, визуально Связной.
Мы можем видеть это, воспринимать это и понимать это. Из этого вовсе не следует, что какие

картина изображает когда-либо имело место, или, если это действительно имело место, сделал это в манере
изображенного. В этом отношении отношения между историческим событием, скажем смертью Вулфа в
Квебеке, и картиной его параллельны отношениям между математическим мышлением и
математическим языком. Точно так же, как кончина Вулфа произошла до того, как полотно Уэста когда-либо стояло на
его мольберте, интуитивистская математическая мысль приходит первой, а математический язык
позже, если вообще приходит. Подобно историческому художнику, говорящий на математическом языке может
только пометить впоследствии, чтобы поместить вещи на лексическое полотно, возможно, неточно,
для потомков. Хуже того, всякая живопись требует определенной меры искажения, усечения
безграничной, многомерной реальности ради ограниченной, двумерной
плоскости картины. Жители Брувера верили, что математический язык таит в себе аналогичные искажения.

Гильберт и Поль Дю Буа-Реймон

521

Выражения таких логических законов, как tertium non datur, являются в лучшем случае искаженными образами
их ментальных оригиналов; они мало или вообще ничего реального не фиксируют в конструктивном мышлении.
Следовательно, доказательство непротиворечивости для формальной теории, которая включает формализованный tertium
non datur, не будет подпирать интуитивистскую убедительность мыслей, если таковые имеются,
теория захватывает. В общем, язык не должен играть ни роли проводника, ни
роли проводника в том, что действительно имеет значение: раскрытие математической мысли, раскрытие
, которое является прямым схватыванием самих математических объектов, а не тщетным усилием
чтобы связать их тени, раскрашенные в слова и спроецированные на узкий экран языка.

Особого упоминания заслуживает вопрос, по которому Гильберты и Бруэрианцы согласились
бы, вопрос, который очень сильно волновал Гильберта: автономия математики.

С помощью этой программы и проекта circumambient Гильберт и его последователи надеялись, что

гарантируйте, что математика разрешит (и будет признана решенной) строго
математическими средствами все серьезные фундаментальные проблемы, относящиеся к ней. Истинность его
основных утверждений, а также убедительность и эффективность его методов доказательства должны были быть настолько
гарантированы, что насущные метафизические и эпистемологические заботы о математике
были должным образом устранены самим применением математики. Ни одна другая дисциплина,
будь то метафизика или психология, не должна была получить последнее основополагающее слово в том, что
касается обоснованности чистой математики. По этому вопросу математические
автономия, как видно из [3], интуитивисты находились в кажущемся согласии с Гильбертом
. С интуитивистской точки зрения ответы на все основные фундаментальные вопросы
, касающиеся математики, казались достижимыми через математическое постижение, упражнением
которого мы должны были узнать, что все математические объекты являются ментальными конструкциями и
все математические доказательства являются результатом конструктивных действий.

Конечно, Гильберт разработал зрелую программу, отчасти, чтобы сорвать страшный
Бруверовский путч. То, что диалектические контрмеры Гильберта не смогли встретить интуитивистскую
атаку лоб в лоб, ставит Гильберта, в этом отношении, в не очень плохую компанию; некоторые из его
самых ярких современников изо всех сил пытались схватить революционные идеи Броувера и не
всегда удавалось. Тем не менее, это не напрасное упражнение в контрфактической истории, чтобы создать
положение Об основах математики, которому программа Гильберта стояла в более
совершенной оппозиции, положение, приветствующее гильбертовские предпосылки, но недружелюбное к их
очень востребованные выводы.

Такая позиция будет задать (1), что математическая мысль быть манипулирование
представлениями, по крайней мере, частично правила регулируются и нет, как и интуиционисты праздник,
помолвка с математическими объектами сами; (2) что доказательства должны быть конечны
в длину; (3) что в области математического мышления можно разделить на infinitary
и финитных зон, последняя поддержание эпистемологическим приоритетом над бывшим; (4)
что математический отказа finitistic reconstrual не обозначают в пути неотрефлексированного
в их дедуктивные способности, но рассматриваться в качестве ограничений или идеалов примыкает к finitistic
области; (5) что Аксиома разрешимости хорошо поставленной математической задачи терпит неудачу;
(6) что математика не автономна, а выживает только под основополагающей эгидой
некоторой нематематической науки; и (7) что современная высшая математика, взятая в
целом, непоследовательна.

522

Д. К. Маккарти