Уменьшение амплитуды свободных механических колебаний

I. Введение.

«Мир, в котором мы живем,

удивительно склонен к колебаниям…

                            Колеблются даже атомы,

  из которых мы состоим».

                                                                                                   Р.Бишоп

Колебательные движения широко распространены в окружающей жизни. Каждое тело порождает свою собственную уникальную частоту. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Колебательные движения тела обеспечивают перемещение змей, червей и гусениц. Благодаря колебаниям тела и плавников плавают рыбы, колебания ресничек вызывают движение инфузорий, а колебания крыльев птиц и насекомых позволяют им перемещаться в воздухе на большие расстояния.

Возникает проблема, каковы особенности свободных механических колебаний и какие факторы влияют на их период, частоту и степень затухания?

Недостаточность знаний по этому вопросу и желание понять особенности свободных механических колебаний обусловили выбор темы исследования «Изучение свободных механических колебаний на примере математического и пружинного маятников».

Объектом исследования являются свободные механические колебания

В качестве предмета исследования выступают характеристики колебательного движения — период, частота колебаний.

Целью исследования является

· определение периода и частоты свободных механических колебаний различных колебательных систем и экспериментальное их подтверждение

 

 

№ п/п	Задача	Мероприятие	Результат
1.	Изучить литературу по теме «Механические колебания»	Собрать теоретический материал по теме: «Свободные механические колебания»	Банк материалов Литература.
2	Проанализировать и обобщить материал по теме «Свободные механические колебания» и задачи на колебательные системы	Провести классификацию задач по степени сложности. Создать алгоритмы решения задач разных типов и разного уровня сложности по теме «Механические колебания»	Банк задач разной степени сложности по теме «Свободные механические колебания» Презентация с задачами и их решениями. Интерактивные тесты.
3.	Провести эксперимент по изучению свободных механических колебаний математического и пружинного маятников.	Провести сравнительный анализ результатов аналитически выведенных периодов колебаний с экспериментально измеренными периодами пружинного и математического маятника.	Обобщающие таблицы исследований. Фотографии. Рекомендации и приложения. Тексты задач.

Гипотеза исследования: возможно существует единое математическое описание различных колебательных систем и, зная законы колебаний, можно вывести формулы периода и частоты свободных механических колебаний различных колебательных систем и проверить их справедливость путем эксперимента в лабораторных условиях

В ходе работы мы использовали следующие методы:

· Теоретические (изучение, анализ, обобщение литературы);

· Эмпирические (наблюдения, экспериментальные измерения);

· Интерпретационные (количественная и качественная обработка результатов).

Новизной работы является решение нестандартных задач на колебательные системы с дальнейшим экспериментальным подтверждением некоторых из них.

Практическая значимость работы состоит в том, что продукт проекта «Свободные механические колебания» позволит моим сверстникам, сдающим физику в формате ЕГЭ

· разобраться в вопросах темы «Свободные механические колебания»;

·  научиться выводить формулы для расчета периода, частоты свободных колебаний для различных колебательных систем, встречающихся в жизни;

·  убедиться в справедливости математического описания колебаний путем экспериментальных исследований;

·  рассмотреть вопрос о свободных механических колебаниях более наглядно и убедиться в том, что эксперимент подтверждает теоретические выводы

Последовательный перечень этапов с их кратким содержанием и указанием времени, необходимого на их реализацию;

поисковый (октябрь - декабрь 2014)

Во время подготовительного этапа определили проблему, цель проекта, задачи проекта, составили план работы.

практический (январь – май 2015)

Подбор и изучение литературы по теме «Свободные механические колебания»», отбор типов задач разных уровней, обсуждение методов и приёмов их возможного решения. Решение задач разных уровней и экспериментальная проверка некоторых из них.

аналитический (сентябрь – декабрь 2015)

Классификация и систематизация. Оформление задач с использованием информационных технологий. Выработка алгоритмов их решения и рекомендаций. Подготовка презентации.

обобщающий (январь – февраль 2016) Проведение эксперимента в 11классе – практикума по решению задач. Анализ проведенной работы. Обобщение результатов. Формулировка выводов и рекомендаций по решению задач.

Заключительный (март 2016)

Подготовка к защите. Защита.

II Содержание проекта

 2.1. Теоретические основы механических колебаний

2.1.1. История изучения колебаний

Первыми учеными, изучавшими колебания, были итальянец Г. Галилей (1564—1642 гг.) и голландец Х. Гюйгенс (1629—1692 гг.). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрёл первые часы с маятником, и исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника. Исследование колебаний маятника, предпринятое Г. Галилеем и Х. Гюйгенсом, сыграло важнейшую роль в возникновении классической механики [4].

А. Н. Крылову принадлежат фундаментальные исследования по теории качки корабля. Большое значение в области изучения колебаний, в частности нелинейных колебаний, имели работы советских ученых Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и А. А. Андронова [4].

Работы А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина содержат математическую основу теории случайных процессов в колебательных системах, получившей важное практическое значение.

2.1.2. Понятие свободных механических колебаний

Движение, при котором состояния движущегося тела с течением времени повторяются, причём тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочерёдно в противоположных направлениях, называется механическим колебательным движением[7]. Каждый законченный цикл колебательного движения, после которого оно вновь повторяется в том же порядке, называется полным колебаниемтела [13].

Колебательный процесс может происходить в системе либо под действием внутренних сил, либо под действием внешних сил.

Колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил после того, как она была выведена из положения устойчивого равновесия, и происходящее за счёт расходования собственной энергии, которая в дальнейшем не пополняется, называются свободными колебаниями [7].

Частота, с которой совершаются свободные колебания, зависит от свойств колебательной системы и называется собственной частотойсвободных колебаний ω₀.

Условиями, необходимыми для возникновения свободных колебаний, являются:

· наличие положения устойчивого равновесия (ПУР), при котором равнодействующая сила равна нулю;

· При выведении из ПУР должна возникать равнодействующая сила, направленная к ПУР;

· Положение равновесия тело проходит вследствие инертности;

· Работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии [14].

Системы тел, способные совершать свободные колебания, называются колебательными системами,например пружинный маятник и математический маятник (рис. 2). Причинами свободных колебаний пружинного маятника являются сила упругости, возникающая при деформации пружины, и инертность шара. Причинами свободных колебаний математического маятника являются действие тангенциальной составляющей силы тяжести (появляющейся при отклонении от положения равновесия) и инертности маятника [7]

Математические колебательные системы: пружинный и математический маятники

Рис. 2

В природе и технике широко распространены гармонические колебания. Гармонические колебания — это колебания, происходящие под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению [6].

Свободные колебания с течением времени затухают (рис. 3), так как механическая энергия расходуется на совершение работы по преодолению силы сопротивления воздуха и превращается во внутреннюю энергию [11]. Чем больше сила сопротивлению движению, тем быстрее прекращаются свободные колебания. Например, в воде колебания затухают быстрее, чем в воздухе. Для того чтобы колебания были незатухающими, энергия колеблющегося тела должна пополняться за счёт действия внешней силы.

Рис. 3

Наличие силы вязкого трения приводит к уменьшению амплитуды колебаний (рис. 4).

Уменьшение амплитуды свободных механических колебаний при различных значениях коэффициента затухания

Рис. 4

Затухающие колебания механических систем используются в автомобильных амортизаторах, успокоителях стрелочных измерительных приборов, виброизолирующих опорах станочного оборудования и оптических стендов [2]. Простейшая техническая реализация состоит в осуществлении колебаний математического маятника в жидкой среде (вода, глицерин).

Для характеристики затухающих колебаний используются коэффициент затухания β, логарифмический декремент затухания λ [9].

Коэффициент затухания β отражает быстроту убывания амплитуды с течением времени и определяется по формуле:

,                                                   

β — коэффициент затухания, [β] =;

t — промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, [t] = c;

А₀ — начальное значение амплитуды колебаний, [А₀] = м;

А(t) — конечное значение амплитуды колебаний, равное  ,

[А(t)] = м;

ln — натуральный логарифм.

Интенсивность затухания (уменьшение амплитуды за один период) характеризует логарифмический декремент затухания. Логарифмический декремент затухания λ равен произведению коэффициента затухания и периода колебаний: λ = β ·T и не имеет единицы измерения, где λ — логарифмический коэффициент затухания;

β — коэффициент затухания, [β] = ;

Т — период колебаний [Т] = с.

2.1.3. Превращение энергии при механических колебаниях

При отклонении математического маятника от положения равновесия его потенциальная энергия в поле тяготения увеличивается, так как увеличивается расстояние от поверхности Земли. При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, его кинетическая энергия увеличивается. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения запаса потенциальной энергии маятника в результате уменьшения расстояния от поверхности Земли [12].

В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении становится равной нулю. При колебательном движении маятника всегда происходят периодические взаимные превращения его кинетической и потенциальной энергии (рис. 13).

Превращение энергии при колебаниях математического маятника

Рис. 13

Реальные механические колебания не происходят без потерь энергии. При любом механическом движении тел в результате их взаимодействия с окружающими телами часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и через некоторое время после начала колебаний маятник останавливается [7].

Затухание свободных колебаний приводит к уменьшению амплитуды колебаний, поэтому большее применение в жизни находят вынужденные колебания и автоколебания, которые не затухают. Однако, не зная законов по которым описываются свободные колебания, невозможно описать более сложные колебательные системы.

2.1.4. Колебания в неживой и живой природе

Вселенная находится в состоянии вибрации. Каждое тело порождает свою собственную уникальную частоту. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Звук — это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны — периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет — тоже электромагнитные колебания, только с другими длиной волны и частотой, чем радиоволны. Землетрясения — колебания почвы, приливы и отливы — изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны, биение пульса — периодические сокращения сердечной мышцы человека [1].

Вибрации — частный случай механических колебаний, представляющие собой относительно малые отклонения отдельных точек тела, например, фундамента здания, корпуса самолета, сидения автомобиля. Земля вибрирует в ритм Солнца. Данное колебание проявляется на Земле в геологических структурах, в магнитном поле, и её атмосфере. В земной атмосфере колебания принимают форму звуковых волн с очень низкой частотой колебания (100 — 5000 мкГц). Человек их не слышит, так как нижний порог слышимости человека составляет 16 Гц [15]. Колебания от Солнца передаются Земле по следующей схеме: возмущения, зарождающиеся в недрах Солнца, передаются солнечному магнитному полю, а далее солнечному ветру, который уносится в межпланетное пространство. При взаимодействии магнитного поля солнечного ветра с магнитным полем Земли, колебания Солнца передаются Земле.

Действие вибраций на человека различно. Оно зависит от того, вовлечён в него весь организм или часть организма, частоты, силы и продолжительности вибраций и может приводить как к негативным, так и к позитивным последствиям. Наиболее заметное негативное проявление вибрации происходит при пользовании транспортными средствами, промышленными механизмами и бытовыми приборами. Медицинскими исследованиями установлено, что длительные вибрационные нагрузки даже при слабом их уровне могут вызвать виброболезнь, поражающую нервную, сердечно — сосудистую и двигательную системы человека. Под действием вибрации рассеивается внимание, снижаются функциональные возможности человека, повышается его утомляемость. С точки зрения биомеханики человек представляет собой деформируемое тело, на которое действуют различные физические силы. При действии физических факторов за счет использования энергетических ресурсов и включения соответствующих мышц появляются физиологические реакции, стремящиеся восстановить первоначальное состояние [1].

Одним из широко известных последствий действия механических колебаний и вибраций, является укачивание, в процессе которого нарушается функционирование вестибулярного аппарата. Сильные формы укачивания сопровождаются головокружением, тошнотой, рвотой, пространственными иллюзиями, дезориентацией, и нарушением координации движений. Упрощенно вестибулярный аппарат можно представить в виде трех пустотелых колец неправильной формы. Кольца заполнены жидкостью. Когда человек наклоняется или кивает головой, жидкость по инерции давит на желеобразный клапан, пронизанный нервными окончаниями, которые подают мозгу информацию о характере движения. Поэтому при широком классе воздействующих на человека механических колебаний вестибулярный аппарат начинает подавать на вход нервной системы ложную информацию, не соответствующую характеру движений головы под действием заданной вибрации. Ложная вестибулярная информация вызывает болезненное состояние укачивания у человека, дезорганизует работу многих систем организма, нарушает четкость движений и пространственное восприятие. Установив это, ученые смогли усовершенствовать вестибулярные тренировки, имеющие большую практическую ценность.

В организме человека часто встречаются колебательные движения. Колебания в организме — это изменение температуры, давления, содержания элементов крови и других биологических жидкостей, механические смещения сердца, легких, грудной клетки в процессе жизнедеятельности организма, электрические колебания в органах и тканях при их возбуждении. Каждый внутренний орган человека имеет свою собственную частоту колебаний. Так, частота системы человека «брюшная полость — грудная клетка» лежит в пределах 40 — 60 Гц; резонанс грудной клетки при одномерных колебаниях наступает при частоте 4 — 8 Гц. Поэтому, если человек длительное время подвергается периодическому механическому воздействию, то вследствие резонанса его внутренних систем с внешними колебаниями может возникнуть плохое самочувствие, а при длительных и сильных воздействиях может наступить даже гибель. Возможность вредного влияния колебаний на организм, обусловленного резонансом, учитывается при конструировании машин, станков, автомобилей, тракторов. Принимаются специальные меры, чтобы избежать его [1].

Вибрация в небольшой степени и в небольших количествах оказывает положительное влияние на человека. Позитивным последствием вибрации на организм человека является ускорение восстановительных процессов у спортсменов после вибромассажа и повышение работоспособности людей, ведущих малоподвижный образ жизни. Специальный вибрационный массаж хорошо снимает мышечную усталость. Исследователи установили, что мышечная работоспособность у спортсменов не успевает восстанавливаться за 3 — 5 минут отдыха после тренировочных упражнений. Если же вместо пассивного отдыха на мышцу воздействовать вибрационным массажем, то через 3 минуты сила мышц восстанавливается. При малоподвижном образе жизни вибромассаж вызывает напряжение расслабленных мышц, повышает мышечный тонус, улучшает циркуляцию крови, и, в конечном счете, повышает работоспособность человека.

Колебательные движения тела обеспечивают перемещение змей, червей и гусениц. Благодаря колебаниям тела и плавников плавают рыбы, колебания ресничек вызывают движение инфузорий, а колебания крыльев птиц и насекомых позволяют им перемещаться в воздухе на большие расстояния (рис.14). При полете птиц, плавании рыб часть химической энергии организма переходит в механическую энергию крыльев, плавников, хвоста. Некоторые птицы для перелета затрачивают так много энергии, что при массе 150 г за 37 часов полета у них «сгорает» 18 г жира, что составляет  часть массы (Приложение 1)            

Вибрации воды, возникающие при движении в ней рыб, воспринимают многие обитатели водоемов, например, акула, может определить по ним местонахождение своей добычи. В результате эволюции и естественного отбора у животных выработался механизм автоматического сбоя ритма при движении, поэтому у животных не возникает резонанс внутренних органов при равномерном ритмичном движении.

Задача

 

 

В случае последовательного соединения сила упругости в каждой пружине равна силе тяжести (без учета веса самих пружин). Общее удлинение равно сумме удлинений каждой пружины:

Тогда эквивалентная жесткость равна

При параллельном соединении удлинение обеих пружин будет одинаковым, а полная сила упругости будет равна сумме сил, действующих в каждой пружине:

Отсюда находим эквивалентную жесткость для параллельно соединенных пружин:

Таким образом, период колебаний при последовательном соединении пружин равен

а в случае параллельного соединения:

Отсюда находим как изменится период колебаний при переходе от последовательного к параллельному соединению пружин:

Учитывая, что жесткость одной пружины в два раза больше жесткости другой, получаем:

Период колебаний ареометра

 

Задача

 

 

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Дано:
m r

T=?

На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы: сила тяжести и архимедова сила.

Если ареометр находится в равновесии, то приложенные к нему силы уравновешены.
mg = (1)
Чтобы начались колебания жидкость нужно вывести из положения устойчивого равновесия, вниз на X При этом возникнет равнодействующая сила за счет дополнительного погружения на X
(2)

Подставив (1) в (2) получаем:

 

F=ma

Мы видим, что на ареометр действует сила, пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, он совершает гармонические колебания, cогласно уравнению: 

 

Период колебаний льдины

Найти:d

Выведем формулу периода колебаний льдины с бароном, а потом найдем ее толщину.

Чтобы начались колебания льдина выводиться из положения устойчивого равновесия на величину Х вниз. Тогда возникает результирующая сила, обусловленная изменением силы Архимеда

 (1)

По второму закону Ньютона: (2)

Приравняем (1) и (2)                

= (3)

Найдем массу льдины: М=V=

 Где - толщина льдины, – площадь льдины

Подставим массу льдины в (3) и выразим ускорение

=

 

Знак минус указывает, что сила и смещение направлены в противоположные стороны.

Ускорение пропорционально Х это признак гармонических колебаний. Гармонические колебания описываются уравнением:

 

На самом деле есть сопротивление, поэтому колебания очень быстро затухают

I. Введение.

«Мир, в котором мы живем,

удивительно склонен к колебаниям…

                            Колеблются даже атомы,

  из которых мы состоим».

                                                                                                   Р.Бишоп

Колебательные движения широко распространены в окружающей жизни. Каждое тело порождает свою собственную уникальную частоту. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни. Колебательные движения тела обеспечивают перемещение змей, червей и гусениц. Благодаря колебаниям тела и плавников плавают рыбы, колебания ресничек вызывают движение инфузорий, а колебания крыльев птиц и насекомых позволяют им перемещаться в воздухе на большие расстояния.

Возникает проблема, каковы особенности свободных механических колебаний и какие факторы влияют на их период, частоту и степень затухания?

Недостаточность знаний по этому вопросу и желание понять особенности свободных механических колебаний обусловили выбор темы исследования «Изучение свободных механических колебаний на примере математического и пружинного маятников».

Объектом исследования являются свободные механические колебания

В качестве предмета исследования выступают характеристики колебательного движения — период, частота колебаний.

Целью исследования является

· определение периода и частоты свободных механических колебаний различных колебательных систем и экспериментальное их подтверждение

 

 

№ п/п	Задача	Мероприятие	Результат
1.	Изучить литературу по теме «Механические колебания»	Собрать теоретический материал по теме: «Свободные механические колебания»	Банк материалов Литература.
2	Проанализировать и обобщить материал по теме «Свободные механические колебания» и задачи на колебательные системы	Провести классификацию задач по степени сложности. Создать алгоритмы решения задач разных типов и разного уровня сложности по теме «Механические колебания»	Банк задач разной степени сложности по теме «Свободные механические колебания» Презентация с задачами и их решениями. Интерактивные тесты.
3.	Провести эксперимент по изучению свободных механических колебаний математического и пружинного маятников.	Провести сравнительный анализ результатов аналитически выведенных периодов колебаний с экспериментально измеренными периодами пружинного и математического маятника.	Обобщающие таблицы исследований. Фотографии. Рекомендации и приложения. Тексты задач.

Гипотеза исследования: возможно существует единое математическое описание различных колебательных систем и, зная законы колебаний, можно вывести формулы периода и частоты свободных механических колебаний различных колебательных систем и проверить их справедливость путем эксперимента в лабораторных условиях

В ходе работы мы использовали следующие методы:

· Теоретические (изучение, анализ, обобщение литературы);

· Эмпирические (наблюдения, экспериментальные измерения);

· Интерпретационные (количественная и качественная обработка результатов).

Новизной работы является решение нестандартных задач на колебательные системы с дальнейшим экспериментальным подтверждением некоторых из них.

Практическая значимость работы состоит в том, что продукт проекта «Свободные механические колебания» позволит моим сверстникам, сдающим физику в формате ЕГЭ

· разобраться в вопросах темы «Свободные механические колебания»;

·  научиться выводить формулы для расчета периода, частоты свободных колебаний для различных колебательных систем, встречающихся в жизни;

·  убедиться в справедливости математического описания колебаний путем экспериментальных исследований;

·  рассмотреть вопрос о свободных механических колебаниях более наглядно и убедиться в том, что эксперимент подтверждает теоретические выводы

Последовательный перечень этапов с их кратким содержанием и указанием времени, необходимого на их реализацию;

поисковый (октябрь - декабрь 2014)

Во время подготовительного этапа определили проблему, цель проекта, задачи проекта, составили план работы.

практический (январь – май 2015)

Подбор и изучение литературы по теме «Свободные механические колебания»», отбор типов задач разных уровней, обсуждение методов и приёмов их возможного решения. Решение задач разных уровней и экспериментальная проверка некоторых из них.

аналитический (сентябрь – декабрь 2015)

Классификация и систематизация. Оформление задач с использованием информационных технологий. Выработка алгоритмов их решения и рекомендаций. Подготовка презентации.

обобщающий (январь – февраль 2016) Проведение эксперимента в 11классе – практикума по решению задач. Анализ проведенной работы. Обобщение результатов. Формулировка выводов и рекомендаций по решению задач.

Заключительный (март 2016)

Подготовка к защите. Защита.

II Содержание проекта

 2.1. Теоретические основы механических колебаний

2.1.1. История изучения колебаний

Первыми учеными, изучавшими колебания, были итальянец Г. Галилей (1564—1642 гг.) и голландец Х. Гюйгенс (1629—1692 гг.). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрёл первые часы с маятником, и исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника. Исследование колебаний маятника, предпринятое Г. Галилеем и Х. Гюйгенсом, сыграло важнейшую роль в возникновении классической механики [4].

А. Н. Крылову принадлежат фундаментальные исследования по теории качки корабля. Большое значение в области изучения колебаний, в частности нелинейных колебаний, имели работы советских ученых Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и А. А. Андронова [4].

Работы А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина содержат математическую основу теории случайных процессов в колебательных системах, получившей важное практическое значение.

2.1.2. Понятие свободных механических колебаний

Движение, при котором состояния движущегося тела с течением времени повторяются, причём тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочерёдно в противоположных направлениях, называется механическим колебательным движением[7]. Каждый законченный цикл колебательного движения, после которого оно вновь повторяется в том же порядке, называется полным колебаниемтела [13].

Колебательный процесс может происходить в системе либо под действием внутренних сил, либо под действием внешних сил.

Колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил после того, как она была выведена из положения устойчивого равновесия, и происходящее за счёт расходования собственной энергии, которая в дальнейшем не пополняется, называются свободными колебаниями [7].

Частота, с которой совершаются свободные колебания, зависит от свойств колебательной системы и называется собственной частотойсвободных колебаний ω₀.

Условиями, необходимыми для возникновения свободных колебаний, являются:

· наличие положения устойчивого равновесия (ПУР), при котором равнодействующая сила равна нулю;

· При выведении из ПУР должна возникать равнодействующая сила, направленная к ПУР;

· Положение равновесия тело проходит вследствие инертности;

· Работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии [14].

Системы тел, способные совершать свободные колебания, называются колебательными системами,например пружинный маятник и математический маятник (рис. 2). Причинами свободных колебаний пружинного маятника являются сила упругости, возникающая при деформации пружины, и инертность шара. Причинами свободных колебаний математического маятника являются действие тангенциальной составляющей силы тяжести (появляющейся при отклонении от положения равновесия) и инертности маятника [7]

Математические колебательные системы: пружинный и математический маятники

Рис. 2

В природе и технике широко распространены гармонические колебания. Гармонические колебания — это колебания, происходящие под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению [6].

Свободные колебания с течением времени затухают (рис. 3), так как механическая энергия расходуется на совершение работы по преодолению силы сопротивления воздуха и превращается во внутреннюю энергию [11]. Чем больше сила сопротивлению движению, тем быстрее прекращаются свободные колебания. Например, в воде колебания затухают быстрее, чем в воздухе. Для того чтобы колебания были незатухающими, энергия колеблющегося тела должна пополняться за счёт действия внешней силы.

Уменьшение амплитуды свободных механических колебаний

Рис. 3

Наличие силы вязкого трения приводит к уменьшению амплитуды колебаний (рис. 4).

Уменьшение амплитуды свободных механических колебаний при различных значениях коэффициента затухания

Рис. 4

Затухающие колебания механических систем используются в автомобильных амортизаторах, успокоителях стрелочных измерительных приборов, виброизолирующих опорах станочного оборудования и оптических стендов [2]. Простейшая техническая реализация состоит в осуществлении колебаний математического маятника в жидкой среде (вода, глицерин).

Для характеристики затухающих колебаний используются коэффициент затухания β, логарифмический декремент затухания λ [9].

Коэффициент затухания β отражает быстроту убывания амплитуды с течением времени и определяется по формуле:

,                                                   

β — коэффициент затухания, [β] =;

t — промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, [t] = c;

А₀ — начальное значение амплитуды колебаний, [А₀] = м;

А(t) — конечное значение амплитуды колебаний, равное  ,

[А(t)] = м;

ln — натуральный логарифм.

Интенсивность затухания (уменьшение амплитуды за один период) характеризует логарифмический декремент затухания. Логарифмический декремент затухания λ равен произведению коэффициента затухания и периода колебаний: λ = β ·T и не имеет единицы измерения, где λ — логарифмический коэффициент затухания;

β — коэффициент затухания, [β] = ;

Т — период колебаний [Т] = с.

2.1.3. Превращение энергии при механических колебаниях

При отклонении математического маятника от положения равновесия его потенциальная энергия в поле тяготения увеличивается, так как увеличивается расстояние от поверхности Земли. При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, его кинетическая энергия увеличивается. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения запаса потенциальной энергии маятника в результате уменьшения расстояния от поверхности Земли [12].

В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении становится равной нулю. При колебательном движении маятника всегда происходят периодические взаимные превращения его кинетической и потенциальной энергии (рис. 13).

Превращение энергии при колебаниях математического маятника