Реакция математиков на парадокс Рассела

Учитывая наивное отношение к противоречиям теории множеств, публикация
парадокса Рассела не могла быть легко проигнорирована, потому что парадокс раскрыл
последствия этого особого вида противоречий для общей логики. До 1903 года Гильберт
предлагал избегать или обходить противоречия с помощью аксиоматической
переформулировки теории множеств. Это предложение было сохранено после 1903 года, но ему пришлось
значительно расширить его. Его аксиоматическая программа была глубоко вовлечена с момента ее центральной части,
доказательства согласованности для арифметических аксиом с помощью стандартных математических методов
а логические методы требовали, чтобы сама логика была свободна от противоречий.

В своем основополагающем труде “Grundlagen der Geometrie” [13] Гильберт доказал
непротиворечивость евклидовой геометрии при условии непротиворечивости арифметики.
Однако непротиворечивость арифметики еще предстоит доказать. В своем докладе “Über den
Zahlbegriff” [15] Гильберт утверждал, что доказательство согласованности для арифметики
требовало только подходящей модификации известных методов вывода ([15]: 184), мнение
которого вскоре оказалось чрезмерно оптимистичным. В разговоре о парижских задачах он включил
доказательство согласованности для арифметики в качестве второго среди обсуждаемых проблем [14].
Разочарованное признание Фреге теперь делало очевидным, что это доказательство последовательности
не может быть сделано с помощью средств, которые просто оказались непоследовательными.

Беседы об основах математики и логики на заседаниях Геттингенского
математического общества свидетельствуют о новых направлениях деятельности, появившихся в результате публикации
парадоксов.

17

В 1901 и 1902 годах главным оратором был сам Гильберт, выступавший
с докладами по специальным проблемам в аксиоматическом фундаменте геометрии. Кроме того,
Эдмунд Гуссерль прочитал свою “двойную лекцию” о полноте и определенности аксиоматических
систем (26 ноября и 10 декабря 1901 года). В 1903 году Эрнст Цермело обсуждал
концепцию числа Фреге, представленную во втором томе книги "Grundgesetze
der Arithmetik " (12 мая 1903 года). Очевидно, что геттингенские математики чувствовали необходимость
углубиться в несостоявшуюся теорию Фреге. Гильберт говорил об аксиоматической точке зрения
в “основах арифметики” подчеркивается принцип противоречия как
"пьеса о сопротивлении" (27 декабря 1903 г.). В начале 1904 г. х. Флейшер ознакомил
геттингенских математиков с итальянскими позициями в основаниях, сообщая, например,
о принципах арифметики Джузеппе Пеано (1858-1932), nova methododo exposita

17

According to the reports in the Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 11 (1901)–

14 (1905).

Парадоксы в Геттингене

509

(Peano 1889) (19 января и 23 февраля 1904). Было прочитано несколько лекций по
аксиоматизации теории множеств, особенно Э. Цермело в 1904, 1906 и 1908 годах.

А 7 февраля 1905 года Уильям Генри Янг (1863-1942) сообщил о смерти Рассела.

Принципы математики и парадокс Рассела.

Эти действия являются показаниями для глубокого пересмотра аксиоматической
программы Гильберта. Программа до 1903 года состояла в аксиоматизации некоторых областей
математики, в которых основы подвергались сомнению, сведении их согласованности к
согласованности арифметики. Теория множеств не была неотъемлемой методологической частью этой
программы, но была среди областей математики, ожидающих аксиоматизации. После
1903 года стало ясно, что аксиоматизация арифметики требует аксиоматизации
логики и теории множеств. Одним из предварительных условий было получение компетентности в современной логике,
то есть, как Фрегоновская математическая логика, так и алгебра логики г. Буля и Э. Шредера.
Поэтому логика, ранее считавшаяся основной философской дисциплиной, оказалась
в центре внимания геттингенских математиков. По инициативе Гильберта, Zermelo был
награжден стипендиальной лекцией по "математической логике и смежным областям"
в 1907 году. Цермело выступил с первым немецким лекционным курсом по математической логике
, который был основан на министерской комиссии, в летнем семестре 1908 года, cf.
[28, 29, 30, 32].

Теперь логика и теория множеств были интегрированы в аксиоматическую программу, то
есть обеспечение логических и теоретико-множественных оснований рассматривалось как необходимая предпосылка
для доказательства непротиворечивости арифметики. Арифметика трактовалась довольно
логично, т. е. как только была показана непротиворечивость логики и теории множеств (последняя имеет дело с
бесконечным в математике), оставался только один шаг, чтобы доказать
непротиворечивость арифметики. Это было выражено Гильбертом в его довольно Туманном
требовании " частично одновременного развития законов логики и арифметики”
первая опубликованная реакция Гильберта на парадоксы была вызвана в его Гейдельбергской беседе Об основах логики и арифметики
([17]: 170). Эти идеи были значительно
углублены в лекционном курсе по упомянутым выше логическим принципам математического мышления
.

Оригинальный подход Гильберта к снижению согласованности любого набора математических
аксиом до согласованности арифметики, таким образом, был заменен трехэтапной программой
для создания согласованных наборов аксиом для логики, теории множеств, а затем арифметики. Одним
из первых результатов этой пересмотренной программы стала разработка Эрнстом
Цермело теоретико-множественных аксиом, опубликованных в 1908 году. Однако Цермело вынужден был признать, что он
еще не в состоянии доказать “последовательность, без сомнения очень существенную, моих аксиом”
([46]: 262).