![](/img/CyberPedia.jpg)
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
![]() |
![]() |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Решите уравнение
2. Найдите все целые числа , для которых
делится на
.
3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 15 минут?
4. Пароход прошёл 4 км против течения реки и затем ещё 33 км по течению, затратив на всё 1 час. Скорость течения реки 6,5 км/ час. Найдите скорость парохода в стоячей воде.
5. В кучке 2012 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?
Районная олимпиада 2012 9 класс
1. Может ли число делиться на 25 при каком-нибудь натуральном числе
?
2. На острове живут рыцари, которые говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?
3. В школе все учащиеся сидят за партами по двое. У 60% мальчиков сосед по парте тоже мальчик. У 20% девочек сосед по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся в этой школе составляют девочки.
4. Какое число надо вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы получить
?
5. В окружность данного радиуса R впишите трапецию с данным диаметром наибольшей площади.
Класс Районная олимпиада 2012
1. Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями.
2. В теннисном турнире принимают участие 12 участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными 6 игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.
|
3. На сторонах
и
треугольника
взяты точки
,
,
соответственно так, что радиусы окружностей с центрами
,
,
, вписанных в треугольники
,
и
, равны между собой. Докажите, что периметры треугольников
и
равны.
4. Может ли сумма 2012 последовательных натуральных чисел быть 2012-ой степенью натурального числа?
5. Решите систему
Класс Районная олимпиада 2012
1. Если простое число, где
натуральное число, то существует неотрицательное целое число
такое, что
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
3. Выпуклый четырёхугольник , у которого
, вписан в окружность. Зная длину
и угол
, вычислите его площадь.
4. У фальшивомонетчика в кошельке 40 внешне одинаковых монет, среди которых две фальшивые. Он знает, что фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих. Одинаково весят и все настоящие монеты. Фальшивомонетчик должен вернуть долг своему другу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь ему отобрать 20 настоящих монет?
5. Решите систему
Решения
8.1. Решите уравнение
♦
Так как
то
Ответ. 1.
8.2. Найдите все целые числа , для которых
делится на
♦ Так как
то если
делится на
то 2 делится на
. Приравнивая
к делителям числа 2, получим, что в целых числах имеет корни только одно уравнение
Ответ. 0; 1.
8.3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 15 минут?
♦ Запустим оба песочных часов. Через 7 минут начинаем отсчёт времени. Через 4 минуты перевернём вторые часы. Через 11 минут песок в них перетечёт вниз. 4 +11 = 15.
8.4. Пароход прошёл 4 км против течения реки и затем ещё 33 км по течению, затратив на всё 1 час. Скорость течения реки 6,5 км/ час. Найдите скорость парохода в стоячей воде.
♦ Если скорость парохода, то
Ответ.
км/ час.
8.5. 8.5. В кучке 2014 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?
|
♦ Ответ. Выигрывает начинающий. Тактика основана на том, что число 2012 делится на 4. Начинающий первым ходом берёт 2 камешка. Если второй взял один камешек, то он берёт 3. Если второй взял 2 камешка, то он берёт 2. Если второй взял 3 камешка, то он берёт 1. Настанет момент, когда второму камешек не достанется, а значит он проиграл.
9.1. Может ли число делиться на 25 при каком-нибудь натуральном числе
?
♦ Если , то
не делится на 5 и тем более на 25.
Если , то
делится на 5, но не делится на 25.
Если , то
не делится на 5 и тем более на 25.
Если , то
не делится на 5 и тем более на 25.
Если , то
не делится на 5 и тем более на 25.
Ответ. При любом натуральном числе число
не делится на 25.
9.2. На острове живут рыцари, которые говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?
♦ Ответ. Один. Если встретились 3 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 3 рыцаря, то оба ответа: «Два». Если встретились рыцарь и 2 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 2 рыцаря и лжец, то оба ответа соответствуют факту.
9.3. В школе все учащиеся сидят за партами по двое. У 60% мальчиков сосед по парте тоже мальчик. У 20% девочек сосед по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся в этой школе составляют девочки.
♦ Ответ. Мальчиков сидят с девочками 100% – 89% = 40% от числа мальчиков
Девочек с мальчиками 100% – 20% = 80% от числа девочек
Числа
и
равны, отсюда
Мальчиков в 2 раза больше. Девочки составляют одну треть от общего числа учащихся.
9.4. Какое число надо вычесть из числителя дроби и прибавить к знаменателю, чтобы получить
?
♦ Ответ. 437. По условию сумма 1000 числителя и знаменателя не изменится. Чтобы получить надо отнять от числителя 437 и соответственно прибавить к знаменателю.
9.5. В окружность данного радиуса R впишите трапецию с данным диаметром наибольшей площади.
♦ А н а л и з. Пусть трапеция удовлетворяет условию задачи,
На прямой
за точкой
возьмём точку
для которой
Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобокая;
и
треугольник
равнобедренный и площади треугольника
и трапеции
равны. Нетрудно доказать, что площадь треугольника
наибольшая, если угол
прямой. Поэтому
|
П о с т р о е н и е. Строим хорду На окружности берём точку
для которой
На окружности берём точку
для которой
и
параллельны. Четырёхугольник
искомая трапеция.
10.1. Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями.
♦ Если прямая при этом проходит и через вершины, то площадь каждой из частей составляет половину площади шестиугольника. Если прямая не проходит через вершины, то вместе с диагональю она отсекает от обеих частей равные треугольники. Следовательно, обе части разрезаются на соответственно равные фигуры, а значит площади частей равны.
10.2. В теннисном турнире принимают участие 12 участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными 6 игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.
♦ Ответ. . Перенумеруем игроков. Количество способов выбрать пару для первого игрока 11. Если пара с участием первого игрока выбрана, скажем, первый и второй, то для третьего игрока выбрать пару уже существует 9 способов и т. д. Надо разобраться теперь с тем, что числа 11, 9, 7, 5, 3 надо перемножать.
10.3. На сторонах
и
треугольника
взяты точки
,
,
соответственно так, что радиусы окружностей с центрами
,
,
, вписанных в треугольники
,
и
, равны между собой. Докажите, что периметры треугольников
и
равны.
♦ Обозначим через и
– точки касания первых двух окружностей с
, через
– точки касания этих окружностей с
и
соответственно, через
и
периметры треугольников
и
. Тогда
, т. е.
Сложив эти равенства, получим
10.4. Может ли сумма 2012 последовательных натуральных чисел быть 2012-ой степенью натурального числа?
♦ Ответ. Нет. Если то
Отсюда,
В равенстве
левая часть делится на небольшую степень 2, а правая на существенно большую. Противоречие.
10.5. Решите систему
♦ Преобразуем систему
|
После перемножения уравнений системы получим , откуда
Ответ.
11.1. Если простое число, где
натуральное число, то существует неотрицательное целое число
такое, что
♦ Предположим, что это не так. Если не является степенью двойки, то у этого числа есть нечётные делители, отличные от 1. В общем виде такое число представимо в виде
Тогда
Оба сомножителя отличны от 1, что означает, что число
составное, а по условию оно простое. Противоречие. Наше предположение неверно. У числа
нет нечётных делителей, отличных от 1. А таким свойством обладают только натуральные степени двойки.
Замечание. Задача входит в базу ЕГЭ. Для решения этой и некоторых других задач ЕГЭ надо заметить, что
и увидеть продолжение этого ряда формул для нечётных показателей.
11.2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
♦ Можно применить метод введения дополнительного угла. Если то
Из неравенств
следует, что
Ответ. наименьшее значение,
наибольшее.
11.3. Выпуклый четырёхугольник , у которого
, вписан в окружность. Зная длину
и угол
, вычислите
♦ На прямой за точкой
сделаем засечку
, для которой
Тогда
по двум сторонам
и углу между ними
Другими словами.
получается поворотом треугольника
вокруг точки
по часовой стрелке на угол
. Поэтому площади четырёхугольника
и треугольника
равны. Ответ.
11.4. У фальшивомонетчика в кошельке 40 внешне одинаковых монет, среди которых две фальшивые. Он знает, что фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих. Одинаково весят и все настоящие монеты. Фальшивомонетчик должен вернуть долг своему другу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь ему отобрать 20 настоящих монет?
♦ Образуем 4 кучки по 10 монет. Положим на чаши монеты первой и второй кучек. Если чаши уравновесятся, то либо все взятые монеты настоящие, либо в каждой из первой и второй чаш по одной фальшивой монете. Во втором взвешивании положим на чаши весов монеты второй и третьей кучек. Если чаши уравновесятся, то в них все монеты настоящие и он нашёл 20 настоящих монет. Если нет, то в третьей и четвёртой кучках все монеты настоящие, а в первой и второй чаше по одной фальшивой.
11.5. Решите систему
♦ Сложив уравнения, получим Откуда,
или
Осталось решить две системы
и
Ответ.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!