История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2021-05-27 | 20 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл
равен длине кривой , т. е.
2. Пусть в плоскости задана гладкая кривая , на которой определена и непрерывна функция двух переменных . Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей и образующей, параллельной оси и заключенной между и поверхностью . Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле
3. Если - материальная кривая с плотностью, равной , то масса этой кривой вычисляется по формуле
.
4. Статические моменты материальной кривой относительно координатных осей и соответственно равны
, ,
где - плотность распределения кривой , а , - координаты центра тяжести (центра масс) кривой .
5. Интегралы
, ,
выражают моменты инерции кривой с линейной плотностью относительно осей , и начала координат соответственно.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
где - дуга параболы , заключенная между точками и (8,4).
Найдем дифференциал дуги для кривой . Имеем
,
Следовательно, данный интеграл равен
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
где - контур треугольника с вершинами , , (рис. 30).
Поскольку
то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков , и :
Рис. 30.
1) : так как уравнение прямой имеет вид , то . Учитывая, что меняется от 0 до 1, получим
2) : рассуждая аналогично, находим , , , откуда
3) : , , .
4) Окончательно
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
,
где - окружность (а >0).
Введем полярные координаты , . Тогда, поскольку , уравнение окружности примет вид , т.е. , а дифференциал дуги
При этом . Следовательно,
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными
|
где - дуга кривой, заданной параметрически , , , .
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной . Имеем для подынтегральной функции:
Теперь выразим через дифференциал :
Таким образом,
Пример 5. Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра , ограниченной снизу плоскостью , а сверху поверхностью
Искомая площадь вычисляется по формуле
где - окружность . Поверхность цилиндра и поверхность симметричны относительно координатных плоскостей и , поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях , , т. е. вычислить четверть искомой площади. Имеем
,
Следовательно,
Получим определенный интеграл, который вычисляем с помощью подстановки , откуда
, , .
Пример 6. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды , , .
Имеем , , где
, , .
Находим , и по отдельности: , ,
Следовательно,
.
Рис. 31.
Из рис. 31 видно, что циклоида симметрична относительно прямой , поэтому . Таким образом, учитывая равенство
,
получаем, что . Вычислим теперь :
Окончательно получаем:
, , , , .
Пример 7. Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат четверти окружности , , . Плотность распределения масс дуги постоянна и равна .
Данная кривая (четверть окружности) симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла. Тогда и одинаковы, т.е.
.
Переходя к параметрическим уравнениям окружности , , , откуда , получаем
Таким образом ,
Контрольная работа:
|
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!