Математическая индукция и Ландини

В этом разделе мы обсуждаем (первый подраздел) общий вопрос о полезности разветвленных
систем для основ математики, (второе) приложение B Рассела, (третье)
утверждение Ландини и (четвертое) делаем хорошее по нашему утверждению из предыдущего раздела, что
схема аксиомы экстенсиональности Ландини недействительна на заместительной семантике.

Арифметика в разветвленных логиках

. Первое издание Principia постулировало
сводимость. Учитывая бесконечное множество индивидов, это позволяет определить кардинальные
числа как ((

i)) s (классы эквивалентности (i) s в соответствии с отношением эквиполентности) и

"Конструктивное" расширение теории разветвленных типов

473

определение конечных или натуральных чисел как тех, которые принадлежат каждому (((

i)))
содержит 0 и закрыт под преемником. Арифметика Пеано первого и более высокого порядка
интерпретируется в системе с правилом математической индукции (ind), полученным путем
исключения простого универсального квантора из определения натурального числа. То

Аксиома Сводимости, однако, вводится несколько извинительно, поскольку оправдана

главным образом в плане его последствий. Что мог бы сделать Рассел, если бы он
объединил свою философию логики, включая определенный скептицизм в отношении Сводимости, с
личностью Брауэра (или Вейля) и готовностью защищать обрезку математики
, чтобы устранить философски подозрительные биты? Точнее, насколько такое
развитие возможно в разветвленной системе: скажем, irt плюс слабая аксиома Бесконечности? Для
простоты предположим, что идентичность индивидов задается как примитивная предикатная константа
типа

(i, i)/1. (Этого предположения можно избежать-вспомним, что система с идентичностью
может быть интерпретирована в том, что Без-за счет использования переменных уровень плохости
выше в наших определениях.)

Оказывается, что определения кардинального числа и наиболее знакомые арифметические
функции (сложение, умножение и—с немного большей работой—возведение в степень) могут
быть приняты с минимальными изменениями, и, когда конечные числа были
соответствующим образом определены, можно доказать, что они являются полными и удовлетворяют их обычным рекуррентным уравнениям
над конечными числами. Дополнительные функции могут быть определены композицией и
ограниченной рекурсией примитивов. Ситуация с ind, однако, является деликатной.
Количественная оценка закончена

(((i)) s должна быть ограничена тем или иным уровнем (а также наличием

аргументы, указанные как уровень!)- например, чтобы

((i)/1)/1) / 3s. вывод данных из текста:

ind

затем применяется только к условиям, которые определяют пропозициональные функции этого типа:
в частности, к условиям, которые, будучи записаны в примитивной нотации, не содержат
квантифицированных переменных этого типа. Большинство аксиом индукции (первого порядка) Пеано

Арифметика, следовательно, не выводится в irt + Infinity: quantification over natural

числа представлены квантификацией над кардиналами, ограниченными конечными, поэтому любое
теоретико-числовое условие, содержащее (неограниченное) квантификацию над натуральными
числами, преобразуется в одно, содержащее Запрещенные связанные переменные! Однако можно
доказать, что числа, меньшие, чем данное натуральное число, сами являются естественными, так что
ind

для теоретико-числовых условий, содержащих только ограниченные числовые кванторы
, доступны. (Разветвленная логика четвертого порядка является более сложной, чем большинство
математических логиков хотят, чтобы их основные системы были. Небольшой фрагмент арифметики
выводится из аксиомы бесконечности в разветвленной логике второго порядка, используя” логические "
определения в духе Фреге и Рассела, в [21]. [5] делает дальнейшие упрощения
и—в разделах, связанных исключительно с Берджессом—устанавливает верхние и нижние границы
того, сколько арифметики достижимо на этой основе.)

Добавление B

. bmt является правильной суперсистемой irt, поэтому не сразу очевидно
, что фундаментальная система, использующая ее, будет иметь ту же математическую слабость
, что и irt + бесконечность. Во втором из трех приложений, добавленных к (первому тому
) второго издания Principia, Рассел утверждал, что получил неограниченный ind
в bmt + Infinity. Если бы это утверждение было верным, то такая система служила бы
естественным основанием для предикативного анализа, как это отстаивали Вейль и его последователи.

474

А. П. Хазен

(Поскольку bmt является более слабой логикой более высокого порядка, чем простая теория типов, это
означало бы, что вся арифметика Пеано первого порядка выводима, но не
арифметика более высокого порядка: во введении ко второму изданию Рассел отмечает, что
bmt

не дает классического анализа.) Претензия, однако, ошибочна: доказательства даны

является непоправимо ущербным, как, по-видимому, первым заметил Гедель [16].

Тем не менее, есть один момент в предполагаемом доказательстве, предполагающем, что bmt может иметь
интересные математические преимущества перед irt. Лемма * 89.12 утверждает, что каждая
пропозициональная функция, истинная только для конечного числа объектов, является коэкстенсивной с минимальной
пропозициональной функцией уровня. Эта Лемма верна и имеет значительное применение при выводе
математики в рамках разветвленных систем, таких как irt и bmt. (Примеры его использования см.
в [21].) Это доказуемо в более сильной форме в bmt, однако, чем в irt. Для простоты
рассмотрим пропозициональные функции истинных индивидов и предположим, что идентичность
индивидуумов выражается примитивом типа

(i, i)/1. Для удобства мы принимаем
теоретико-множественный словарь ("подмножество”, "член","...) для разговора о пропозициональных
функциях и элементах, из которых они истинны. Напомним также, что уровни являются кумулятивными, так
что

(i)/1 “комплекты” включены среди (i) / 2s.

В irt мы можем определить, например, an

(i) / 2 множество, X, чтобы быть конечным тогда и только тогда, когда оно

принадлежит к каждому

(I) 2) 1 класс, который а) включает все единичные подмножества х, и b) для

каждый правильный

(i)/2 подмножество, Y, из X включенного и каждое индивидуальное, x, в X-Y включает

также в Союзе им.

Y с единичным множеством x. (довольно стандартное теоретико-множественное определение

конечного множества.) Класс из

(i)/2 подмножества X, которые являются коэкстенсивными с наборами (i) / 1, являются

один

((i) / 2) / 1 класс, обозначаемый в аннотации

{Y: ∀x (Y [x] → X[x]) & ∃A∀x (Y [x] ↔ A[x])},

где

X и Y имеют тип (i) / 2, A типа (i) / 1 и x типа i. теперь мы докажем, что

он выполняет условия (а) и (Б).

а) пусть

Y-единичное (i)/2 подмножество X, а x-его член. Затем

{y: y = x}

это

(i) / 1 комплект коэкстенсивный с Y.

b) пусть

Y - подмножество (i)/2 из X, пусть x-член X не в Y, и пусть A -

один

(i) / 1 комплект коэкстенсивный с Y. Затем

{y: A[y] ∨ y = x}

является ли Ан

(i) / 1 комплект совместно с комплектом (i) / 2

{y: Y [y] ∨ y = x}.

Это доказывает строго ограниченную версию *89.12: все конечные

(i) / 2 комплекта являются коэкстенсивными

с

(i)/1 множества, но ничего не говорится о, скажем, конечных (i) / 3 множествах: поскольку они не могут принадлежать

Для

(I) 2) 1 классы, определение конечности не применяется к наборам i) 3.

В bmt, напротив, *89.12 может быть доказано в большей общности. Количественная оценка

переменную класса в определении конечности можно принять относящейся к типу bmt

(i)/2 (или

"Конструктивное" расширение теории разветвленных типов

475

более высокого уровня с тем же простым типом), способным принимать в качестве аргументов переменные
простого типа

(i) и любой уровень, а также связанные переменные множества в условиях (a) и (b)

по состоянию на bmt-тип

i) 2. Определение применимо к множествам типа (i)/n для любого n, и
любое конечное множество любого такого типа bmt-типа может быть показано, с помощью того же аргумента, что и раньше, чтобы
быть коэкстенсивным с an

i) 1.

К сожалению для Рассела, результат, который ему действительно нужен, что каждое подмножество
конечного множества является конечным (его *89.17), все еще, по-видимому, не приходит. Оставляя
вопрос только о том, какова математическая сила bmt + Infinity. Гедель оставляет этот
вопрос открытым:

Таким образом, вопрос о том, может ли (или в какой степени) теория целых
чисел быть получена на основе разветвленной иерархии, должен рассматриваться как
нерешенный в настоящее время. ([16]: 146)

Отрицательный результат Берджесса в [5] для системы, основанной на разветвленной логике второго порядка
, устанавливается ссылкой на теорему неполноты Геделя: система не может
дать математику, необходимую для доказательства своей собственной согласованности, где ключевым шагом
в очевидном доказательстве согласованности является установление Гауптзаца Гентцена для
логики. В связи с этим тот факт, что сложность упорядочения предложений, используемых при
установлении заместительной семантики и Гауптсаца для БМТ, значительно больше
, чем это необходимо для irt, позволяет предположить, что для ее доказательства могут потребоваться более сильные допущения
чем делает это для irt, но это, безусловно, кажется доказуемым, скажем,
в арифметике Пеано (первого порядка). Учитывая Hauptsatz для логики bmt, доказательство согласованности для
bmt

+ Бесконечность (с тождеством для индивидов примитива и аксиомами подстановки
тождественных для всех пропозициональных функций, принимающих индивидов в качестве аргументов)
проста. По Гауптзацу, любой вывод первого порядка
, выводимый из посылок первого порядка в bmt, выводится из них в логике первого порядка: любая доказуемая
последовательность bmt, содержащая только формулы первого порядка в предшествующем и последовательном, является
допустимой последовательностью логики первого порядка. Чтобы доказать непротиворечивость bmt + Infinity,
тогда достаточно дать явно непротиворечивую теорию первого порядка, из которой аксиома
Бесконечность выводится в bmt. Рассмотрим (разрешимую) теорию плотного линейного порядка
(С, для определенности, без верха или низа), сформулированную с тождеством и отношениями порядка
как примитивы. (Чтобы превратить этот пример в конкретный пример замещающей
модели, возьмем рациональные числа как область индивидов, имена которых задаются
добавлением дробей в качестве индексов к некоторому постоянному символу.) Общая подстановка
тождественностей не выводима из аксиом первого порядка для тождества:
аксиомы подстановки, допускающие подстановку терминов для тождественностей в качестве аргументов к предикату
константы языка первого порядка не будут давать подстановки в качестве аргументов к

(i) / 1
переменные предиката. Однако система с общей заменой (индивидуальных) идентификаций интерпретируется
в системе без: просто ограничьте все
кванторы более высокого порядка соответствующих типов пропозициональными функциями, для которых выполняется замена.
Хорошая аксиома Бесконечности утверждает существование a

((i)) / 1 класс непустых (i) множеств
, содержащих соответствующее надмножество каждого из своих членов. Но класс множеств вида

{x: a < x & x}

476

А. П. Хазен

для

a < b (это все, для чего это стоит, (i)/1 наборы) будет работать, и может быть доказано
, что это работает. Учитывая элементарную природу доказательства согласованности, только что набросанного, кажется
очень маловероятным, что полный ind (даже для условий на языке Peano первого порядка

Арифметика) выводится в bmt + Infinity, но определяет точно, какая подсистема из

па

это достижимо потребовало бы более тщательного анализа. Кажется, что по существу
аргумент, приведенный для *89.12, позволяет доказать принцип "голубиной норы" в гораздо
более общей форме в bmt + Infinity, чем в irt + Infinity, поэтому логика 1925 года может представлять
больший математический интерес, чем считалось!

Ландини

. В [25] Ландини пытается оправдать Рассела, показывая, что вывод
приложения B мог бы быть успешно выполнен в конце концов. (Ландини озабочен
доказуемостью, а не определяемостью; потенциально вводящее в заблуждение название его статьи
является ссылкой на [32].) То, что он представляет, является производным ключевого утверждения приложения B,
*89.17, от bmt + Infinity... plus Extensionality. Ландини принимает
аксиому экстенсиональности, обсужденную в разделе 3C выше, чтобы иметь место для пропозициональных функций в целом,
а не только для функций, принимающих в качестве аргументов только индивидов. Вывод Ландини
это верно, и—поскольку изложение Рассела не было столь явным, как можно было бы пожелать-
возможно, что Рассел в 1925 году полагал, что аксиома экстенсиональности держится на
“конструктивной” интерпретации, мотивирующей bmt. Если он действительно верил в это, то он был неправ, как
мы покажем в следующем подразделе. Логика БМТ представляет интерес прежде всего в силу
наличия у него этой конструктивистской философской мотивации, и поскольку принцип экстенсиональности
Ландини не обоснован в данной интерпретации, то его вывод на самом деле не
оправдывает Рассела.

Несостоятельность аксиомы Ландини

. В своей замене приложения B Рассела
в [25] Ландини апеллирует к общему принципу экстенсиональности, который, как мы уже
предположили, несовместим с философской мотивацией БМТ. С учетом
уже упомянутых оговорок мы можем считать толкование, при котором
квантификации более высокого порядка интерпретируются подменяюще, разумным приближением к
предполагаемому толкованию. Если мы сможем показать разумную замещающую модель, в
которой экземпляры принципа экстенсиональности оказываются ложными, следовательно, мы
покажем, что аксиома Ландини неприемлема.

Рассмотрим, следовательно, замещающую модель, построенную на стандартной арифметике: пусть
индивиды будут просто натуральными числами и возьмем в качестве примитивного словаря только
обычный словарь арифметики Пеано первого порядка (переформулированный, учитывая наш “официальный”
синтаксис, с предикатами, заменяющими обычные функциональные символы). Диапазон переменных типа
(i)/1 на подстановочной интерпретации является именно теми подмножествами
отдельной области, которые (параметрически) определяются формулами первого порядка
языка, то

(i) / 1 пропозициональные функции при таком толковании соответствуют

арифметические наборы натуральных чисел и так далее.

(Обратите внимание, что сейчас мы не пытаемся “построить " арифметику на логической основе,
а скорее предполагаем арифметику в метаматематическом исследовании логики логики
логики, bmt: даже если наша цель-оценить заявления Ландини об успехе в логическом
строительстве, в нашей предполагаемой арифметике нет никакой цикличности.)

"Конструктивное" расширение теории разветвленных типов

477

Соответствующим принципом экстенсиональности является схема

∀X(A(X) ↔ B (X)) → ∀F (A (F) ↔ B(F)),

где

X и F могут быть приняты соответственно за типы (i)/1 и (i) / 2, а A и
B-произвольные соответствующие контексты. (Эта схема изложена в полной общности в
начале раздела 4 из [25]; это существенно для доказательства Ландини.) В конкретной
указанной модели замещения, то,

X диапазоны по арифметическим наборам чисел. По
теореме Тарского, множество (чисел Геделя) истинных предложений арифметики первого порядка
не находится в диапазоне

X. С другой стороны, достаточно легко указать в
арифметике первого порядка, дополненной переменными набора, условия, которым набор должен удовлетворять по порядку

чтобы быть множеством истин арифметики первого порядка (Подробнее см. Главу 19 из [4]—
утверждение состоит в том, что единичный класс множества истин (первого порядка) арифметики определяется
в арифметике). Поэтому мы можем выбрать:

А (·) выразить (по указанному толкованию-

процесс)

(·) это набор арифметических истин и (там нет никаких трудностей вообще в выражении

будучи-отрицанием- через нумерацию Геделя) выбрать

B (·) для выражения (·) есть множество

Арифметическая ложь. Предшественник,

∀X(A (X) ↔ B (X)), из этого экземпляра

схема, таким образом, бессмысленно истинна: нет элемента в диапазоне от

X удовлетворяет либо A (·), либо B (·).

Теперь это также возможно, для любого заданного натурального числа

n, чтобы определить в
арифметике первого порядка множество (числа Геделя) истин арифметики первого порядка
, содержащих n или меньше кванторов(подробнее, опять же, в [4]): Все эти множества являются, по
указанной подстановочной модели,

(i)/1s. кроме того, можно написать условие
(без количественных переменных множества), указывающее именно эти “частичные наборы истинности".” В
указанной замещающей модели БМТ, говоря другими словами, класс частичных
множеств истинности определяется пропозициональной функцией типа

((i))/1. Но предложение является
истиной арифметики тогда и только тогда, когда оно является членом некоторого частичного набора истин!
Количественное определение переменной типа

(i) / 1, то мы можем написать формулу, выражающую (·) является истиной
арифметики первого порядка. Таким образом, множество истин арифметики первого порядка равно
a

(i) / 2, как и, конечно же, Совокупность лжи. Набор истин не тождественен тому, что было сказано выше.

набор лжи, поэтому последующий,

∀F(A(F) ↔ B (F)), является ложным. q. e. d.

Подтверждение. Более ранняя и резко сокращенная версия этой статьи имеет

было опубликовано как [23]. Принимая на себя всю полноту ответственности за настоящий документ, я
хотел бы поблагодарить д-ра Даворен за ее существенный вклад в предыдущие этапы
исследования.

Рекомендации

[1]

Anderson, C. Anthony: 1986. Некоторые трудности, касающиеся Интенсиональной логики Расселла.

НЕТ

Сегодня в 20: 35, просмотров: 43

[2]

Anderson, C. Anthony: 1989. Расселовская интенсиональная логика. In: J. Almog et al. (ред.),

Темы из Каплана, Нью-Йорк: издательство Оксфордского университета.

478

А. П. Хазен

[3]

Benacerraf, Paul, and Hilary Putnam: 1964. Философия математики: избранные
чтения. Скалы Энглвуда: Прентис-Холл.

[4]

Boolos, George, and Richard Jeffrey: 1974. Вычислимость и логика. Кембридж, Великобритания:
издательство Кембриджского университета. Более поздние издания 1980 и 1989 годов.

[5]

Burgess, John P., and Allen P. Hazen: 1999. Предикативная логика и формальная арифметика.
Нотр-Дам Journal of Formal Logic 39 (1998 год Обложка): 1-17.

[6]

Карнап, Рудольф: 1928. Der Logische Aufbau der Welt. Berlin: Weltkreis. Анг. tr.
Логическая структура мира, Berkeley & Los Angeles: University of California Press,
1967.

[7]

Church, Alonzo: 1956. Введение в математическую логику. Принстон: Издательство Принстонского
Университета.

[8]

Church, Alonzo: 1974. Теория простых типов Расселла. Материалы и обращения
американской философской Ассоциации 47: 21-33.

[9]

Church, Alonzo: 1976. Сравнение разрешения семантических антиномий Рассела с разрешением семантических антиномий
Тарского. Журнал символической логики 41: 747-760. Репр. с поправкой на Р. Л.
Мартина (изд.), New Essays on Truth and the Liar Paradox, New York: Oxford University
Press.

[10] Church, Alonzo: 1984. Теория тождества пропозиций Рассела. Philosophia Naturalis

21: 513–522.

[11] Davoren, Jen M. and Allen P. Hazen: 1991. Рассел, Гедель и Сколем: сколько из

арифметика является предикативной? Журнал символьной логики 56: 1108-1109.

[12] Dunn, John M. and Nuel D. Belnap: 1968. Интерпретация замещения кванти-

фиерс. Нет!

S 2: 177-185.

[13] Fitch, Frederick B.: 1938. Последовательность разветвленных начал. Журнал символический

Логика 3: 140-149.

[14] Gentzen, Gerhard: 1934. Untersuchungen über das logische Schliessen. Mathematische

Zeitschrift 39: 176–210 and 405–431. Анг. tr.: Исследования в области логической дедукции,
American Philosophical Quarterly 1 (1964): 288-306 и 2 (1965): 204-218. Анг. tr.
репр. в [15].

[15] Gentzen, Gerhard: 1969. Сборник статей Герхарта Гентцена. Под редакцией М. Сабо,

Амстердам: Северная Голландия.

[16] Gödel, Kurt: 1944. Математическая логика Рассела. В П. А. Шилппе (изд.), Философия

Бертран Рассел, Эванстон: Северо-Западный университет. Репр. в [17] и других местах.

[17] Gödel, Kurt: 1990. Собрание сочинений, т. II. под редакцией S. Feferman et al., Нью-Йорк:

Издательство Оксфордского Университета.

[18] Goodman, Nelson: 1951. Структура внешнего вида. Cambridge, MA: Harvard Uni-

версити пресс.

[19] Grover, Dorothy: 1973. Пропозициональная квантификация и контексты цитирования. В [27].

[20] Hazen, Allen P.: 1985. Номинализм и абстрактные сущности. Анализ 45: 65-68.

"Конструктивное" расширение теории разветвленных типов

479

[21] Hazen, Allen P.: 1992. Интерпретируемость арифметики Робинсона в разветвленной секунде-

Теория порядка плотного линейного порядка. Нотр-Дамский журнал формальной логики 33: 101-111.

[22] Hazen, Allen P.: 1995. На количественной оценке. Журнал философской логики 24: 291-319.

[23] Хейзен, Аллен п. и Джен М. Даворен: 2000. Логика Рассела 1925 года. Австралийский Журнал

из философии 78: 534-556.

[24] Henkin, Leon: 1950. Полнота в теории типов. Журнал символьной логики 15:

81–91. Репр. в J. Хинтикка (ред.), Философия математики, Лондон:
издательство Оксфордского университета, 1969.

[25] Landini, Gregory: 1996. Определимость множества натуральных чисел в 1925 году

Principia Mathematica. Журнал философской логики 25: 597-615.

[26] Landini, Gregory: 1998: скрытая заместительная теория Рассела. Нью-Йорк: Оксфорд

университетское издательство.

[27] Леблан, Хьюз (ред.): 1973. Истина, синтаксис и модальность. Амстердам: Северная Голландия.

[28] Leblanc, Hugues: 1975. Что Principia Mathematica, первое издание, является предикативным после

ВСЕ. Журнал философской логики 4: 67-70.

[29] Леблан, Хьюз и Джордж Уивер: 1973. Истина-функциональность и разветвленная теория

из разных типов. В [27].

[30] Linsky, Bernard: 1999. Метафизическая логика Рассела. Стэнфордский:

csli

.

[31] Lorenzen, Paul: 1951. Algebraische und logistische Untersuchungen über freie Verbände.

Журнал символической логики 16: 81-106.

[32] Myhill, John: 1974. Неопределимость множества натуральных чисел в разветвленном виде

Принципия. В: г. Нахникян (изд.), Философия Бертрана Рассела, Нью-Йорк: Харпер
и Роу.

[33] Myhill, John: 1979. Опровержение необоснованной атаки на аксиому сводимости.

In: G. W. Roberts (ed.), Bertrand Russell Memorial Volume, London: George Allen &
Unwin.

[34] Parsons, Charles: 1971. Математика И ОНТОЛОГИЯ. Философское Обозрение 80: 151-176.

Репр. в [38].

[35] Parsons, Charles: 1971. Просьба о замене количественной оценки. Философский журнал

68: 231–237. Репр. с добавленной заметкой в [38].

[36] Parsons, Charles: 1974. Наборы и классы. Нет!

8: 1-12. Репр. в [38].

[37] Parsons, Charles: 1982. Заместительная квантификация и математика (обзор Готлиба,

Онтологическая Экономика). Британский журнал по философии науки 33: 409-421.

[38] Parsons, Charles: 1983. Математика в философии. Итака: Cornell University Press.

[39] Груши, Дэвид: 1972. Бертран Рассел: сборник критических эссе. Нью-Йорк: Доу-

Блэй.

[40] Quine, Willard V.: 1960. Слово и объект. Cambridge: MIT Press.

[41] Quine, Willard V.: 1963. Теория множеств и ее логика. Cambridge: Harvard University Press.

480

А. П. Хазен

[42] Ramsey, Frank P.: 1925. Основы математики. Материалы Лондонской конференции

Математическое Общество 25: 338-384. Репр. в [43, 44, 45].

[43] Ramsey, Frank P.: 1931. Основы математики и другие логические эссе. Отредактированный

Р. Б. Брейтуэйт, Лондон: Routledge and Kegan Paul.

[44] Ramsey, Frank P.: 1978. Основы: Очерки по философии, логике, математике и

Экономика. Под редакцией D. H. Mellor, London: Routledge and Kegan Paul.

[45] Ramsey, Frank P.: 1990. Философские Труды. Под редакцией Д. Х. Меллора, Кембридж, Великобритания:

Издательство Кембриджского Университета.

[46] Russell, Bertrand: 1903. Принципы математики. Лондон: Кембриджский Университет

Пресс-центр. Второе издание с новым введением Лондон: Allen & Unwin, 1925.

[47] Рассел, Бертран: 1910-1911. О знании по знакомству и знании по де-

скрининг. Труды аристотелевского общества 11: 108-128. Репр. в [48].

[48] Russell, Bertrand: 1918. Мистицизм и логика. Лондон: Лонгманс, Грин.

[49] Рассел, Бертран: 1924. Логический атомизм. In: J. H. Muirhead (ed.), Современный

Британская Философия (Первая Серия), Лондон: George Allen & Unwin. Репр. в [51].

[50] Рассел, Бертран: 1925. Введение (стр. xiii-xlvi) и три добавления (стр. 635–

666) добавлено ко второму изданию [57]. Введение и добавления A и C (стр.
401-408) (но не B) включены в [58].

[51] Russell, Bertrand: 1956. Логика и знание. Под редакцией R. C. Marsh, London: George

Аллен И Анвин.

[52] Schütte, Kurt: 1960. Beweistheorie. Berlin: Springer-Verlag.

[53] Skolem, Thoralf: 1962. Абстрактная Теория Множеств. Нотр-Дам Математические Лекции 8. Notre

Дама: Университет Нотр-Дам.

[54] Тейлор, Барри М. и Аллен П. Хейзен: 1995. Гибко структурированная предикация. Logique et

Анализ 139-140 (дата выхода в 1992 году): 375-393.

[55] Toledo, Sue: 1975. Tableau Systems. Лекционные заметки по математике, т. 447. Берлин:

Прыгун.

[56] Weyl, Hermann: 1918. Das Kontinuum. Leipzig: De Guyter. Анг. tr. Континуум,

Kirksville, Missouri: Thomas Jefferson University Press, 1987.

[57] Уайтхед, Альфред Н.и Бертран Рассел: 1910. Principia Mathematica, vol. I. Cam-

Бридж, Великобритания: издательство Кембриджского университета. Второе издание с дополнительным материалом
Рассела, 1925 год.

[58] Уайтхед, Альфред Н.и Бертран Рассел: 1962. Principia Mathematica to * 56.

Сокращенная перепечатка второго издания [1910]. Кембридж, Великобритания: Кембриджский университет

Пресс-центр.

Факультет философии
Мельбурнского университета

Виктория 3010
Австралия

E-mail: [email protected]

Рассел по методу

Andrew D. Irvine

Абстрактный. В этой статье исследуется напряженность между взглядами Рассела на эпистемологию и его взглядами

о философском методе. Согласно Расселу-основоположнику, эпистемическая определенность является
общей чертой как логического, так и эмпирического знания. Согласно Расселу-фаллибилисту,
аналитический метод подразумевает всеобщее отсутствие определенности не только в философии, но и повсюду.
Утверждается, что именно это противоречие между эпистемологией и методом в конечном счете привело
к тому, что Рассел отказался от своего фундаментализма в пользу альтернативной теории познания.

Стремление Бертрана Рассела к определенности известно и хорошо документировано. ” Я хотел
определенности таким же образом, как люди хотят религиозной веры", - говорит он в своей
автобиографии. (См. [39]: vol. 3, 220) понимается таким образом, что его фундаментализм
в эпистемологии, хотя и является в некоторых отношениях новаторским, полностью соответствует
традиционным эпистемическим целям. Для Рассела-основателя целью эпистемического
обоснования является эпистемическая определенность.

Напротив, взгляды Рассела на метод подчеркивают неопределенность всех логических,
философских и научных утверждений. В своих многочисленных работах о том, что он называет “либеральным”
или “научным” мировоззрением, Рассел-фаллибилист постоянно подчеркивает неопределенность всех
ветвей обоснованной веры. В этих работах Рассела-основателя нигде
не видно.

Это очевидное противоречие между взглядами Рассела на эпистемологию и его взглядами на
метод имеет большое значение. Согласно Расселу-основоположнику, эпистемическая определенность
является общей чертой как логического, так и эмпирического знания. Напротив, согласно
Расселу-фаллибилисту, как аналитический метод, так и либеральное или научное мировоззрение
существенно предполагают всеобщее отсутствие определенности не только в философии, но и повсюду.
Далее утверждается, что именно это противоречие между эпистемологией и методом
в конечном счете привело к тому, что Рассел отказался от своего фундаментализма в пользу Ан -
альтернативная теория познания.

Настоящий документ состоит из четырех основных частей. Первый рассматривает
фундаментализм Рассела в отношении как логического, так и эмпирического знания. Во второй
части рассматривается теория анализа Рассела и его взгляды на метод в более общем плане. В третьем
исследовании исследуется противоречие между теорией познания Рассела и его теорией метода
и делается вывод о том, что это противоречие необходимо разрешить. Четвертая описывает
решение Рассела. Статья заканчивается некоторыми замечаниями о значении этого вопроса
не только для Рассела, но и для аналитической философии в целом.

482

А. Д. Ирвин

Теория познания Рассела

Вот Рассел в возрасте 87 лет пересматривает свою работу всей жизни:

Есть только одна постоянная озабоченность: я все время стремился
выяснить, как много мы можем сказать, что знаем, и с какой степенью
уверенности или сомнения. ([37]: 9)

Вот он делает примерно то же самое тридцать пять лет назад.:

С ранней юности у меня было горячее желание верить, что существует такая
вещь, как знание, в сочетании с огромным трудом принимать многое
из того, что проходит как знание. Казалось очевидным, что наилучший шанс найти
несомненную истину был бы в чистой математике... ([31]: 323)

1

Другими словами, на протяжении всей своей жизни стремление Рассела к определенности пронизывало его
философию. Как говорит Эйер, Рассел “был последовательным скептиком в том смысле,
что считал все наши общепринятые убеждения открытыми для сомнений; он считал, что
философия должна попытаться развеять эти сомнения.” ([1]: 66)

Основная причина, по которой Рассел считает, что большинство предложений открыто для сомнения, заключается в том, что
они относятся к сущностям, существование которых сомнительно. Поэтому наилучшим способом
разрешения таких сомнений является идентификация или сведение каждого класса сомнительных сущностей к
отдельному классу сущностей, существование которых более определенно.

Рассел замечает, что большинство наших убеждений включает в себя умозаключения того или иного рода.
Например, в отличие от своего идеалистического оппонента, ранний Рассел признавал независимо
существующие физические объекты в качестве основной причины перцептивного опыта.

2

Его
здравомыслящее обоснование этих объектов использует то, что мы сегодня назвали бы
“умозаключением к лучшему объяснению"."Постулируя независимо существующие физические объекты,
мы лучше можем объяснить повторяющиеся паттерны опыта. Короче говоря, мы делаем вывод о
существовании таких объектов из их объяснительной силы.

Этот тип умозаключения первоначально играл фундаментальную роль в философии Рассела,
особенно в свете беспокойства о наивном реализме. Согласно Расселу, не только
аргумент от иллюзии, но и сама наука затрудняет принятие утверждения о том, что мы
непосредственно или наивно воспринимаем физические объекты. Как он говорит в своем исследовании смысла
и истины: “наивный реализм ведет к физике, а физика, если она истинна, показывает, что наивный
реализм ложен. Поэтому наивный реализм, Если он истинен, то ложен; следовательно, он ложен.” ([33]:
15)

3

Несмотря на это, Рассел также указывает, что

1

Или, как он выразился в [37]: 154-155, “мое философское развитие, начиная с первых лет нынешнего
столетия, можно широко описать как постепенное отступление от Пифагора.... Я надеялся, что в то время вся
наука могла стать математической, включая психологию.... Мой интерес к применению математики
постепенно сменился интересом к принципам, на которых основана математика. Это изменение произошло
из-за желания опровергнуть математический скептицизм.”

2

См. [22]: ч. 2. Позднее Рассел меняет свое мнение по этому вопросу. Например, в своей работе [24] он пытается
свести физические объекты к наборам чувственных данных. Однако к тому времени, когда он пишет и свой [32], и
свой [36], он вернулся к мнению, что физические объекты лучше всего понимать как предполагаемые сущности.

3

Именно эта инкапсуляция аргумента Рассела против наивного реализма произвела впечатление на Эйнштейна.

Рассел по методу

483

наш мир не является полностью вопросом умозаключения. Есть вещи, которые мы
знаем, не спрашивая мнения людей науки. Если вам слишком жарко
или слишком холодно, вы можете прекрасно осознавать этот факт, не спрашивая
физика, что такое тепло и холод.... Мы можем дать название "данные"
всем вещам, о которых мы знаем без вывода. ([37]: 17)

Таким образом, мы приходим к различению Расселом двух видов познания истин:
прямого, интуитивного, достоверного и непогрешимого и косвенного,
производного, неопределенного и открытого для заблуждения.

4

Чтобы быть обоснованным, каждое косвенное утверждение о знании должно
быть подтверждено путем демонстрации того, как оно выводится из более фундаментального, прямого или интуитивного
знания. Виды истин, которые могут быть познаны непосредственно, включают в себя как
истины о непосредственных фактах ощущения, так и истины логики.

5

В конце концов, Рассел дополнил это различие между прямым и косвенным
знанием своим знаменитым различением между знанием по знакомству и
знанием по описанию.

Как говорит Рассел: "я говорю, что я знаком с объектом, когда я имею
прямое когнитивное отношение к этому объекту, то есть когда я непосредственно осознаю сам объект
. Когда я говорю здесь о познавательном отношении, я имею в виду не то отношение
, которое конституирует суждение, а то, которое конституирует представление. Позже он уточняет этот момент, добавляя, что знакомство включает в себя не знание истин, а знание вещей, ср.

[22]: 44. Таким образом, в то время как интуитивное знание и
производное знание оба включают знание пропозиций (или истин), знание
под знакомством и знанием через описание оба подразумевают знание объектов (или
вещей).

6

Поскольку именно те объекты, с которыми мы имеем непосредственное знакомство, являются
наименее сомнительными членами нашей онтологии, именно на этих объектах Рассел
в конечном счете основывает свою эпистемологию.

Парадигматический пример редукции одного сомнительного класса сущностей к
другому, менее сомнительному, включает в себя редукцию материальных объектов к чувственным данным.
Например, в нашем знании внешнего мира Рассел объясняет, что

Вещь может быть определена как определенный ряд явлений, связанных с

друг друга по непрерывности и по определенным каузальным законам.... Вообще говоря,
"вещь" будет определяться как определенный ряд аспектов, а именно тех, которые
обычно говорят о вещи. Сказать, что определенный аспект
является аспектом определенной вещи, будет просто означать, что это один из тех
аспектов, которые, взятые последовательно, являются вещью. ([24]: 106–107)

Другой пример включает в себя сведение чисел к классам. Как говорит Рассел:

4

Например, смотрите [19]: 41f, а также [21], [22] и [25].

5

Например, см. [22]: 109, где он утверждает, что предложения с высокой степенью самоочевидности
(что он здесь называет “интуитивным знанием”) включить “те, которые просто заявляют, что приведен в чувство, а
также определенные абстрактные логические и арифметические принципы и (хотя и с меньшей определенностью) некоторые этические
суждения.”

6

Это различие несколько осложняется тем фактом, что, хотя знание посредством описания частично
основано на знании истин, оно все же является знанием вещей, а не истин. Я благодарен Расселу
Уолу за то, что он напомнил мне об этом моменте.

484

А. Д. Ирвин

Два одинаково многочисленных собрания, по-видимому, имеют что-то общее:
это что-то должно быть их кардинальным числом. Но до тех пор, пока
кардинальное число выводится из коллекций, а не строится в
их терминах, его существование должно оставаться под сомнением.... Определяя
кардинальное число данно<