Линейные свойства сх. рядов:

Вопрос 1

Опр.  наз. числовой ряд.

;  – n-ый член ряда.

 – n-ая частичная сумма;  – последовательность частичных сумм

Опр. Если  наз. сх-ся, а S наз. его суммой: .

Если  наз. расх-ся, . Если , то  наз. расх-ся.

Линейные свойства сх. рядов:

1.

2.

 

Сочетательное свойство

 

, т.е.

Скобки можно расставлять только в сходящемся ряде!!!

 

 двусторонняя связь между рядами и последовательностями

 

Вопрос 2

(Критерий Коши для посл-ти)

Посл-ть .

(Критерий Коши для рядов)

Ряд .

Утв. (Необх. признак сх-ти ряда) Пусть

Док-во: ;

Знакоположительные числовые ряды

Опр.  наз. знакополож., если .

Т1.  – сх.  – огр. сверху, при этом

Док-во:  по теор. для посл. (1 сем.)

 

Вопрос 3

Т2. (Признак сравнения)

1.  сх.

2. расх.  расх.

Док-во:

1.  

2.  сх. Тогда по св-ву 1  тоже сх., но по усл.  расх.  противоречие  расх.

Сл. (Признак сравнения в предельной форме)

 сх. или расх. одновр.

Док-во:

 

 Предп., что  сх.  тоже сх.  сх.

Пусть  расх. тоже расх.  тоже расх.

Аналогично для сх. и расх. .

 

Вопрос 4

Т3. (Интегральный признак Коши-Маклорена)

 сх. или расх. одновременно.

Док-во:

 

 

 

 

Если ряд сх., то  имеет огр. сверху част. суммы огр. сверху той же суммой сх. Если ряд расх., то  не огр. сверху,  тоже не огр. расх.

Если сх., то  огр. сверху  огр. сверху  ряд сх. Если расх., то  не огр. сверху  не огр. сверху  не огр. сверху  ряд расх.

Вопрос 4

Т4. (Признак Даламбера)

1.

2.  расх.

Док-во:

1.  

 сх.

2.

 расх.                                                      

Сл. (Признак Даламбера в пред. форме)  

Док-во:

q<1

q>1

Вопрос 6

Т5. (Радикальный признак Коши)

1.  сх.

2.  расх.

Док-во:

1.  сх.

2.  расх.

Сл. (Радикальный признак Коши в пред. форме)

Док-во:

q<1 (крайняя правая пред. точка) Правее q+  нах. конечное число точек посл-ти. Если бы там было бескон. число точек, то м.б. бы выбрать сх. посл-ть и она лежала бы правее q, но q – верхний предел. Следовательно, противоречие.

 сх.

 

 расх.

Вопрос 7

Т6. (Специальный признак сравнения)

1.  сх.

2. расх.  расх.

Док-во:

 

Т7. (Признак Раабе)

1.  сх.

2.  расх.

Док-во:

1. , т.е.

, т.е.

 

 по Т6 (спец. признак сравнения)  сх.

2.  по Т6 (спец. признак сравнения)  расх.

Сл. (Признак Рабье в пред. форме)

Док-во:

r – конечное число

 

 сх. по т. Раабе

 расх. по Раабе

 сх. по т. Раабе

 расх. по т. Раабе

Т8. (Признак Гауса)

1.

2.

3.

4.

(Без доказательства!)

Связь признаков Даламбера, Раабе и Гаусса

Вопрос 8

Знакопеременные числовые ряды

 

Опр.  наз. абс. сх-ся, если  сх.

Т1. Если  сх.  сх.

Док-во:

Опр. Если  сх., но  расх., то  наз. усл. сх-ся.

Вопрос 9

Т2. (Признак Лейбница)  сх.

Док-во:  

Сл. (Оценка остатка знакочер. рядов)

Док-во:

                                         

 

Вопрос 10

Преобразование Абеля

 

 

 

Т3. (Признак Дирихле)  имеет огр. част. суммы  сх.

Док-во: Пусть

Вопрос 11

Преобразование Абеля

 

 

 

Т4. (Признак Абеля)  сх.

Док-во:

 

 

Вопрос 12

Методы суммирования

Опр. . Если  метод суммирования.

 – обобщ. сумма

Методы суммирования (примеры):

1.

2. T

3. T

4.   (метод ср. арифм.)

Опр. Метод суммирования Т – линейный, если

 

Опр. Метод суммирования Т – регулярный, если

Опр. Регул. Т – вполне регулярный, если

Метод средних арифметических линеен

Установим, что метод средних арифметических регулярный

 

 

 метод ср. арифм. рег.

Установим, что этот же метод вполне рег.

 

 метод ср. арифм. вполне рег.

Метод ср. арифм. 2-го пор-ка сильнее, чем метод ср. арифм. 1-го пор-ка.

Вопрос 13

Равномерная сходимость.

 – определение сх-ти в каждой точке мн-ва Х (поточечная сходимость).

Опр.  равн. сх. на мн-ве Х к f(x), если

Обз. (x) ⇉ f(x) на Х

Если (x) ⇉ f(x) на Х ⇒ (x) → f(x) ∀х∈Х

Отрицание равн. сх. (x) ⇉ f(x) на Х, если

Равномерная сходимость ряда – равномерная сходимость последовательности его частичных сумм:

Связь поточечной и равн сх

(?)Отсутствие равномерной сх-ти к поточечному пределу означает отсутствие равномерной сходимости вообще, как как если бы (x) ⇉ g(x) f(x) на Х, то и  для всех    

Вопрос 14

Вопрос 15

Вопрос 16

Т2’. (Критерий Коши равномерной сх-ти функц. рядов)

↔ (без док-ва)

Т2’’. (Необходимый признак равномерной сх-ти функц. рядов)

 след.  

Док-во:

 

 

 

 

Вопрос 17

Т3. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти функц. рядов)

 

Док-во:

 

 

Вопрос 18

Т4. (Признак Дирихле)

 след.

Док-во:

 

 

Вопрос 19

Т5. (Признак Абеля)

 

 

Док-во:

 

 

 

Вопрос 20

Т1. (О предельном переходе)

(x) ⇉ f(x) на Х,

Док-во:

 

 

 

 

Т1’.

 

____________________________

 

 

 

Вопрос 21

Т2(Непр. пред. ф-ии функц. посл. в точке).

 

Т3.  

Док-во: применим Т2 для каждой точки

След.

Т2’.(Непр. суммы функ. ряда в точке)

 

Т3’.(Непр. суммы функ. ряда на отрезке)

Вопрос 22

Т4.(Дини)  

Док-во:

 

 

 

 

Т4’.(Дини для рядов)  

Вопрос 23

Вопрос 24

Вопрос 25

Степенные ряды

Опр. Ряды вида

 

    

Т1. (Первая теорема Абеля)

Пусть

Док-во:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос 26

Т2. (Коши-Адамар)

 

Док-во:

1.  

 

2.  

 

3.  

 

 

Вопрос 27

Т3. (О равномерной сходимости степенных рядов)

 

Док-во:

 

  Т4. (О непрерывности суммы степенного ряда)

 

Док-во:

 

Т5. (Теорема единственности для степенных рядов)

 

 

 

 

Док-во:

 

 

 

   

Вопрос 28

Т6.

 

Док-во:

Т7.

Док-во:

 

 

Т8.(Вторая теорема Абеля)

 

 

Док-во:

 

Вопрос 29

Т9.(Почленное диффер-е степенного ряда)

 

 

Док-во:

 

 

Т10.(О почленном инт.  степ. ряда)

 

       

Док-во:

 

 

 теореме о равн. сх-ти степенного ряда

 его можно интегрировать для

Если о поведении степенного ряда на концах интеграла сх.  ряд можно интегрировать

Вопрос 30

Биноминальный ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 знакополож., нет абс. сх. расх.

 

 

 

 

Вопрос 31

 

 

 

 

......................................................................

 

 

 

  

 

Опр. Если ф-ия  явл. суммой своего ряда Тейлора, то  аналитическоя ф-ия (рассм. ф-ия должна сх. в рассм. окр-ти к )

Формула Тейлора (в т.         

Остаточные члены:

1)

2)  

(Если остаточный член → 0, то значение формулы → . Если остаточный член равномерно → 0, то значение формулы равномерно → )

Убедимся, что 5 осн. разл. – разл-ся аналит. ф-ий.

1.

Получим ряд:

 

Алгоритм: 1) нашли производные

2) построили ряд

3) уст., что ряд сх.

! 4) не факт, что он сх. именно к

5) установим сх. ряда к

Запишем ост. член в форме Лагранжа:  

 

 

 

 

2.  (установить сам-но)!!!

3.  (установить сам-но)!!!

 

Вопрос 32

 

 

 

 

......................................................................

 

 

 

  

 

Опр. Если ф-ия  явл. суммой своего ряда Тейлора, то  аналитическоя ф-ия (рассм. ф-ия должна сх. в рассм. окр-ти к )

Формула Тейлора (в т.         

Остаточные члены:

1)

2)  

(Если остаточный член → 0, то значение формулы → . Если остаточный член равномерно → 0, то значение формулы равномерно → )

4.

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

5.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·  

·

 

Надо куда-то вставлять ли?

Пример

 

1. |q|<1;  сх.

2. q>1;  расх.

3. q<-1;  расх.

4.  расх.

5.  расх.

Пример

- гармонический ряд

 – расх.

 

Пример

Ряд Лейбница

 расх.

Примеры

 

 оба ряда сх. абс.

 

 сх. усл. (по Дирихле)

 

 

 

 

Суммирование:

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

X =

1.        ⇉

2.   ⇉

3.   ⇉

4.   ⇉

x ≠ 0   

5. ⇉

x ≠ 0

 

· Установим, что в примере 1 (x) ⇉ f(x)

∃ε

· Установим, что в примере 2 (x) ⇉ f(x)

∃ε

· Установим, что в примере 3 (x) ⇉ f(x)

∀ε

 

· Установим, что в примере 4 (x) ⇉ f(x)

∃ε

· Установим, что в примере 5 (x) ⇉ f(x)

∃ε

Применим эту теорему для 5 примеров.

1. след.   ⇉

2. след.   ⇉

3.   

при    ⇉

4.

5.

при

Пример. Ряд Лейбница 1

 

 

 

 

 

 

Предположим, что ⇉ есть, перейдем к пределу , каждый член ряда исх. стр. к соотв. члену другого ряда. Но этот другой ряд не обл. ⇉, след. исх. ряд тоже не обладает ею.

,+∞)

                                                  Рассм. этот ряд не на всем мн-ве, а только на

 

 

          след.  ⇉  на  (по Вейерштрассу) 

След. след.  непр. при (

! Установим отсутствие равн. сх., а затем исп-я равн. сх. докажем непр-ть.

Установим дифф-ть.