Философская дискуссия в кругу Нельсона

Одним из участников летнего лекционного курса Гильберта 1905 года был 23
-летний философ Леонард Нельсон (1882-1927), получивший докторскую степень в области философии.

510

В. Пекхаус

философия в Геттингене в июле 1904 года.

18

Он уже возглавлял философскую школу
Neue Fries'sche Schule, которая была посвящена критической философии в духе Якоба
Фридриха Фриза (1773-1843). Нельсон был еще студентом, когда он основал новую
серию Abhandlungen der Fries'Schule в качестве форума для своего круга, при содействии
своего старшего друга Герхарда Гессенберга (1873-1925), тогдашнего преподавателя математики
в Академии военной техники в Шарлоттенбурге под Берлином, и
физиолога Карла Кайзера (1861– c. 1933). Гессенберг был известным геометром, но он не знал, что делать.
также получил признание как теоретик множеств после публикации первого учебника по
теории множеств [12].

В июне 1905 года Нельсон направил письмо Гессенбергу, комментируя лекцию Гильберта
"Über die Grundlagen derArithmetik" [17], и выразил свое разочарование по поводу
идей Гильберта. Весьма озадаченный он писал: "чтобы устранить противоречия в
теории множеств, он [т. е. Гильберт] намерен реформировать (не теорию множеств, а) логику. Ну что ж
, посмотрим, как он это сделает.”

19

Гессенберг ответил вполне по существу::

20

Я вовсе не считаю парадоксальным, что кто-то должен реформировать логику
, чтобы освободить теорию множеств от противоречий. Прежде всего
, пока еще нельзя резко отделить логику от арифметических соображений.
Во-вторых, однако: если в теории множеств существуют парадоксы, то либо
выводы не являются правильными, либо генерируемые понятия противоречат друг другу.

В обоих случаях, продолжал Гессенберг, это логическая задача-выявить ошибки.

Согласно законам логики, это вещь

a либо подпадает, либо не подпадает под понятие
b. для понятия множества не требуется никакого другого принципа. Гессенберг подчеркнул, что
Гильберт очень сильно усилил требования к построению концепций, чтобы
избежать возникающих в результате парадоксов.

В лекционном курсе Гильберта Нельсон больше узнал о парадоксах, но не о
Расселе, а о его Геттингенском варианте, парадоксе Цермело и о
парадоксе Гильберта. Весьма поучительно наблюдать растущее значение имени Рассела в
переписке между Гессенбергом и Нельсоном. В июне 1905 года Гессенберг, который
в то время собирался написать свой учебник по теории множеств, вспоминал, что Нельсон говорил
о “парадоксе Гильберта о множестве множеств, принадлежащих самим себе”
, очевидно, неверно понимая то, что сказал ему Нельсон.

21

В том же месяце Нельсон
направил интерес Гессенберга к принципам математики Рассела, книге, в которой обсуждались
основы всех математических дисциплин и особенно теории множеств,

18

Для получения более подробной информации о Нельсоне и его круге см. [29]: 123-154, с дальнейшими намеками на литературу. О
философском обсуждении парадоксов в Геттингене, особенно о возникновении парадокса Греллинга,
см. [34].

19

Нельсон - Гессенберг, датированный Геттингеном, 16 июня 1905 года, Бундесарх, Абт. Потсдамские, Нельсонские Газеты,

90 Ne 1, fol. 50–53.

20

Гессенберг Нельсону, датированный Грюневальдом, 26 июня 1905 года, Archiv der sozialen Demokratie, Nelson Papers,

1 / LN AA 000270.

21

Гессенберг Нельсону, датированный Грюневальдом, 26 июня 1905 года, Archiv der sozialen Demokratie, Nelson Papers,

там же.

Парадоксы в Геттингене

511

как писал Нельсон.

22

В феврале 1906 года Нельсон отправил книгу Рассела
Гессенбергу, чье суждение о ее теоретико-множественных частях было, однако, уничтожающим. Он не нашел
почти ничего, что произвело бы на него впечатление. Он считал
логическую точку зрения Рассела (в отличие от Дедекинда) совершенно нелепой и критиковал то, что
Рассел распространялся “на совершенно неопределенное противоречие множества всех множеств
, которые не содержат себя в целой главе, но нашли только несколько неважных слов
о значительном противоречии множества всех ординалов.”

23

Удивительно видеть, что, хотя парадоксы стали широко обсуждаемой
темой, в начале никто не предпринимал попыток изучить соответствующие книги Рассела или
Фреге более подробно, по крайней мере в кругу Нельсона, по крайней мере до конца 1905 или начала 1906 года.

В отличие от Гессенберга, парадокс Рассела наэлектризовал более философски
настроенных членов Круга Нельсона. В июне 1906 года Генрих Геш (1880-1930, ср.
[29]: 137-140), написал следующее письмо своему другу Леонарду Нельсону (упоминая
других членов Круга Нельсона):

24

Греллинг сообщил мне о парадоксе Рассела [l] в логике относительно
понятия impredicable. Мне удалось решить то же самое, а затем я узнал
от Берковского о другом парадоксе также от Рассела[l] в теории множеств,
касающемся понятия множества, не принадлежащего самому себе. В отношении этого парадокса
мое решение также верно. Поэтому Берковский, который сказал мне, что
математики, работающие в теории множеств
, до сих пор не имеют решения для парадокса, подумал, что этот вопрос может быть не таким уж и незначительным. Поэтому я
хотел бы написать небольшую статью, и я хотел бы попросить вас рассказать мне
в какой книге Рассела [l ] можно найти эти парадоксы и на какие
немецкие представления [ Ausformungen ] следует ссылаться. Я думаю, что это
дело будет закончено в течение нескольких дней.

Конечно, статья Геша не была написана за несколько дней. Первая версия программы

объявленная рукопись не была завершена до весны 1907 года.

25

Нельсон был настроен скептически
и поручил своему ближайшему сотруднику, студенту-математику Курту Греллингу
(1886-1943)

26

чтобы проверить идеи Геша.

В этот период обсуждения были задействованы еще несколько членов кружка:

предпринимаются попытки разрешить эти парадоксы. Одним из них был Отто Мейерхоф (1884-1951),

27

Нобелевский лауреат 1923 года по медицине и физиологии; другим был Александр Рюстов
(1885-1963),

28

после Второй мировой войны один из отцов немецкой социальной экономики.

22

Нельсон - Гессенберг, датированный 7 февраля 1906 года, Грюневальд, Archiv der sozialen Demokratie, Nelson

Бумаги, 1 / LN AA 000271.

23

Гессенберг-Нельсон, датированный Грюневальдом, 7 февраля 1906 года, Бундесархив, Абт. Потсдам, 90 Ne 1, нет.

389, фол. 54

ф.

24

Goesch to Nelson, undate (Мюнхен, 14 июня 1906), Archiv der sozialen Demokratie, Nelson Papers,

1 / LN AA 000255.

25

В переписке с Нельсоном (Archiv der sozialen Demokratie, Nelson Papers, LN AA000255)

можно найти почтовую квитанцию о доставке рукописи, датированную 23 апреля 1907 года.

26

О трагической биографии Греллинга см. [31, 33].

27

Cf. [29]: 135–137.

28

Cf. [29]: 140–142.

512

В. Пекхаус

Рюстов спросил Нельсона, может ли он опубликовать свою докторскую диссертацию в
Abhandlungen der Fries'schule.

29

Она имела характерное название Der Lügner. Theorie,
Geschichte und Auflösung des Russellschen Paradoxons (The Liar. Теория, история
и разрешение парадокса Рассела). Нельсон отказался, потому что он отверг
решение Рюстова.

30

Диссертация рюстова была опубликована не ранее 1910 года, и характерно также
, что в названии опубликованной версии ссылка на парадокс Рассела была
опущена [39].

Именно во время борьбы Греллинга и Нельсона с “резолюцией”
Геша Греллинг и Нельсон собрали материал для совместной статьи, которая была окончательно опубликована
в 1908 году [11]. Они искали основные логические условия для возникновения
парадоксов и проводили различие между ними.

задача правильного "разрешения" парадокса, то есть задача раскрытия
лежащего в его основе явления, и задача “исправления”, то есть задача
избежания парадокса путем введения новых, непротиворечивых понятий. Такое
исправление нельзя считать разрешением, потому
что парадоксальные объекты, если они вообще существуют, не устраняются путем прекращения работы над
ними. ([11]: 314)

Самое главное, что Греллинг открыл новые парадоксы, среди которых семантический
“гетерологический” парадокс, известный сегодня под именем Греллинга. Он работает в своей первоначальной
версии следующим образом:

Позволь

ϕ (M) быть слово, которое обозначает понятие, определяющее M. Это слово является

либо элемент из

М или нет. В первом случае мы будем называть его " автологическим”

в другом “гетерологичен.”

31

Теперь слово " гетерологичный " само
по себе является либо аутологичным, либо гетерологичным. Предположим, что он автологичен; тогда он
является элементом множества, определяемого понятием, которое обозначается само по себе, следовательно
, он гетерологичен, вопреки предположению. Предположим, однако, что он
гетерологичен; тогда он не является элементом множества, определяемого понятием
, которое обозначается само по себе, следовательно, он не гетерологичен, опять же против
предположения. ([11]: 307)

Именно этот парадокс Греллинга Фрэнк Пламптон Рэмси (1903-1930) в [37]
ошибочно приписывает Герману Вейлю (1885-1955), который упоминал его в Das
Kontinuum как “хорошо известный парадокс, по существу исходящий от Рассела” и
обсуждал его как “схоластику худшего рода” ([43]: 2). История показала, что

Суждение Вейля не отдавало должного важности парадокса Греллинга.

Подтверждение. Я хотел бы поблагодарить Марчелло Гина (Падерборн) и Годехарда

Ссылка (Мюнхен) для полезных комментариев по предыдущей версии, и Даниэль мук
(Мюнхен), для его предложений, касающихся моего английского языка. Эта статья очень много выиграла от

29

Cf. Нельсон-Гессенберг, датированный Вестендом, 23 января 1908 года, Бундесархив, Абт. Потсдам, 90 Ne 1, нет.

389, фол. 155–157.

30

Nelson to Rüstow, dated Göttingen, 9 February 1908, Bundesarchiv Koblenz, NL 169, Rüstow.

31

Например, "короткий “ - автологический;” длинный “ - гетерологический;” английский “ - автологический;” немецкий" - гетерологический.

Парадоксы в Геттингене

513

более раннее сотрудничество с Рейнхардом Кале по "парадоксу Гильберта", результат
которого был опубликован как [35]. Все переводы с немецкого языка являются моими, если
не указано иное.

Рекомендации

[1]

Blumenthal, Otto: 1935. Lebensgeschichte. In: D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen,
vol. III. Berlin: Springer, 388-429. Второе издание, Берлин: Springer, 1970.

[2]

Буль, Джордж: 1854. Исследование законов мышления, на которых основаны
математические теории логики и вероятностей. Лондон: Walton & Maberly. Перепечатано
Dover, New York: c. 1958.

[3]

Cantor, Georg: 1883. Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten [5th pt.].
Mathematische Annalen 21: 545–591. Переиздано в [5]: 165-209.

[4]

Кантор, Георг: 1895 И 1897. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.
Mathematische Annalen 46/49: 207–246. Переиздано в [5]: 282-351.

[5]

Кантор, Георг: 1932. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts. Под редакцией Э. Зермело. Берлин: Спрингер. Перепечатано Hildesheim: Olms, 1962 и
Berlin: Springer, 1980.

[6]

Кантор, Георг: 1991. Briefe. Под редакцией H. Meschkowski / W. Nilson. Берлин: Спрингер.

[7]

Frege, Gottlob: 1903. Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet. об. 2.
Jena: Hermann Pohle. Перепечатано вместе с vol. 1, Hildesheim: Olms, 1966.

[8]

Frege, Gottlob: 1976. Wissenschaftlicher Briefwechsel. Под редакцией G. Gabriel et al.
Hamburg: Felix Meiner.

[9]

Frege, Gottlob: 1980. Философско-математическое соответствие. Под редакцией G.
Gabriel et al. Оксфорд: Бэзил Блэкуэлл.

[10] Garciadiego Dantan, Alejandro R.: 1992. Бертран Рассел и происхождение набора-

теоретические "парадоксы". Basel: Birkhäuser.

[11] Греллинг, Курт и Леонард Нельсон: 1908. Bemerkungen zu den Paradoxieen von Russell

УНД Бурали-Форти. Abhandlungen der Fries’schen Schule n. s. 2, no. 3: 301–334.

[12] Hessenberg, Gerhard: 1906. Grundbegriffe der Mengenlehre. Zweiter Bericht über das

Unendliche in der Mathematik. Abhandlungen der Fries’schen Schule n. s. 1, no. 4: 479–
706.

[13] Hilbert, David: 1899. Grundlagen der Geometrie. In: Festschrift zur Feier der Enthül-

lung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen, Leipzig: Teubner, 1–92. Последнее издание
[22].

[14] Hilbert, David: 1900. Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem interna-

tionalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Nachrichten von der königl. Gesellschaft
der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse aus dem Jahre
1900, 253–297. Английский перевод [16]. Выдержка в [20].

[15] Hilbert, David: 1900. Über den Zahlbegriff. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-

Vereinigung 8: 180–184. Английский перевод в [21].

514

В. Пекхаус

[16] Hilbert, David: 1902. математическая проблема. Лекция, прочитанная перед международной аудиторией

Конгресс математиков в Париже в 1900 году. Переведено М. В. Ньюсоном. Вестник
Американского математического общества 8: 437-479.

[17] Hilbert, David: 1905. Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik. In: A. Krazer

(ред.), Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in
Heidelberg vom 8. бис 13. August 1904, Leipzig: Teubner, 174–185.

[18] Hilbert, David: 1905. Logische Principien des mathematischen Denkens. Лекционный курс

в летнем семестре 1905 года лекционные заметки Эрнста Хеллингера. Библиотека математического
семинара Геттингенского университета.

[19] Hilbert, David: 1905. Logische Principien des mathematischen Denkens. Лекционный курс

в летнем семестре 1905 года лекционные заметки Макса Борна. Niedersächsische Staats- und
Universitätsbibliothek Göttingen, Cod. Г-жа Д. Гильберт 558а.

[20] Hilbert, David: 1996. математическая проблема. In: W. Ewald (ed.), От канта до Гильберта:

Источник книга в основах математики, vol. 2. Oxford: Clarendon Press,
1096-1105.

[21] Hilbert, David: 1996. О понятии числа. In: W. Ewald (ed.), От канта до

Гильберт: учебное пособие по основам математики, т. IV 2. Oxford: Clarendon
Press, 1089-1095.

[22] Hilbert, David: 1999. Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Paul Bernays.

14-е изд. автор-Месье Тоупелл. Stuttgart & Leipzig: Teubner.

[23] Гуссерль, Эдмунд: 1891. Обзор работы [41]. Göttingische gelehrte Anzeigen, 243–278. Критический-

ical издание в [24]: 3-43.

[24] Husserl, Edmund: 1979. Aufsätze und Rezensionen (1890–1910), mit ergänzenden Texten.

Под редакцией Б. ранг. Husserliana vol. XXII, The Hague: Nijhoff.

[25] Moore, Gregory H. and Alejandro Garciadiego: 1981. Парадокс бурали-Форти: жатва-

хвала его истокам. Historia Mathematica 8: 319-350.

[26] Moore, Gregory H.: 1982. Аксиома выбора Цермело. Свои начала, развитие и внутри-

Флюенс. Исследования по истории математики и естественных наук 8. Берлин: Спрингер.

[27] Пеано, Джузеппе: 1889. Arithmetices principia, nova methododo exposita. Augustae

Taurinorum: Bocca.

[28] Peckhaus, Volker: 1990. ‘Ich habe mich wohl gehütet, alle Patronen auf einmal zu ver-

schießen.’ Ernst Zermelo in Göttingen. История и философия логики 11: 19-58.

[29] Peckhaus, Volker: 1990. Hilbertprogramm und Kritische Philosophie. Das Göttinger

Modell interdisziplinärer Zusammenarbeit zwischen Mathematik und Philosophie.
Studien zur Wissenschafts-, Sozial- und Bildungsgeschichte der Mathematik 7. Göttingen:

Vandenhoeck & Ruprecht.

[30] Peckhaus, Volker: 1992. Hilbert, Zermelo und die Institutionalisierung der mathematis-

chen Logik in Deutschland. Berichte zur Wissenschaftsgeschichte 15: 27–38.

[31] Peckhaus, Volker: 1993. Kurt Grelling und der Logische Empirismus. In: R. Haller and

Ф. Стадлер (ред.), Wien – Berlin – Prag. Der Aufstieg der wissenschaftlichen Philosophie.
Zentenarien Рудольф Карнап-Ханс Райхенбах-Эдгар Цилзель. Veröffentlichungen des
Instituts Wiener Kreis 2, Wien: Hölder-Pichler-Tempsky, 362–385.

Парадоксы в Геттингене

515

[32] Peckhaus, Volker: 1994. Логика в переходе: логические исчисления Гильберта (1905)

и Zermelo (1908). В: D. Prawitz и D. Westerståhl (ред.), Логика и философия
науки в Уппсале. Материалы 9-го Международного конгресса по логике, методологии
и философии науки. Синтетическая Библиотека 236. Dordrecht: Kluwer, 311–323.

[33] Peckhaus, Volker: 1994. Von Nelson zu Reichenbach. Kurt Grelling in Göttingen und

Берлин. In: L. Danneberg et al. (ред.), Hans Reichenbach und die Berliner Gruppe,
Braunschweig & Wiesbaden: Vieweg & Sohn, 53–73.

[34] Peckhaus, Volker: 1995. Генезис парадокса Греллинга. В: I. Max и W. Stelzner

(ЭЦП.), Logik und Mathematik. Frege-Коллоквиум Jena 1993. Перспективы в аналитической
философии 5, Берлин: де Грюйтер, 269-280.

[35] Пекхаус, Фолькер и Рейнхард Кале: 2002. Парадокс Гильберта. Historia Mathematica

29: 157–175.

[36] Purkert, Walter and Hans J. Ilgauds: 1985. Георг Кантор. Biographien hervorragender

Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner 79. Leipzig: Teubner.

[37] Ramsey, Frank P.: 1926. Основы математики. Материалы Лондонской конференции

Математическое Общество (2) 25: 338-384.

[38] Rang, Bernhard and W. Thomas: 1981. Открытие Цермело "парадокса Рассела".

Historia Mathematica 8: 15-22.

[39] Rüstow, Alexander: 1910. Der Lügner. Theorie, Geschichte und Auflösung. Кандидатская диссертация

Erlangen 1908. Leipzig: Teubner.

[40] Russell, Bertrand: 1903. Принципы математики, Кембридж: университет

Пресс-центр. Лондон: Allen & Unwin,

2

1937. Издание в мягкой обложке London: Routledge, 1992.

[41] Schröder, Ernst: 1890. Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik). об. 1.

Leipzig: Teubner. Перепечатано как vol. 1 из второго издания Бронкс, Нью-Йорк: Челси, 1966.

[42] van Heijenoort, Jean: 1967. От Фреге до Геделя. Учебное пособие по математической логике,

1879–1931. Cambridge, MA: Harvard University Press.

[43] Weyl, Hermann: 1918. Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen

дер анализ. Leipzig: Veit & Comp.

[44] Zermelo, Ernst: 1901 Ueber die Addition transfiniter Cardinalzahlen. Nachrichten von

der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische
Klasse aus dem Jahre 1901, 34–38.

[45] Zermelo, Ernst: 1908. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. Mathema-

tische Annalen 65: 107–128. Переведено в [42]: 183-198.

[46] Zermelo, Ernst: 1908. Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I. Mathe-

matische Annalen 65: 261–281. Переведено в [42]: 199-215.

Universität Paderborn
Fakultät für Kulturwissenschaften - Philosophie

Warburger Str. 100

33098 Падерборн
Германия

E-mail: [email protected]

Дэвид Гильберт и Поль дю Буа-Реймон: пределы
и идеалы

Дэвид Чарльз Маккарти

Абстрактный. Поль дю Буа-Реймон (1831-1889), младший брат физиолога Эмиля дю Буа-

Реймонд, был одним из самых совершенных и влиятельных математиков во второй
половине 19-го века. Он внес существенный вклад в области (мы бы сегодня назвали)
дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, функционального анализа, топологии и нестандартного
анализа, не говоря уже об основах математики. Поль дю Буа-Реймон, возможно
, был первым, кто использовал явно диагональный аргумент, и ему приписывают введение в
анализ понятий плотного множества и последовательности выбора. В своей “общей теории функций” (1882),
дю Буа-Реймон представил и защитил скептическую философию математики и
неофициально доказывал, на основе этой философии, что математика содержит абсолютно неразрешимые
утверждения. В первые десятилетия 20-го века математик Давид Гильберт открыто
атаковал известного “невежду” Эмиля дю Буа-Реймона в нескольких статьях и лекциях. Здесь
утверждается, что идеи поля дю Буа-Реймона, хотя и не столь известные, представляли собой естественную
цель для позиций Гильберта, занятых в его теоретико-доказательной программе, возможно, более естественную
цель, чем интуитивизм Брауэра.