Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-12-20 | 21 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Интерполирование
Постановка задачи
Пусть в (n+1) точках задана непрерывная функция со своими значениями , то есть фактически задана таблица
| ||||
(1)
Требуется найти значение функции f для аргумента , но не совпадающего с табличным
Если аналитическое выражение функции неизвестно или очень сложное, то часто прибегают к замене функции на , которая в некотором смысле близка к функции и аналитическое выражение которой будет известно.
Записывают , где - приближающая функция.
Существуют различные способы построения приближающей функции. Это зависит от выбора критерия близости.
Классическое построение приближающей функции основывается на требовании строгом совпадения значений функции и в заданных точках, то есть ;
Нахождение функции, удовлетворяющей этим условиям, называется интерполированием или интерполяцией.
- интерполирующая функция;
- интерполируемая функция;
заданные точки - узлы интерполяции.
Будем искать интерполирующую функцию в виде многочлена степени не выше n, который в заданных точках принимает такие же значения, что и заданная функция .
(*) – условие интерполирования, . Многочлен называется интерполяционным многочленом, само интерполирование - параболическим.
Таблица 1 задает систему точек геометрический смысл интерполяции заключается в том, что график функции заменяется параболой n –го порядка, являющийся графиком и проходящей через заданные точки , то есть график функции и имеют (n+1) общую точку.
Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа
|
(8)
Заменяем в вычислениях значение функции значением интерполяционного многочлена в формуле (8), мы допускаем тем самым погрешность.
Обозначим разность
- остаточный член формулы Лагранжа. Он и дает погрешность метода.
Теорема: если функция имеет на непрерывную производную до (n+1) порядка , то остаточный член можно представить в виде , где .
Если будет известно, что , то получим оценку погрешности.
(9)
Формула (9) дает погрешность метода
Пример: С какой точностью можно вычислить , с помощью интерполяционной формулы Лагранжа построенный для функции ,используя 3 узла интерполяции.
n+1=3, n=2 – степень многочлена
За можно принять на отрезке
, на отрезке
Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов
Рассмотрим многочлен Лагранжа в краткой форме
, где - значение функции
Будем рассматривать равноотстоящие узлы с шагом h, h – шаг интерполирования, тогда
Рассмотрим дробь
Введем новую переменную
Если , то
и многочлен Лагранжа запишется в виде
Это и есть многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполирования.
Интерполирование
Постановка задачи
Пусть в (n+1) точках задана непрерывная функция со своими значениями , то есть фактически задана таблица
| ||||
(1)
Требуется найти значение функции f для аргумента , но не совпадающего с табличным
Если аналитическое выражение функции неизвестно или очень сложное, то часто прибегают к замене функции на , которая в некотором смысле близка к функции и аналитическое выражение которой будет известно.
|
Записывают , где - приближающая функция.
Существуют различные способы построения приближающей функции. Это зависит от выбора критерия близости.
Классическое построение приближающей функции основывается на требовании строгом совпадения значений функции и в заданных точках, то есть ;
Нахождение функции, удовлетворяющей этим условиям, называется интерполированием или интерполяцией.
- интерполирующая функция;
- интерполируемая функция;
заданные точки - узлы интерполяции.
Будем искать интерполирующую функцию в виде многочлена степени не выше n, который в заданных точках принимает такие же значения, что и заданная функция .
(*) – условие интерполирования, . Многочлен называется интерполяционным многочленом, само интерполирование - параболическим.
Таблица 1 задает систему точек геометрический смысл интерполяции заключается в том, что график функции заменяется параболой n –го порядка, являющийся графиком и проходящей через заданные точки , то есть график функции и имеют (n+1) общую точку.
существование и единственность интерполяционного многочлена
Интерполяционный многочлен можно записать по убывающим степеням.
(2)
Неизвестные коэффициенты многочлена будем искать из условия (*).
Получим систему из (n+1) уравнения с неизвестными
(3)
(3) – линейная неоднородная система.
Запишем определитель системы , где - определитель Вандермонда,
Так как узлы интерполирования различны, то определитель система (3) имеет единственное решение, то есть коэффициенты многочлена (2) существуют и определяются единственным образом.
Замечание: решая системы с (n+1) неизвестными, то есть имея (n+1) узел интерполяции, мы получаем многочлен степени не выше n.
Такой способ отыскания коэффициентов многочлена связан с решением системы, увеличение количества узлов интерполяции приводит к большим трудоемким вычислениям. Другой способ отыскания коэффициентов был предложен Лагранжом.
4.3 интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция задана таблицей 1, построим интерполяционный многочлен , который удовлетворял бы условию (*). Будем искать в виде
|
(4),
где - многочлен степени не выше n и удовлетворяет следующему условию:
(**)
Из условия (**) следует, что все узлы, кроме одного, а именно являются нулями многочлена .
(5)
А при ; ,
тогда
Подставляя в (5) получаем
Так как , то окончательно получим
(6)
Многочлен (6) и есть многочлен Лагранжа.
Многочлен (6) можно записать и в более краткой форме.
Обозначим - многочлен (n+1) степени.
Производная от точки имеет вид:
(7)
Многочлен (7) и есть краткая запись многочлена Лагранжа.
Приближенное равенство
(8)
называется интерполяционная форма Лагранжа.
Пример: построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции заданной таблицей.
0 | 0.5 | 1 | 2 | |
1 | 2 | 4 | 3 |
n +1=4 – количество узлов;
n=3 - степень многочлена.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!