Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-09-30 | 368 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Знания:
- определение первообразной функции;
- определение неопределенного интеграла;
- свойства неопределенного интеграла;
- таблицу неопределенных интегралов;
- методы интегрирования;
- свойства определенного интеграла;
- формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;
- основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Умения:
- находить неопределенный интеграл различными методами;
- применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла;
- находить общее и частное решение дифференциальных уравнений.
Задание 1
Вычислить следующие интегралы.
а) , б) , в) ,
г) , д) , е) .
Решение.
а)
Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод непосредственного интегрирования. Преобразуем подынтегральное выражение и применим свойства неопределенного интеграла.
б)
Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод интегрирования по частям. Согласно данного метода подынтегральное выражение следует разбить на две части: функцию и дифференциал – .
в)
Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод интегрирования по частям. Согласно данному методу подынтегральное выражение следует разбить на две части: функцию и дифференциал – .
г)
Для вычисления данного неопределенного интеграла применим метод интегрирования по частям. Согласно данному методу подынтегральное выражение следует разбить на две части: функцию и дифференциал – .
д)
Для вычисления данного определенного интеграла применим метод подстановки. Согласно данному методу, необходимо ввести новую переменную так, чтобы свести подынтегральное выражение к одному из табличных интегралов, при этом обязательно произвести пересчет пределов интегрирования.
|
е)
Для вычисления данного определенного интеграла применим метод подстановки. Согласно данному методу, необходимо ввести новую переменную так, чтобы свести подынтегральное выражение к одному из табличных интегралов, при этом обязательно произвести пересчет пределов интегрирования.
Задание 2.
а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .
Решение.
Построим фигуру, площадь которой требуется найти (рис.1).
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как , а вершина находится в точке , где
; .
Таким образом, .
Найдём точки пересечения параболы с осью :
; ;
.
Парабола пересекает ось абсцисс в точках .
Для построения прямой, заданной уравнением , достаточно указать координаты двух её точек:
Найдём точку пересечения прямой и параболы. Для этого решим совместно систему уравнений:
Рис. 1
Итак, прямая пересекает параболу в точках и .Площадь заштрихованной фигуры найдём по формуле
,
где
, , , ,
так как прямая является верхней границей заштрихованной области, а парабола − нижней.
Итак,
кв. ед.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями и , равна кв. ед.
б) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: , .
Решение.
Построим данные линии в системе координат:
Рис. 2
Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , определяется по формуле:
,
Выразим через в уравнениях заданных кривых:
, . Решая систему уравнений получим пределы интегрирования и .
Тогда
куб. ед.
Ответ: Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , равен 0,3 куб. ед.
в) Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: и .
|
Решение.
Рис.3
Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , определяется по формуле:
,
где .
Выразим через в уравнениях заданных кривых:
.
Пределы интегрирования и найдём, решив систему уравнений:
Тогда
куб. ед.
Ответ: Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и , равен куб. ед
г) Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,1 м, если сила 200 Н растягивает пружину на 0,05 м?
Решение.
По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению , т. е. , где — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила растягивает пружину на м; следовательно, , откуда Искомая работа на основании формулы равна
д) Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, если скорость тела (м/с).
Решение.
Если (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения () до конца 5-й секунды, равен
Задание 3
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка
.
Решение.
Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя обе части, получим
Задание 4
Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
, .
Решение.
Прежде чем найти частное решение данного дифференциального уравнения, найдем общее решение. Для этого представим производную функции в виде частного аргумента . Получим
–общее решение
–частное решение
Приднестровский государственный университет
им. Т.Г. Шевченко
Физико-математический факультет
Кафедра «Алгебры, геометрии и методики преподавания математики»
Лабораторная работа №5
Вариант №___
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!