М3Дм ч.1 с.50 (Разветвлённый алгоритм)

Алгоритмическое предписание:

1. Прочитайте число из таблицы.

2. Умножьте на 12.

3. Если число <68,

4. То разделите на 3.

5. Иначе, разделите на 4.

6. Найдите в таблице букву, соответствующую вашему результату.

7. Запишите её в тетрадь.

8. Прочитайте получившееся слово.

 

 

 

5. Опишите методику обучения младших школьников решению комбинаторных задач. Какие способы решения комбинаторных задач вам известны из курса математики? Какими способами решения этих задач могут воспользоваться учащиеся начальных классов? Приведите примеры.  

Обучение решению комбинаторных задач проводится в три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотического перебора.

На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека). Например, для обеспечения мотивации решения комбинаторных задач можно предложить детям задачу-игру «День-ночь», «Башенки». Подобные игры с успехом можно проводить во время физминуток.

«Жизненные» задачи», показывающие возможность применения комбинаторики в повседневной деятельности человека также направлены на формирование простых мыслительных операций. Например, интерес у ребят вызывает следующая задача:

«У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?» В ходе решения задача обыгрывается: к доске вызываются 4 учеников, получающие модели купюр. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Вызываю «кассира» и даю ему «билеты»). Находим два возможных варианта решения: 1. – 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 2 – 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. Данные задачи могут предлагаться утомившимся учащимся в конце урока математики.

Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходить эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач.

2. Целью второго основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с новыми видами комбинаторных задач: задачами, решаемыми методом организованного перебора; с помощью таблиц; с помощью графов; с помощью дерева возможных вариантов.

При знакомстве школьников с ходом решения задач методом организационного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений.

Перед тем, как знакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач – с помощью таблиц, необходимо актуализировать знания детей о таблицах, выделить существенные признаки таблиц и сформулировать определение понятия «таблица», например такое: таблица – это перечень сведений, числовых данных, приведенных в определенную систему и разнесенных по графам (строкам и столбцам).

Примеры задач, решаемых с помощью таблиц:

«Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?»

ед. д.	1	2	3
1
2
3

Перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.

«Проверь, правильно ли заполнена таблица?»

ед. д.	5	9
2	25	92
7	75	97
1	15	91

 

Как и перед решением предыдущей задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.

«Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ. Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.»

При решении задачи сначала необходимо разгадать правило, по которому составлена таблица и заполнить ее до конца. Составленную таблицу соотнести с условием задачи. Далее обвести зеленым цветом только клетки, в которых показаны ручки разных цветов.

«В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем и отчеством?»

Для удобства записи данных в таблицу нужно подвести учеников к мысли о том, что имена и отчества можно записывать кратко, используя только первую букву имени и отчества.

 «В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ».

Эту задачу предлагаю учащимся в качестве домашнего задания. Таким образом, даю детям возможность самим составить и заполнить таблицу по аналогии.

При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками. Связи между объектами могут обозначаться линиями и стрелками, если нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов.

Новое для школьников понятие «граф» рассматривается на уроке помощью следующей задачи:

«Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?»

Сначала выясняем с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными).

Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет, составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом.

Далее учащиеся знакомятся с применением одной из разновидностей графа – деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.

С детьми выясняем, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов.

Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.

Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения комбинаторных задач в процессе овладения школьниками содержанием начального курса математики. На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой – осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

Процесс обучения начинается с решения простейших комбинаторных задач, направленных на развитие внимания, наблюдательности, умений анализа, синтеза, сравнения.

К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников.

Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления.

В качестве домашнего задания попросить детей попробовать самим составить комбинаторные задачи. Дети составляли их по аналогии с теми, которые решали в классе, например: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2,4,0, если цифры не повторяются? Если цифры повторяются?».

В 3 и 4 классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приёмы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Дети знакомятся с деревом возможных вариантов, когда способ перебора можно заменить схемой. Схему-дерево возможных вариантов можно располагать по-разному.

Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Серёжу, чтобы мальчики и девочки чередовались?

Сначала записываем все возможные варианты расположения детей на скамейке (перебор), потом заменяем схемой.

 

Можно сказать заполнить самостоятельно схему-дерево, если корень дерева расположен вверху.

Такие задачи решить самостоятельно дети затрудняются, поэтому решение задач – коллективное. Составляем таблицу, проводим наблюдения по условию и перебираем варианты.

В учебнике математики за 4 класс более часто встречаются задачи данного вида и решаются они на уроках с подробным разбором.

Большую роль в организации обучения детей решению комбинаторных задач играет процесс дифференциации заданий по уровню сложности. Для учеников, испытывающих особые трудности в решении комбинаторных задач, предлагаются дифференцированные по уровню сложности задания.

1. Сколько четырёхзначных чисел, в которых 6 тысяч, можно записать цифрами 6, 5, 2?

Пониженный уровень: Составить все возможные варианты записи этих чисел.
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.

2.В класс пришли четыре новых ученика: Коля, Вася, Саша и Петя. Как учитель может рассадить этих учеников за две свободные парты? Сколько вариантов выбора у него есть?

Пониженный уровень: составить все возможные варианты, пользуясь способом перебора.
Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.

 

 

Существуют следующие методы решения комбинаторных задач:

Метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления)

Табличный метод (здесь все условия вносятся в таблицу, возникает решение)

Дерево вариантов (дети получают начальные знания о графах)

Методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. В 1–2 классе решаются задачи с помощью перебора и таблиц, а в 3–4 с помощью построения дерева вариантов и графов, тем самым позволяя в основной школе при изучении некоторых тем теории вероятности использовать знакомые понятия и способы решения.

Комбинаторные задачи являются средством:

1. Реализации методической концепции, выражающей необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения программного содержания.

2. Овладения способом моделирования на доступном для младших школьников уровне.

3. Расширения у учащихся представлений о различных видах математических задач и способах их решения (перебор, таблицы, дерево вариантов)

4. Развития таких свойств мышления как гибкость, вариативность, креативность.

В конце изучения курса математики в начальной школе учащиеся владеют способами решения комбинаторных задач, умеют составлять математически.

Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор.

Рассмотрим одну из них.

Учащимся предлагается следующая проблема:

У тебя 60 рублей. Родители отпустили тебя в парк покататься на каруселях.

Предлагаются следующие расценки:

Вход в парк – 5 рублей

«Колесо обозрения” – 10 рублей

«Сюрприз – 35 рублей.

«Американские горки” – 45 рублей

«Комната смеха” – 25 рублей

Какой выбор ты сделаешь, если ни один из аттракционов нельзя посетить дважды?

Ребенок, анализируя задачу, приходит к построению такой математической модели:

Реальность – постановка условий – составление возможных вариантов – выбор варианта. Тем самым ребенок ставит следующие условия:

1. Ребенок должен войти в парк, потратить 5 рублей.

2. Стоимость всех посещенных аттракционов должна быть меньше, либо равна 55.

3. Ни один из аттракционов не должен быть посещен дважды.

Затем у ребят возникают следующие варианты.

Делая свой выбор, ребенок останется на конкретном варианте и воплощает его в реальности.

Система работы по обучению младших школьников решению комбинаторных задач складывалась в течение четырёх лет практической работы с данным видом задач и основана на анализе учебно-методических рекомендации учителей-исследователей, публикуемых в специальных методических изданиях.