Парадоксы вплоть до 1903 года

Парадокс Кантора

Первый контакт Гильберта с так называемыми “парадоксами теории множеств” можно проследить
в его переписке с Георгом Кантором (1845-1918) между 1897 и 1900 годами.

2

Уже в первом из его писем, датированном 26 сентября 1897 года ([6]: № 156, 388-389),

2

Для всестороннего обсуждения этой переписки [36]: 147-166. Выдержки опубликованы в [6].

Парадоксы в Геттингене

503

Кантор доказал, что тотальность алефов не существует, то есть что эта тотальность не
является хорошо определенным, законченным множеством [ fertige Menge ]. Если бы он был принят за законченный набор,
то за этой совокупностью последовал бы некий более крупный Алеф. Таким образом, этот новый Алеф будет в то же
самое время принадлежать к совокупности всех алефов, а не принадлежать ей, потому что он больше
, чем все алефы (там же.: 388).

Таким образом, Гильберт и Кантор занимались тем, что позднее стало известно под
названием “Парадокс Кантора”. Но на самом деле Кантор действительно имел дело не с парадоксами
и их разрешением, а с доказательствами несуществования, используя аргументы reductio-ad-absurdum
.

3

Он опроверг существование совокупности всех кардиналов, показав, что
предположение о ее существовании противоречит его определению множества как постижения
определенных хорошо различимых объектов нашей интуиции или нашего мышления в целом ([4],
ср. [5]: 282). Совокупность всех кардиналов (и всех ординалов) нельзя мыслить как
одну такую вещь, в отличие от реальных бесконечных объектов, таких как трансфинитные множества.

Письма Гильберта к Кантору не сохранились, но мы можем вывести
мнение Гильберта из опубликованных бесед. Эти переговоры показывают, что Гильберт серьезно отнесся к сомнениям о
существовании множества всех кардиналов, очевидно, не убедившись
в доказательстве несуществования Кантора. Гильберт видел альтернативу этому доказательству в подходящей аксиоматизации теории
множеств. В своей работе 1900 года “о понятии числа” [15], первой работе Гильберта
Об основах арифметики, он дал набор аксиом для арифметики и утверждал
, что только подходящая модификация известных методов вывода будет необходима для
доказательство непротиворечивости аксиом. Если бы это доказательство было успешным, существование
совокупности вещественных чисел было бы показано в то же самое время. В этом контексте он
сослался на проблему Кантора о том, является ли система действительных чисел последовательным или
законченным множеством. Он подчеркнул::

В рамках концепции выше, сомнения, которые были высказаны против
существования совокупность всех действительных чисел (и против существования
бесконечных множеств в целом) теряют все оправдания, ибо по множеству вещественных чисел
мы не должны представлять себе совокупность всех возможных законов, в соответствии с
которой элементы фундаментальной последовательности можно продолжить, но скорее—
как описано выше—система вещей, чьи внутренние отношения приводятся
в конечных и закрытые набор аксиом [...], и о том, какие новые заявления
являются действительными только в случае, если один может вывести их из аксиом посредством конечного
количество логических выводов.

4

Он также утверждал, что существование совокупности всех сил или всех Канторианских
Алеф может быть опровергнуто, т. е. в терминологии Кантора, что система всех сил
является непоследовательным (не законченным) набором (там же.).

Гильберт вновь поднял эту тему в своей знаменитой парижской лекции 1900 года на тему " Математика

Проблемы.”

5

В контексте своего комментария по второй проблеме, касающейся
согласованности аксиом для арифметики, он использовал те же самые примеры из канторианского набора

3

Мы следуем в этой оценке [25] и [10].

4

См. [21]: 1095. Немецкий оригинал [15]: 184.

5

Смотрите [14], перевод на английский язык в [16] и [20].

504

В. Пекхаус

теория и проблема континуума, как и в предыдущей лекции. “Если
к понятию приписываются противоречивые атрибуты, - писал он, - я говорю, что математически это понятие не
существует “([20]: 1105).

Согласно Гильберту, подходящая аксиоматизация позволила бы избежать противоречий
, возникающих в результате попытки постичь абсолютные бесконечные кратности как единицы,
поскольку должны были быть приняты только те понятия, которые могут быть выведены из
аксиоматического базиса.

Парадокс Гильберта

Замечания Гильберта на этих видных местах показывают, что он был обеспокоен проблемами
, заставляющими Кантора различать законченные или непротиворечивые множества и кратности
, которые не являются множествами. Неограниченное понимание, естественный способ образования множеств,
было устранено условием, необходимым в силу того факта, что
в противном случае возникло бы противоречие. Однако подходящая аксиоматизация с самого начала исключила бы эти
проблематичные множественности. Гильберт был обеспокоен не просто
тем, что эти противоречия имели место в теории множеств, но и прагматическим аспектом, что
методы, используемые математиками как нечто само собой разумеющееся, как оказалось, приводили к непреднамеренным,
противоречивым результатам. И этот прагматический аспект, кроме того, показывает, что
может быть задействована не только Канторовская теория множеств, но и другие области математики.
Гильберт доказал это, сформулировав свой собственный парадокс, который был “чисто
математическим " в том смысле, что он не использовал понятия из теории
кардиналов и ординалов Кантора. Этот парадокс был известен в Геттингене как” парадокс Гильберта"
, о котором он, очевидно, упоминал в своем письме к Фреге и который Отто Блюменталь
упоминается в его биографической заметке в третьем томе собрания сочинений Гильберта
[1].

6

Гильберт никогда не публиковал этот парадокс. Он обсуждал это, однако, в лекционном курсе
“логические принципы математического мышления”, который он дал в Геттингене в
летнем семестре 1905 года. Он сохранился в двух наборах заметок [18], [19]. Часть в
этих заметок, посвященная "логическим основаниям", начинается с всестороннего обсуждения
парадоксов теории множеств. Она начинается с метафорических соображений общего
развития науки:

Действительно, обычная практика исторического развития науки
состояла в том, что мы начинали культивировать дисциплину без особых угрызений совести, продвигаясь
вперед настолько далеко, насколько это было возможно, но затем мы сталкивались
с трудностями (часто лишь спустя долгое время), которые заставляли нас вернуться назад и
задуматься об основах этой дисциплины. Дом познания
не возводится подобно жилищу, где фундамент сначала хорошо выложен
, прежде чем начнется возведение жилых помещений. Наука предпочитает
как можно быстрее получить удобные комнаты, в которых она может править, и

6

Для истории парадокса Гильберта и его реконструкции см. [29] и [35] (с изданием и на английском языке

перевод изложения парадокса Гильбертом).

Парадоксы в Геттингене

505

только впоследствии, когда становится ясно, что здесь и там слабо
Соединенные фундаменты не могут поддерживать завершение помещений,
наука продолжает поддерживать и закреплять их. Это не недостаток
, а скорее правильное и здоровое развитие.

7

Хотя противоречия довольно распространены в науке, продолжил Гильберт, в данном случае

в теории множеств они кажутся другими, потому что там они имеют тенденцию склоняться
к теоретической философии. В теории множеств общая аристотелевская логика и ее
стандартные методы формирования понятий использовались без колебаний. И эти
стандартные средства чисто логических операций, особенно подведение понятий
под общее понятие, теперь оказались ответственными за новые противоречия.

Гильберт разъяснил эти соображения, представив три примера: парадокс лжеца
, "парадокс Цермело", как тогда в Геттингене назывался парадокс Рассела–Цермело
, о котором будет сказано ниже, и его собственный парадокс, который,
по мнению Гильберта, имел чисто математическую природу ([18]: 210). Гильберт высказал свое
мнение, что это парадокс

кажется, это особенно важно; когда я нашел его, я
сначала думал, что он вызывает непобедимые проблемы для теории множеств, которые в конечном
итоге приведут к окончательному провалу последней; теперь я твердо верю, однако,
что все существенное может быть сохранено после пересмотра оснований,
как всегда в науке до сих пор. Я не опубликовал это противоречие,
но оно известно теоретикам сеттинга, особенно г. Кантору.

8

Парадокс основан на специальном понятии множества, которое Гильберт вводит с помощью
двух принципов формирования множества, начиная с натуральных чисел. Первый принцип-это принцип
сложения (Additionsprinzip). По аналогии с конечным случаем, Гильберт утверждал, что
принцип может быть использован для объединения двух множеств вместе “в новую концептуальную единицу”,
новое множество, содержащее элементы из обоих множеств. Эта операция может быть расширена: "таким
же образом мы можем объединить несколько множеств и даже бесконечно много в Союз."
Второй принцип называется принципом отображения (Belegungsprinzip). Учитывая множество
M, он вводит множество M

М

само-отображений (Selbstbelegungen) из

М к себе.
Само-отображение-это просто полная функция ("преобразование"), которая отображает элементы
M в элементы M.

9

Теперь он рассматривает все множества, которые получаются из натуральных чисел " путем применения
операций сложения и саморазложения произвольного числа раз."По принципу
сложения, позволяющему построить объединение произвольных множеств, можно" объединить
их все в одно суммовое множество

U, который хорошо определен.” В следующем шаге отображение

принцип приложен к

U, и мы получаем F = U

U

как совокупность всех самоотражений из

U.

С

F был построен из натуральных чисел, используя только два принципа, Гильберт

приходит к выводу, что он должен содержаться в

У. из этого факта он выводит противоречие.

7

См. [19]: 122, опубликовано в [29]: 51.

8

См. [18]: 204 и [35]: 164.

9

В теории стандартных множеств,

М

М

изоморфно 2

М

, набор всех функций от

M к {0, 1}, который, в

очередь, изоморфна к

P (M), набор мощности M.

506

В. Пекхаус

Так как "есть’ не больше 'элементов" в

F чем в U существует присвоение вида

элементы

u

я

от

U к элементам f

я

от

F такое, что все элементы изf

я

не использовать. Теперь один

можно определить самоотражение

g из U, который отличается от всех f

я

. Таким образом,

g не содержится

в

Ф. Поскольку предполагалось, что F содержит все самосопряженные отображения, мы имеем противоречие.

Для того чтобы определить

g, Гильберт использовал метод диагонализации Кантора. Если f

я

является ли отображение

u

я

Для

ф

я

(у

я

) = у

ф

(я)

я

он выбирает элемент

u

г

(я)

отличающийся от

u

ф

(я)

я

как изображение из

u

я

под

g. таким образом, мы имеем g(u

я

) = у

г

(я)

= у

ф

(я)

я

и

g " отличается от любого отображения

ф

к

от

F по крайней мере в одном задании.”

10

Гильберт заканчивает свой спор следующим замечанием::

Мы могли бы также сформулировать это противоречие так, что, согласно последнему

рассмотрение, набор

U

U

всегда больше [большей мощности]

11

чем

U но, согласно первому, является элементом U.

Парадокс Гильберта тесно связан с парадоксом Кантора. И Кантор, и Гильберт
строят “множества”, которые приводят к противоречиям. Это показано с помощью
аргумента диагонализации Кантора. Однако способы, которыми строятся эти “множества"
, существенно отличаются. Согласно Кантору ([3]: § 11; ср. [5]: 195-197), есть
три принципа для поколения кардиналов. Первый принцип (”erstes
Erzeugungsprinzip") касается генерации вещественных целых чисел [ reale ganze Zahlen,
т. е. порядковые числа] путем добавления единицы к заданному, уже сгенерированному числу. То
второй принцип позволяет сформировать новое число, если задается определенная последовательность
целых чисел, не имеющих наибольшего числа. Это новое число представляется как
предел этой последовательности. Кантор добавляет третий принцип, принцип ингибирования или
ограничения (“Hemmungs - oder Beschränkungsprinzip”), который гарантирует, что
второй класс чисел имеет не только более высокую мощность, чем первый класс чисел, но
и точно следующую более высокую мощность. Учитывая общее определение Кантора множества,
приведенное выше, можно справедливо спросить, является ли множество всех кардиналов, множество всех ординалов
а всеобщее множество всех множеств - это множества, соответствующие этому определению, т. е. Возможно ли
неограниченное понимание. Кантор отрицает это, обосновывая свое мнение с
помощью аргумента reductio ad absurdum, но он не исключает возможности
формирования парадоксов положениями своего формализма.

Гильберт, с другой стороны, вводит два альтернативных принципа формирования множества, принцип
сложения и принцип отображения, но они также приводят к парадоксам.
Избегая понятий из трансфинитной арифметики, Гильберт полагает, что чисто
математическая природа его парадокса гарантирована. Для него этот парадокс представляется гораздо
более серьезным для математики, чем у Кантора, потому что он касается операции, которая является
частью повседневной практики работающих математиков.

10

Нотация Гильберта

u

г

(я)

это несколько неуклюже. На самом деле, достаточно сказать, что

g (u

я

) = в

я

для элемента

в

я

от

U с v

я

= Ф

я

(у

я

).

11

Замечание позднее добавлено рукой Гильберта в конспект лекций Хеллингера.

Парадоксы в Геттингене

507

Парадокс Цермело

Эрнст Цермело приехал в Геттинген в 1897 году, чтобы работать над своей абилитацией. Его
специальными областями компетенции были вариационное исчисление и математическая физика,
такие как Термодинамика и гидродинамика.

12

Под влиянием Гильберта он
изменил фокус своих интересов, чтобы установить теорию и основы. Он стал
сотрудником Гильберта в области основ математики. Его первая теоретико-сетевая публикация
о добавлении трансфинных кардиналов датируется 1901 годом [44], но уже в зимнем
семестре 1900/1901 он читал лекционный курс по теории множеств в Геттингене. Вполне возможно
, что он обнаружил этот парадокс во время подготовки этого курса. Он упомянул об этом
в известной полемической статье “новое доказательство возможности хорошо упорядоченного порядка”
1908 года [45]. Там Цермело отметил, что он нашел этот парадокс независимо
от Рассела и что он упомянул о нем Гильберту и другим людям уже до
1903 года. И действительно, среди работ Эдмунда Гуссерля (1859-1938), профессора
философии в Геттингене до 1916 года, была найдена записка в руке Гуссерля, частично
написанная стенографическим шрифтом Габельсбергера, в которой говорилось, что Цермело сообщил ему 16 апреля
1902 года, что предположение о множестве

M, который содержит все его подмножества m, m,... как
элементы, это противоречивое множество, то есть такое множество, которое, если рассматривать его вообще как множество, ведет к
противоречиям.

13

Сообщение Цермело было комментарием к рецензии, которую Гуссерль
написал на первом томе книги Эрнста Шредера "Vorlesungen über die
Algebra der Logik" (1841-1902) [41]. Шредер критиковал интерпретацию Джорджем Булем
символа 1 как класса всего, что может быть предметом дискурса (универсум
дискурса, универсальный класс).

14

Гуссерль отверг аргументацию Шредера
как софистическую ([23]: 272), и теперь Цермело сообщил ему, что Шредер был прав
в этом вопросе, но не в своем доказательстве.

В своих собственных воспоминаниях, переданных Генриху Шольцу в 1936 году, Цермело видел
истоки своего парадокса в дискуссиях в гильбертовом кругу. В то время Генрих
Шольц работал над бумагами Готтлоба Фреге, которые он приобрел для своей
кафедры в Мюнстерском университете. Он нашел письмо Гильберта к Фреге,
упомянутое выше, и теперь спросил Цермело, какие парадоксы упоминает Гильберт в этом
письме.

15

Цермело ответил, что теоретико-множественный парадокс часто обсуждался в
гильбертовом кругу около 1900 года, и он сам в то время дал точную формулировку
парадокса, который позже был назван в честь Рассела.

16

Как уже упоминалось выше, Гильберт обсуждал его в своем лекционном курсе 1905 года, представляя его
как "чисто логический" пример-вероятно, более убедительный для нематематиков—

12

О деятельности Zermelo's в Геттингене cf. ЭСП. [26], [28], [29]: 76–122.

13

Критическое издание в ([24]: 399). Английский перевод в [38].

14

См. [41]: 245. Шредер сослался на определение Буля о Вселенной дискурса и его интерпретацию

символа 1, ср. [2]: 42–43.

15

Генрих Шольц в Цермело, датированный Мюнстером 5 апреля 1936 года, Университетский архив Фрайбурга i. Br., Zermelo

документы, C 129/106.

16

Zermelo to Scholz, датированный Фрайбургом i. Br., 10 April 1936, Institut für mathematische Logik und Grund-

lagenforschung, Münster, Scholz papers.

508

В. Пекхаус

тогда как его собственный (чисто математический) пример был более решающим для
математика ([18]: 210).