Значения параметров итерационного процесса для каждого

Вариант 1

 

 

Выполнил: Студентгруппы ИВТ-41-15

Агниашвили Д.В.

Проверила:Первова Н.В.

 

 

Чебоксары2017.

 

 

Задание на работу

 

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [x0, x1].

2. Найти корень заданного уравнения f(x)=0 с заданной точностью ε на заданном отрезке [x0, x1].

3. Привести расчёты параметров итерационного процесса для каждого шага алгоритма.

4. Решить исходное уравнение с помощью встроенной функции roots, fzero, sqp.

5. Сравнить результаты, полученные в п.2 и 4.

6. Записать в ответе только верные цифры

Алгоритм

График заданной функции

Значения параметров итерационного процесса для каждого

Шага алгоритма в виде сводной таблицы

N	X0	X1	c	F(x0)	F(x1)	F(c) <eps
1	-2.8425	-2.8425	0.15748	0.92789	-0.031976	0
2	-2.9045	-2.9045	-0.061952	-0.60174	0.0012211	1

 

Решения исходного уравнения с помощью встроенных функций roots, fzero, sqp.

X= -2.9078

Анализ результатов решения уравнения и выводы по работе.

 

Точка x0 = -2.9000

Точка x0fzero = -2.9078

Значение x при помощи встроенных функций sqp = -2.9078

i = 61

 

 

Текст программы

x=-4:0.05:-1;

function y=f(x) y=(sin(x).*x.*x+5.*cos(5.*exp(x/2)));

 

end;

plot(x,f(x));

grid on;

 

f=inline('(sin(x).*x.*x+5.*cos(5.*exp(x/2)))');

x0=-3;

x1=-2;

eps=0.05;

tmp=0;

n=1;

x1=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0));

while (abs(x1-x0)>eps)

c = x1-x0

tmp=x1

f(x0)

f(x1)

x1=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0));

x0=tmp

printf("====\n")

n++;

endwhile

x1

n

 

fzero(f,[-3;-2])

 

x0=-3;

x1=-2;

n=1;

x1=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0));

while (abs(x1-x0)>eps)

tmp=x1;

x1=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0));

x0=tmp; 

n++; 

endwhile

x1

n

%hold on;

fzero(f,[-3;-2])

f1=inline('abs(sin(x).*x.*x+5.*cos(5.*exp(x/2)))');

[x,obj,info,iter]=sqp(-3,f1)

[x,obj,info,iter]=sqp(-2,f1)

Выводы по работе.

Изучил основы программирования на Octave, применил полученные навыки в написании программ по решению нелинейных трансцендентных уравнений.

ФГБОУ ВО «Чувашский государственный университет им.И.Н.Ульянова»

Факультет информатики и вычислительной техники

Кафедра вычислительной техники

Вычислительная математика

 

Лабораторная работа №2

«Решение нелинейных трансцендентных уравнений»

Вариант 1

 

 

Выполнил: Студент группы ИВТ-41-15

Агниашвили Д.В.

Проверила:Первова Н.В.

 

Чебоксары 2017.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. В итерационных методах предусмотреть выход в случае зацикливания программы.

 

Исходная матрица:

Матрица коэффициентов								Свободный член
20	1	1	1	1	1	1	1	53.2
1	20	1	1	1	1	1	1	106.4
1	1	20	1	1	1	1	1	159.6
1	1	1	20	1	1	1	1	212.8
1	1	1	1	20	1	1	1	266
1	1	1	1	1	20	1	1	319.2
1	1	1	1	1	1	20	1	372.4
1	1	1	1	1	1	1	20	425.6

Общий Алгоритм:

Я решил использовать метод наискорейшего спуска. 1. Задать (произвольно) точку начального приближения x(0);2. В цикле по номеру итерации k=0,1,… вычислить:3. Значение вектора градиента в точке x=x(k) по формуле      4. Значение нормы (длины) вектора градиента по 5. Значение вектора единичной длины в направлении, противоположном вектору градиента s(k) по формуле 6. Значение матрицы вторых производных по 7. Значение шага по 8. Новое значение приближения x(k+1) по 9. Закончить итерационный процесс, используя условие: следует прекратить вычисления, если, начиная с k* - той итерации абсолютное значение нормированной разности между значениями функции в “соседних” не превышает наперед заданного малого числа   

Алгоритм для решения СЛАУ: (на псевдокоде)

A,B - входная матрица и матрица свободных членов

x0 = 0

x1 = 0

r = 0

r1 = 0

k = 0;

 

kMax = 100;          - максимальное число итераций, на случай зацикливания

eps = 0.0001;         - точность

 

repeat

for i = 1 to 8 do

r(i) <- B(i);

for j = 1 to 8 do

r(i) -= A(i,j)*x0(j);

 

s = 0;

s1 = 0;

 

for i = 1 to 8 do

   s += r(i)^2;

 

r1(i) = 0;

for j = 1 to 8 do

r1(i) += A(i,j)*r(j);

 

s1 += r(i)*r1(i);

 

s = s / s1;

 

for i=1 to 8 do

x1(i) += s*r(i);

 

s=0;

 

for i=1:8

   s += (x0(i) - x1(i))*(x0(i) - x1(i));

x0(i) = x1(i);

 

k++;

until (k >= kMax) ИЛИ (sqrt(s) <= eps)

 

Вывод(x1)

Результат работы алгоритма:

Невязка:

Максимальная невязка = X*A-B = -6.795*10^-5 = -0,00006795

Метод вычисления: Метод Гаусса

Алгоритм решения:

Создаётся единичная матрица размером NxN. При помощи простейших преобразований из матрицы А получаем единичную матрицу, параллельно проводя те же действия с данной единичной матрицей. В итоге на месте единичной матрицы будет находится обратная к А.

Обратная матрица

Решение:

Метод вычисления: с помощью стандартных функций inv(A), mldivide и fsolve.

Cпомощью inv(A):

 

Cпомощью mldivide:

Cпомощью fsolve:

 

 

Листинг программы:

A = [ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1;

  1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1;

  1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1;

  1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1;

  1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1;

  1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1;

  1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1;

  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2;

]

B = [ 1;2;3;4;5;6;7;8; ]

Вычисление методом Градиентного спуска:

 

x0 = [ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0 ];

x1 = [ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0 ];

r = [ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0 ];

r1 = [ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0 ];

k = 0;

 

kMax = 100;

eps = 0.0001;

 

 

do

for i=1:8

r(i)=B(i);

for j=1:8

r(i) -= A(i,j)*x0(j);

end;

end;

 

s = 0;

s1 = 0;

 

for i=1:8

   s += r(i)^2;

 

r1(i) = 0;

for j=1:8

r1(i) += A(i,j)*r(j);

end;

 

   s1 += r(i)*r1(i);

end;

 

s = s / s1;

 

for i=1:8

x1(i) += s*r(i);

end;

 

s=0;

 

for i=1:8

   s += (x0(i) - x1(i))*(x0(i) - x1(i));

x0(i) = x1(i);

end;

 

k++;

until (k >= kMax) || (sqrt(s) <= eps)

 

 

printf("Gradient solve:\n k = %i\n", k);

disp(x1);

 

printf("Discrepancy:\n");

disp(A*x1-B);

 

Вычисление методом Гаусса:

 

printf("\n\n");

Ae = [ A B ];

E = eye(8);

 

for j=1:7

for i=1+j:8

s=Ae(i,j)/Ae(j,j);

Ae(i,:)=Ae(i,:)-s*Ae(j,:);

E(i,:)=E(i,:)-s*E(j,:);

end;

end;

 

for j=0:7

for i=1:(7-i)

s=Ae(7-i,8-j)/Ae(8-j,8-j);

Ae(7-i,:)=Ae(i,:)-s*Ae(8-j,:);

E(7-i,:)=E(i,:)-s*E(8-j,:);

end;

end;

 

Ae = Ae(:,9)/Ae(8,8);

 

printf("Inverse matrix of method Zhordan-Gauss:\n");

invA = E/A(8,8);

disp(invA);

printf("\nSolve of method Zhordan-Gauss:\n");

disp(Ae);

 

 

Вычисление встроенными функциями:

 

printf("\n\nSolve of standart inverse matrix:\n");

X=A^(-1)*B;

disp(X);

 

printf("Solve of standartfunc 'mldivide':\n");

mld = mldivide(A,B);

disp(mld);

 

printf("Solve of standartfunc 'fsolve':\n");

xFslv = 0;

function [y] = myfunc(x)

y = zeros(8,1);

y(1) = 2*x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)+x(8)-1;

y(2) = x(1)+2*x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)+x(8)-2;

y(3) = x(1)+x(2)+2*x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)+x(8)-3;

y(4) = x(1)+x(2)+x(3)+2*x(4)+x(5)+x(6)+x(7)+x(8)-4;

y(5) = x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+2*x(5)+x(6)+x(7)+x(8)-5;

y(6) = x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+2*x(6)+x(7)+x(8)-6;

y(7) = x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+2*x(7)+x(8)-7;

y(8) = x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7)+2*x(8)-8;

end;

[xFslv, fval, info]=fsolve(@myfunc, [0;0;0;0;0;0;0;0]);

disp(xFslv);

Выводы по работе.

Изучил основы программирования на Octave, применил полученные навыки в написании программ порешению нелинейных трансцендентных уравнений.

 

ФГБОУ ВО «Чувашский государственный университет им.И.Н.Ульянова»

Факультет информатики и вычислительной техники

Кафедра вычислительной техники

Вычислительная математика

 

Лабораторная работа №3

«Решение систем нелинейных уравнений»

Вариант 1

 

 

Выполнил: Студент группы ИВТ-41-15

Агниашвили Д.В.

Проверила:Первова Н.В.

 

Чебоксары 2017.

 

 

 

 

x1 = linspace(-5,5);

y2 = linspace(-5,5);

y1=(2-sin(x1))/2;

x2=0.7-cos(y2-1);

%plot(x1,y1, x2,y2);

x = y = -2:0.01:2;

[xx, yy] = meshgrid(x, y);

z = (sin(xx)+2*yy-2)^2+(cos(yy-1)+xx-0.7)^2;

%mesh(x, y, z);

ezmeshc("(sin(x)+2*y-2)^2+(cos(y-1)+x-0.7)^2", [-10, 10, -5, 5]);

%ezcontour("(sin(x)+2*y-2)^2+(cos(y-1)+x-0.7)^2", [-10, 10, -5, 5]);

%================================================

function [res] = f(x)

res(1,1) = cos(x(1));

res(1,2) = 2;

res(2,1) = 1;

res(2,2) = -sin(x(2)-1);

end;

function [res] = fd(x)

res(1,1) = sin(x(1))+2*x(2)-2;

res(2,1) = x(1)+cos(x(2)-1)-0.7;

end;

e = 0.001;

k = 0;

 

x = [1;1];

t = [0;1];

 

while abs(max(x-t)) > e

t = x;

x = t-(inv(f(x))*fd(x));

k++;

end;

 

printf("x = %f\ny = %f\nK = %i\n\n", x(1), x(2), k);

 

 

%================================================

 

x1=0; x2=0;

y1=0; y2=1;

h=0.5;

e=0.001;

k = 0;

 

f=@(x1,x2) ((2-sin(x1))/2) - (asin(0.7-x2)+1);

 

while (abs(y2-y1) > e)

x1 += h;

y1 = f(x1,x2);

x2 += h;

y2 = f(x1,x2);

if (y2-y1 > 0)

h = -h/3;

end;

k++;

end;

 

printf("x0 = %f\ny0 = %f\nK = %i\n", x1, ((2-sin(x1))/2), k);

 

 

%================================================

 

e = 0.001;

x0 = [0;0];

 

function result = F(x)

result = (sin(x(1))+2*x(2)-2)^2+(cos(x(2)-1)+x(1)-0.7)^2;

end;

 

 [x,obj,info,iter] = sqp(x0,@F,@F,@F,-10,10,1000,e^2)

 

 

Задание и исходные данные к лабораторной работе.

1. Отделить графически корни системы нелинейных уравнений (таблица 3).

2. Уточнить приближенное решение из п.1 методом Ньютона-Рафсона с точностями

e =1E-2,1E-3,1E-5 из трех различных начальных точек.

3. Уточнить приближенное решение из п.1 одним из указанных в таблице 4 методом

уточнения корней с точностью e =1E-2,1E-3,1E-5.

4. Сравнить результаты, полученные в п.2-3 задания, по количеству итераций

уточнения корней системы уравнений.

5. Найти решения системы нелинейных уравнений, а также информацию о процессе

нахождении минимума функции (функционала) с помощью стандартной функции

OCTAVE sqp с точностью e=1E-2, 1E-3, 1E-5.

 

Метод для уточнения корней - градиентный спуск.

Система уравнений, предлагаемая для решения:

 

                                                  (1)

 

Текст программы

disp("Start\n");

function y=F(x)

y = (sin(x(1))+2*x(2)-2).^2+(cos(x(2)-1)+x(1)-0.7).^2;

endfunction

 

 

y=x=[-5:0.1:5];

[xx,yy] = meshgrid(x,y);

z = (sin(xx)+2*yy-2).^2+(cos(yy-1)+xx-0.7).^2;

mesh(x,y,z);

 

disp("Using SQP function");

X = [0,0];

[x, obj, info, iter] = sqp (X, @F)

 

disp("Gradient descent");

grad_x = inline('2*(cos(x)*sin(x)+2*y-2)+x+cos(1-y)-0.7');

grad_y = inline('4*(sin(x)+2*y-2)+2*sin(1-y)*(x+cos(1-y)-0.7)');

X = [0;0];

EPS = 1e-5;

n = 0;

grad = [];

h = 0.182;

 

do

tmp = X;

grad(1,:) = grad_x(X(1),X(2));

grad(2,:) = grad_y(X(1),X(2));

X = X - h*grad;

n++;

until (abs(F(X)-F(tmp))<=EPS);

X

n

 

disp("Newton-Raphson's method");

w1 = inline('sin(x)+2*y-2');

w2 = inline('cos(y-1)+x-0.7');

J1 = inline('cos(x)');

J2 = 2;

J3 = 1;

J4 = inline('sin(1-y)');

n = 0;

X = [0;0];

 

do

w = [ w1(X(1),X(2)); w2(X(1),X(2))];

Jacobian = [ J1(X(1)), J2; J3, J4(X(2)) ];

delta = inv(Jacobian)*w;

X = X - delta;

n++;

until (abs(delta) <= EPS)

X

n

 

 

Задание и исходные данные к лабораторной работе.

F1(x,y) = cos(x-1)+y=0.5

F2(x,y) = x-cos(y)=3

Метод наискорейшего спуска

Алгоритм

На каждом шаге метод «приближается» к решению последовательно покаждой из координат. Переход от точки х к к точке х к+1 назовем внешнейитерацией. Внутри каждой «внешней» итерации находятся n внутреннихдля последовательного вычисления координат точки х к+1

 

 

1. Поверхностьфункционаласистемы:

 

2. ОпределимВизуальноминимумфункционала:

x = 4;

y = 1.5;

 

3. Графикилинийуровняфункционала:

 

4. Результатырешенияразнымиметодами:

Уточнение корней:

eps	Метод Ньютона -Рафсона	Наискорейший спуск	Функция spq
1E-2	x1 = 3.3559 y1 = 1.2069	ans = 4   3.3562 1.2070	x = 3.3559 1.2069   obj = 1.4379e-16 info = 101 iter = 7
1E-3	x1 = 3.3559 y1 = 1.2069	ans = 5   3.3559 1.2069	x = 3.3559 1.2069   obj = 1.7616e-16 info = 101 iter = 9
1E-5	x1 = 3.3559 y1 = 1.2069	ans = 8   3.3559 1.2069	x = 3.3559 1.2069   obj = 1.7423e-16 info = 101 iter = 13

x⁽⁰⁾ = [4; 1.5](Наискорейший спуск и метод Ньютона-Рафсона)

начальный шаг равен 0.3.(Наискорейший спуск)

 

 

Тексты программ

%главнаяпрограмма

y=x=[-5.5:0.01:12];

[xx, yy] = meshgrid (x, y);

z=(cos(xx-1)+yy-0.5).^2.+(xx-cos(yy)-3).^2;

%mesh(x,y,z)

%x0 = [4,1.5];

%[x,obj,info,iter] = sqp(x0,@phi)

 

fq = @(x,y) (cos(x-1)+y-0.5).^2.+(x-cos(y)-3).^2;

%ezcontourf (fq, [-5.5, 12],200);

 

 

%contour3(x,y,z)

 

%функционал

function y = phi(x)

                              y = (cos(x(1)-1)+x(2)-0.5).^2+(x(1)-cos(x(2))-3).^2;

endfunction;

 

%методЗейделя-Гаусса

functionXm = GaussSeidelMin(phi, x0, d, g)

% минимизацияпокоординатнымспуском (методГаусса-Зейделя)

% Xm - координтаыминимума

% phi - функциядвухпеременных, котойищетсяминиммум

% x0 - координатыначальнойточки

% d - точность

% g - постояннаяшага

k = 1; %Счетчикшагов

kmax =500; % Предельноечислошагов,

% задаетсядляпредотвращениязацикливания

% Массивыдляхраненияпромежуточныхкоординат

x1 = x0(1);

x2 = x0(2);

x1trace = [x1];

x2trace = [x2];

i = 2;

h = 1e-5; % приращениедлярассчетаградиентов

whilek<kmax

% Спускпопервойкоординате

gr1 = (phi(x1+h,x2)-phi(x1-h,x2))/(2*h); % производнаяпох1

x1 = x1 - g*gr1;

% Сохранениекоординат

x1trace(i) = x1;

x2trace(i) = x2;

i = i + 1;

% Спускповторойкоординате

gr2 = (phi(x1,x2+h)-phi(x1,x2-h))/(2*h); % производнаяпох2

x2 = x2 - g*gr2;

% Сохранениекоординат

x1trace(i) = x1;

x2trace(i) = x2;

i = i + 1;

% Проверкаусловияостанова

ifsqrt(gr1^2 + gr2^2) <= d;

break; % Выходизциклавслучаевыполненияусловия

end

k = k + 1;

end

Xm = [x1, x2]; % координатыминимума

ifk>= kmax

disp('Минимумненайден!')

disp('Изменитезначениешага')

end

k

endfunction;

function newton = Func(x)

                              newton = [0; 0];

                              newton(1) = cos(x(1)-1)+x(2)-0.5;

                              newton(2) = x(1)-cos(x(2))-3;

endfunction;

GaussSeidelMin(fq, [4,1.5], 1e-2, 0.3);

cur_x = [10; 10];

Eps = 1e-5;

delta = 0;

count = 0;

do

                              count++;

                              W = [-sin(-1+cur_x(1)), 4; 1.5, sin(cur_x(2))];

                              B = (-1)*Func(cur_x);

                              delta = inv(W)*B;

                              cur_x += delta;

until (max(abs(delta)) <Eps || count > 1000);

 

disp('МетодНьютона-Рафсона')

x

y

count

Вариант 1

 

 

Выполнил: Студентгруппы ИВТ-41-15

Агниашвили Д.В.

Проверила:Первова Н.В.

 

 

Чебоксары2017.

 

 

Задание на работу

 

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [x0, x1].

2. Найти корень заданного уравнения f(x)=0 с заданной точностью ε на заданном отрезке [x0, x1].

3. Привести расчёты параметров итерационного процесса для каждого шага алгоритма.

4. Решить исходное уравнение с помощью встроенной функции roots, fzero, sqp.

5. Сравнить результаты, полученные в п.2 и 4.

6. Записать в ответе только верные цифры

Алгоритм

График заданной функции

Значения параметров итерационного процесса для каждого