Количество часов, отводимых на выполнение практической работы 2ч

Тема: Решение задач по теме «Булева алгебра»

Цель: научитьсяприменять законы алгебры логики.

Общие теоретические сведения

Операции над высказываниями.

Отрицанием высказывани я х называется новое высказывание, которое истинно, если высказывание ложное и наоборот. Таблица истинности операции отрицания имеет вид:

Дизъюнкцией двух высказываний x и y(логическое «или») называется новое высказывание, которое будет истинным тогда когда, когда хотя бы одно из высказываний будет истинным.

 

Конъюнкцией двух высказываний x и y(логическое «и») называется новое высказывание, которое будет истинным тогда когда, когда оба высказывания истины. Обозначение операции конъюнкция - & (

 

 

Импликацией двух высказываний x и y(«если – то») называется новое высказывание, которое ложно тогда, когда х(предпосылка) - истинно, а у(следствие) - ложно.

 

 

Эквивалентностью двух высказываний x и y(«тогда и только тогда») называется новое высказывание, которое будет истинно, если высказывания х и у будут одновременно истинны или ложны.

 

 

Неодназночностью (суммой по модулю два) двух высказываний x и y(«тогда и только тогда») называется новое высказывание, которое будет истинно тогда когда одно из высказываний х или у истинно, а другое ложно.

 

 

Штрих Шеффера (логическое «и - не») высказываний x и y - это новое высказывание, которое будет ложно тогда и только тогда когда оба высказывания истинны.

 

 

Стрелка Пирса (логическое «или - не») высказываний x и y - это новое высказывание, которое будет истинно тогда и только тогда когда оба высказывания ложны.

 

 

Для операций справедливы следующие приоритеты: ù, &, Ú, ®, «.

Формулы равносильности.

1) Коммутативность

АVВ º ВVА А&В º В&А

 

2) Ассоциативность

АV(ВVС) º (АVВ)VС А&(В&С) º (А&В) &С

 

3) Дистрибутивность

АV(В&С) º (АVВ)&(АVС) А&(ВVС) º (А&В)V(А&С)

 

4) Идемпотентность

АVА º А А&А º А

 

5) Поглощение

АV(А&В) º А А&(АVВ) º А

 

6) Закон де Моргана

º & º V

 

7) Закон исключающий третьего

АV1 º 1 А&1 º A

8) Закон противоречия

AVÆ º A A&Æ º Æ

 

9) Закон двойного отрицания

º A

 

10) º 1, º 0

11) A®B º VB

12) A«B º (A®B)&(B®A)

13) AÅB º A& V &B

14) A | B º º V

15) A¯B º º &

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы называется выражение вида:

, (2.4)

где - элементарная конъюнкция.

 

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы называется выражение вида:

, (2.5)

где - элементарная дизъюнкция.

Любую формулу можно представить в виде ДНФ или КНФ.

 

ПРИМЕР

Пусть дана формула

Требуется получить ДНФ и КНФ данной формулы.

Применяя формулы равносильности, получаем КНФ :

Применяя формулы равносильности, получаем ДНФ :

Совершеннойдизъюнктивной нормальной формой(СДНФ) формулы называется такая ДНФ, для которой выполняются следующие условия:

1. Все элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ , различны.

2. Все элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ , содержат литеры, соответствующие всем переменным.

3. Каждая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ , не содержит двух одинаковых литер.

4. Каждая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ , не содержит переменную и ее отрицание.

СДНФ можно получить двумя способами:

1. по таблице истинности;

2. с помощью равносильных преобразований.

Совершеннойконъюнктивной нормальной формой(СКНФ) формулы называется такая КНФ, для которой выполняются следующие условия:

1. Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ , различны.

2. Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ , содержат литеры, соответствующие всем переменным.

3. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ , не содержит двух одинаковых литер.

4. Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ , не содержит переменную и ее отрицание.