ПРАКТИКА № 21 (23 мая у обеих групп)

Задача 1. Найти производную для .

Решение. Запишем разложения в ряд Тейлора для каждой функции.

Найдём все те комбинации, которые дают 6 степень.

= , что надо приравнять к .

= .

.

Ответ. .

Задача 2. Приближённо найти значение интеграла с точность .

Решение. Разложим функцию под интегралом в ряд.

= = = Видно, что даже второе слагаемое меньше, чем , то есть может повлиять лишь на 7 знак после запятой. Третье, с учётом знаменателя, меньше, чем .

Тогда .

Ответ. .

Задача 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням и найти .

Решение. В этой задаче сначала надо разложить на простейшие, чтобы в каждой дроби в знаменателе была только сумма или разность двух объектов.

= = , тогда

система . Тогда функция имеет вид .

Точки разрыва и , поэтому наибольший круг с центром в нуле может быть радиуса 1. Итак, ряд будет существовать в круге . При этом очевидно, что , поэтому автоматически выполнено и условие , т.е. . Поэтому во второй дроби можно выносить 3 за скобку для формирования структуры суммы прогрессии вида . Итак, =

= =

. Можно объединить эти две суммы в одну.

.

Теперь найдём коэффициент при 4 степени, чтобы найти .

Приравняем коэффициент из этого ряда и тот его вид, который следует из теории. тогда

= = = .

Ответ. Ряд , = .

 

Задача 4. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .

Решение. Разложение на простейшие сначала производится точно так же, как в задаче 8: . Но здесь центр круга не в 0, а в точке потому что . Точки разрыва и . Поэтому расстояние до ближайшей точки разрыва равно 2, и круг здесь имеет вид . Он показан на чертеже:

В выражении сначала надо прибавить и отнять константы, чтобы в знаменателе явно был выделен блок .

= теперь скобку вида мы не будем раскрывать вплоть до ответа, можно даже переобозначить её через (но не обязательно).

Выносим за скобку константу 2 в каждой из дробей.

. В круге получается, что верно то есть там как раз получается такое , как и надо для сходящейся геометрической прогрессии. Тогда далее

= .

Здесь в 2 частях индексы меняются синхронно, их можно объединить.

Ответ. .

Задача 5. Разложить в ряд Тейлора: по степеням z.

Решение. Сначала надо разложить на простейшие дроби.

= =

система . Итак, функция имеет вид: .

Теперь оценим, в каком круге будет разложение. Центр в 0, так как по степеням z. Точки разрыва , . Расстояние от центра до ближайшей точки разрыва равно 1. Поэтому разложение в ряд будет в круге .

= теперь то, что следует в знаменателе после единицы, уже и так удовлетворяет условию , то есть выносить за скобки никакие константы уже не надо. Можно уже использовать формулу суммы прогрессии.

= = , что при более подробной записи первых слагаемых выглядит так:

Ответ.

Задача 6. Найти кольцо сходимости ряда Лорана:

Решение. Сначала исследуем правильную часть.

, по признаку Даламбера =

сократим на 3ⁿ числитель и знаменатель.

= , тогда .

Теперь рассмотрим главную часть . Можно задать индексацию натуральными числами, если сделать замену и после этого уже применять обычный признак Даламбера.

= = .

Тогда = =

, тогда .

Ответ. - кольцо сходимости.

Задача 7. Разложить в ряд Лорана по степеням z

Решение. Точки разрыва и , центр кольца в 0, значит, кольцо определяется условием .

= = =

. Можно ещё произвести сдвиг индекса в главной части, чтобы не был индекс 0 в двух частях сразу:

но фактически и так было видно, что главная часть начинается с -1 степени.

Ответ. .

Задача 8. Разложить в ряд Лорана по степеням в кольце.

Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь центр смещён в 1. Это влияет и на радиусы кольца. Ближайшая точка разрыва на расстоянии 2, а более далёкая на расстоянии 5. Поэтому условие кольца . Но сначала надо прибавить и отнять 1, чтобы создать отдельное слагаемое его мы не будет раскрывать вплоть до ответа.

= теперь выносим за скобку либо константу, либо с учётом того, что должно получаться 1 и второй объект, который меньше 1.

согласно условию , каждый объект в знаменателе здесь по модулю меньше 1 и может служить знаменателем сходящейся геометрической прогрессии.

Далее, .

Ответ. .

Задача 9. Разложить в ряд Лорана во внешней области .

Решение. Здесь , а значит атоматически и . Поэтому выносить за скобку в знаменателе надо так, чтобы всегда получались константы, делённые на .

= =

Первая часть преобразуется, как и в прошлом примере, а вот вторая по-новому. Кстати, здесь можно объединить, так как обе суммы относятся к главной части, там везде отрицательные степени.

= .

Ответ. .

ПРАКТИКА № 22. Ряды Фурье.

Задача 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на (-1,1).

Решение. Так как функция нечётная, то все коэффициенты и равны 0. Поэтому считаем только . Учитываем, что .

. Вычисляем интеграл по частям.

, , , . Тогда

=

так как косинус чётная функция, то далее = = = . Ответ. .

 

Задача 2. Разложить в триг. ряд Фурье на (-1,1)

Решение. Заметим, что функция нечётная. То есть, f это сумма нечётной и константы. Таким образом, коэффициенты здесь тоже окажутся равны 0. Надо вычислить и .

= = , .

. Вычисляем интеграл по частям.

, , , . Тогда

=

= = = = .

Ответ. Ряд Фурье: .

Замечание. Для поиска коэффициентов можно было воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.

=

первое слагаемое содержит интеграл, равный в итоге а второе равно 0. Тогда = .

 

Задача 3. Найти ряд Фурье для

Решение. Здесь функция не является чётной либо нечётной, поэтому надо будет искать все коэффициенты.

При этом, на левой и правой части интервала надо считать отдельно, ведь там функция задана по-разному.

= = , .

. Первый интеграл вычисляется методом «по чсатям», второй просто в один шаг.

Кстати, для убодства вычислений можно раскрыть скобки и объединить так:

= . Тогда интеграле по частям остаётся не скобка, а только .

, , , . Тогда

=

= = =

= = .

=

В первом , , , . Тогда

=

= =

 

Ответ. Ряд Фурье: .

Ниже показан чертёж к этой задаче, получившийся в результате работы программы. Видно, что чем больше n, тем более точно кривая огибает ломаную.

Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье: .

Решение. Здесь функция ступенчатая, поэтому вычислять интегралы по частям не придётся, будет в 1 шаг. Но разбивать на две части надо, т.к. функция задана по-разному справа и слева от 0. Кроме того, надо учесть, что здесь.

= = 6. Тогда . Кстати, это и есть средняя высота графика этой функции.

=

так как синус любого угла, кратного , есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов. Впрочем, об этом можно было догадаться и сразу и не считать интегралы: ведь если сместить этот график вниз на 3, то получится нечётная функция.

= = притом здесь мы уже сразу учли чётность косинуса, что .

Итак, = = = .

Ответ. Ряд Фурье: .

Задача 5. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на интервале (-1,1).

Решение. Сначала исследуем, что такое и как это выражение ведёт себя на разных частях интервала: .

Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен 0. Остаётся только на (0,1).

, . интегрируем по частям: , , , .

Тогда = =

= .

тоже по частям,

, , , .

Тогда =

= = .

Ответ. .