Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2022-09-15 | 23 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Оценка неизвестной вероятности случайного события
Задачи математической статистики связаны с неизвестностью распределения наблюдений. Но распределение — это совокупность вероятностей, поэтому начнем с оценки неизвестной вероятности.
Пусть A — случайное событие, p = P(A) — его неизвестная вероятность. Пусть проведено n испытаний этого события, n — количество появления события А, т.е. количество успехов. Рассмотрим в качестве оценки для p статистику
, (1)
где — относительная частота появления события А. случайная величина n распределена по биномиальному закону Bi (n, p), и потому
.
Это означает, что оценка несмещённая. Проверим состоятельность оценки:
,
где D — дисперсия. Т.е. оценка состоятельна.
Оценка неизвестной функции распределения. Основная теорема статистики
Пусть имеется выборка x1, ξ2…xn с неизвестной функцией распределения F (x). Построим оценку для F (x). Зафиксируем произвольное значение аргумента х. Значение F (x) в точке x есть вероятность события Ах= {x< х }, т.е. F (x) = P (A x). Несмещённой и состоятельной оценкой для вероятности P (A x) — она же и оценка для F (x) — является относительная частота (см. пример в п. 2.1):
= (x; x1, ξ2…xn), (2)
где nх — количество появления события Ах в n испытаниях, т. е. количество тех наблюдений x i в выборке, которые меньше х (xi < x). Случайная величина nх имеет биномиальное распределение Bi (n, F (x)) с параметрами n и F (x). Имеет место несмещённость:
Также справедлива состоятельность:
.
Итак, при любом х оценка (2) является несмещённой и состоятельной.
Функция ≡ (x | x1, ξ2…xn) называется ФУНКЦИЕЙ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (основное понятие семестра)
|
основная теорема статистики. Функция эмпирического распределения сходится (по вероятности) к истинной функции распределения:
≡ (x; x1, ξ2…xn) . (3)
Справедливость этого утверждения показана предыдущими соотношениями. График функции эмпирического распределения показан на рис. 1: кусочно-постоянная, делает скачок величиной 1/ n, когда аргумент x при его возрастании переходит выборочное значение.
Рис. 1. Функция эмпирического Заметим, что если в n точках x1, ξ2…xn
распределения на оси х поместить равные вероятности 1/ n, то получится некоторое дискретное распределение, называемое эмпирическим, и — его функция распределения. Ясно, что первые два момента этого распределения таковы:
, (4)
.
В этих равенствах учтено, что при кусочно-постоянной интегрирующей функции интеграл Стильтьеса превращается в сумму. Второй центральный момент эмпирического распределения:
. (5)
Статистика называется выборочным средним, а s2 — выборочной дисперсией.
Простейшие оценки моментов
Пусть имеется выборка x1,ξ2…xn. Функция распределения F (x) наблюдений нам неизвестна.
А. оценка математического ожидания.
По определению математическое ожидание (первый момент) есть
.
Подставим в интеграл вместо F (x) несмещенную и состоятельную оценку (x | x1, ξ2…xn). Получим (4):
Получили (4)-дисперсию эмпирического распределения
.
Рассмотрим эту статистику в качестве оценки для математического ожидания m 1. Проверим несмещённость:
.
Проверим состоятельность:
.
Таким образом, является несмещенной и состоятельной оценкой для математического ожидания.
Заметим, что замена истинного неизвестного нам распределения эмпирическим (или выборочным) приводит к состоятельным оценкам.
Кроме того, заметим, что проверка на несмещенность и состоятельность являются стандартными действиями
|
Б. Оценка дисперсии.
Дисперсия случайной величины, согласно определению:
.
Вместо неизвестных m 1 и F (x) подставим состоятельные оценки и .
Получили оценку s 2 для s2 (формула (5) выше):
s 2 = .
Проверим несмещённость, для чего сначала преобразуем выражение для s2:
s 2 = =
. (5а)
Здесь учтено, что . Определим математическое ожидание:
М s 2 ¹s2.
Оно не равно s2, и потому оценка смещенная. Ясно, что ее можно исправить, умножив s 2 на константу, обратную к коэффициенту при s2. Рассмотрим исправленную оценку
s 12 = s 2 = .
Эта оценка является несмещенной:
M s 12 = M s 2 = s2.
Обе оценки s 2 и s 12 являются состоятельными, что видно из (5а), используя свойства сходимости по вероятности, аналогичные свойствам сходимости числовых последовательностей.
В. Оценка моментов порядка k > 2.
Для начального момента порядка k > 2
mk = Mx k = ,
рассмотрим оценку, полученную заменой F (x) на (x | x1, ξ2…xn):
.
Она является несмещенной:
.
Можно показать, что оценка состоятельна, т.е.
.
Для центрального момента порядка k > 2
m k = M(x - m1) k = ,
рассмотрим оценку, полученную аналогично предыдущему:
.
Можно показать, что данная оценка состоятельна, т.е.
,
но несмещенной она не является. И исправить ее, аналогично выборочной дисперсии, умножением на коэффициент, зависящий от n, невозможно.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!