Громадная дробь для упрощения

 

Число 48 можно исключить, разделив его на 6 × 4 × 2 в знаменателе:

 

 

Далее, 45 можно разделить на 5 × 3 (15), останется 3.

 

 

Таким образом, пример приобретает вид: 49 × 47 × 46 × 3 × 44. Калькулятор подтвердит, что в результате получится примерно 14 млн.

 

Считаем дроби методом шоколадки

 

Мудрец и верблюды

 

Секрет этой старинной загадки заключается в долях верблюжьего стада, назначенных отцом в наследство каждому сыну. Простейший способ разделить верблюдов – выделить каждому сыну по одной третьей части, и тогда, разумеется,

Кроме того, отец мог бы раздать верблюдов так:

или множеством других способов. Но, как бы он их ни разделил, все дроби в сумме должны были бы дать единицу.

Посмотрим, что на самом деле завещал старик:

 

 

Чтобы сложить эти три дроби, мы должны найти для них общий знаменатель, в данном случае 18. В восемнадцатых долях сыновья старика получают следующие доли:

 

 

Сложим все доли вместе – и заметим необычный факт: 9 + 6 + 2 = 17. Получается, что отец раздает не всех своих верблюдов, а лишь

от них! А попытка найти

от 17 верблюдов порождает только путаницу, на самом деле это

а

одного верблюда вообще не рассматривается.

Когда мудрец одалживает братьям своего верблюда, всего животных получается 18; это означает, что сыновья должны получить

от 18, то есть как раз 17 верблюдов, о которых идет речь с самого начала. Теперь мудрец может забрать своего верблюда. Все довольны.

 

Проценты

 

1. 33 от 220 – то же, что 3 от 20, или 15 %.

2. 40 % от £45 это то же, что 0,4 × 45, или £18. Таким образом, распродажная цена равна £45 – £18 = £27.

3. Большинство взрослых инстинктивно считают, что лучше сначала добавить НДС и лишь затем считать 10 % от более высокой цены – ведь тогда и скидка будет больше. Верный ответ, однако, состоит в том, что нет никакой разницы, в каком порядке производить расчет! Хотя это, возможно, с первого взгляда не очевидно, но, если подумать, то сделать 10 %-ную скидку с цены – то же самое, что умножить цену на 0,9. Добавить 20 % НДС – то же, что умножить цену на 1,2. Так что это хороший пример того, что при перемене мест сомножителей произведение не меняется (см. «Почему 3 × 7 равно 7 × 3» в главе «Простое умножение и таблицы»). Цена × 0,9 × 1,2 – все равно что Цена × 1,2 × 0,9. Ну хорошо, так говорит математика, но если вас все это сбивает с толку, то вы далеко не одиноки. Многим взрослым обязательно нужно убедиться в правильности подобных утверждений с помощью калькулятора, прежде чем поверить в них.

 

Геометрические фигуры, симметрия и углы

 

 

Пол, выложенный плиткой

 

Вам потребуется плитка всего трех цветов. Мы обозначили эти цвета как А, B и C.

 

 

Обратите внимание: плитки во всех направлениях образуют упорядоченные последовательности ABC, ACB и т. д.

 

Странная развертка

 

В сложенном состоянии эта развертка образует треугольную призму, напоминающую кусок сыра.

 

 

Прямоугольный треугольник

 

Припаркованный автомобиль

 

Угол, образуемый самим автомобилем, составляет 90°, а в сумме три угла дают 180°. Таким образом, A = 180 – 90 – 65, или 25°.

 

Палочки для коктейля

 

Уберите «заднюю ногу» и придайте рисунку симметричную форму, напоминающую бокал для вина.

 

 

Где квадрат?

Измерение

 

 

Головоломка с часами

 

Стрелки часов располагаются под прямым углом друг к другу в 3 часа и в 9 часов – это два самых простых и самых заметных случая. Возможно, дети подумают также о положении стрелок в четверть первого (12:15), но будьте осторожны: это не совсем прямой угол, поскольку часовая стрелка при этом показывает не строго вверх, она уже прошла четверть пути от 12 до 1. Но вскоре после 12:15 (незадолго до 12:17, если быть точными) наступит момент, когда между стрелками действительно будет прямой угол. Та же ситуация возникнет вскоре после 1:20, 2:25 и т. д. Сосчитайте такие случаи аккуратно и обнаружите, что существует 11 моментов, когда минутная стрелка на четверть оборота обгоняет часовую, и столько же моментов, когда она на четверть оборота отстает от часовой. Всего, следовательно, насчитывается 22 момента, когда угол между стрелками прямой.

 

Печем пирог

 

Пирог будет готов в 18:10. (Если вы сообразите, что 90 мин. составляют полтора часа, разобраться в ситуации будет проще.)

 

Шкала времени

 

Периметр

 

Сначала выясните, что сторона каждого из квадратов равна 5 см. После этого определите путем подсчета, что периметр состоит из 14 таких сторон; следовательно, длина периметра равна 70 см.

 

 

Загадочный квадратик

 

Если присмотреться, диагональная линия, идущая из части A в часть D в нашем прямоугольнике, не является прямой, а имеет легкий излом. Более того, на самом деле эта диагональ представляет собой длинный тонкий параллелограмм, площадь которого в точности равна единице.

 

 

Статистика и вероятность

 

 

Диаграмма Кэрролла

 

Какой вид спорта?

 

Бег на 100 м: бегун стартует медленно, стремительно набирает скорость, достигает максимальной скорости и сохраняет ее некоторое время, пересекает линию финиша, очень быстро замедляется и переходит на шаг.

 

Круговая диаграмма

 

1. 25 % выбрали компьютер.

2. Восемь детей выбрали спорт. (Если десять детей выбрали компьютер, то мы знаем, что это составляет 25 % от полного числа детей. Чтение и спорт вместе также составляют 25 %, то есть 10 детей, поэтому если два ребенка выбрали чтение, то восемь должны были выбрать спорт.)

3. 25 % – это десять детей, поэтому 100 % – 40 детей.

 

Играем в кости

 

Упорядочим результаты бросков: 2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 11, 11.

Медианное значение – 6,5 (посередине между 6 и 7); среднее – 6,9 (69: 10), а моды здесь две, 6 и 11, поскольку каждое из этих значений появляется дважды.

 

Математика с калькулятором

 

 

С чего начнем?

 

а. 16

б. 161

в. 22

 

Последовательные числа

 

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти квадратный корень из 4692 – он равен приблизительно 68,4. Два последовательных числа должны располагаться по обе стороны от 68,4; иными словами, это 68 и 69. Перемножим их между собой, чтобы убедиться, что ответ действительно получится 4692.

 

Глоссарий

 

Большинство терминов, встречающихся в этой книге, относятся к повседневным понятиям, и было бы странно, если бы ими не пользовались в домашних разговорах. Это «наибольший», «остаток», «четверть часа», «отражение», «пирамида», «литр» и др. Но даже многие «специальные» математические термины – такие как «вертикальный» и «горизонтальный», «пятиугольник», «возрастающий» или «приблизительный» – обычно настолько привычны и знакомы, что родителям не составляет труда объяснить их своему ребенку.

Существуют, однако, и слова, точное значение которых вы вполне могли забыть, а некоторые даже могут оказаться для вас новыми. Именно такие термины мы включили в этот глоссарий. Мы отказались от строгих математических определений и предпочли им объяснения попроще, более подходящие для бытовой жизни. Если вы не можете найти в глоссарии то или иное слово, значит, мы посчитали, что оно достаточно известно или не относится к тем терминам, которое должны в принципе знать учащиеся начальной школы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Благодарности

 

Это книга никогда не смогла бы появиться на свет без помощи множества отцов, матерей, учителей и детей, которые поведали нам, что значит для них математика и какие проблемы в первую очередь связаны с ее изучением. Мы благодарны учителям и родителям школы Св. Катерины в Блетчинли, школы Хебер в Ист-Дулвиче и школы фонда Эндрю в Холиберне, добровольно поделившимся с нами своим личным опытом. Огромная благодарность учителям начальной школы города Ливерпуля, рассказавшим нам множество чудесных добрых анекдотов из школьной жизни. Особая благодарность Стефани Гибсон, Эмили Джойс и Элен Стэндиш, которые позволили нам опробовать на себе значительную часть наших придумок, да еще в будние вечера, когда они имели полное право заняться чем-то более похожим на отдых, чем решение тестов для одиннадцатилеток.

Спасибо также Теду Декстеру, Ривке Розенберг, Майку Туэру, Эндрю Майлиусу, Хелен Лоув, Хелен Портер, Дженни Джоунз, Филу Ризу, Шарлоте Ховард, Челси Фокс, Шону Флинну, Эндрю Каннингему, Мэнди Фрешуотер, Бу, Патрисии Рейд и всем, кого мы по невнимательности забыли упомянуть.

Из детей, помогавших нам, особой благодарности – за безупречную работу – заслуживают Уильям, Джорджия и Дженна; есть также много других, кто дал нам немало пищи для размышлений (анонимность этих детей мы нарушать не будем).

Некоторые из использованных в книге примеров взяты непосредственно из работ ведущих специалистов в этой области. Мы хотели бы поблагодарить: Мартина Хьюза из Эксетерского университета, Малькольма Суонна из Ноттингемского университета и Нэн Флауэрдью.

И, наконец, спасибо нашему чудесному редактору Розмари Дэвидсон, которая так старалась, чтобы мы рассмотрели именно те вопросы, которые больше всего беспокоят родителей. Спасибо также Питеру Уорду за усилия по верстке, далеко выходившие за пределы того, что обусловлены его должностными обязанностями.

 

[1] Истуэй Р., Эскью М. Математика с удовольствием. – М.: КоЛибри, 2017.

 

[2] В русском же языке совершенно непонятно, откуда берется «сорок» наряду с «двадцать» и «шестьдесят». Мы говорим «пять-десят четыре» и «восемь-десят восемь», – так по какой же причине вместо «два-дцать три» мы не используем «два-десят три», а вместо «девя-но-сто шесть» – «девять-десят шесть»? – Прим. пер.

 

[3] В методике преподавания математики в российских школах этому понятию примерно соответствует «состав числа». То и другое можно представить в виде таблицы сложения, аналогичной всем известной таблице умножения. – Прим. ред.

 

[4] Авторы, строго говоря, предлагают сделать наоборот: никогда не использовать слово «минус» для обозначения состояния. Однако в русском языке вариант «отрицательное два» вместо «минус 2» кажется чужеродным, зато вариант замены «минуса как действия» словом «вычесть» используется довольно часто. – Прим. пер.

 

[5] Здесь форма записи при делении уголком соответствует той, что принята в Великобритании и США: делитель слева от делимого, частное над делимым. – Прим. ред.

 

[6] В русском языке в таких случаях может использоваться просто родительный падеж. – Прим. пер.

 

[7] В Великобритании. В других местах часы должны быть установлены на среднее солнечное время данной местности. – Прим. пер.

 

[8] В русском варианте: П («Поместить в память»), П+ («Прибавить к содержимому памяти»), ИП («Извлечь из памяти»), СП («Сброс памяти»).