Уравнение свободных колебаний пружинного маятника.

  Дифференциальное уравнение.

3

Математический маятник. Период колебаний математического маятника, уравнение колебаний математического маятника

 

Математи́ческий ма́ятник — называют материальную точку, совершающую колебания на невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен.

 

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

где ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; где L ― длина подвеса,  g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

Приведённые уравнения предполагают, что потерь энергии в системе нет.

4

Зависимость проекции скорости от смещения для материальной точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси ОХ. Построить график.

 

5

Зависимость проекции ускорения от смещения для материальной точки, совершающей гармонические колебания вдоль оси ОХ. Построить график.

Смотрите выше.

6

6. Энергия гармонических колебаний. Графики W(t), W_пот(t), W_кин(t). Физический маятник. Приведенная длина физического маятника.

Кинетическая и потенциальная энергия гармонических колебаний

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания:

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания (под действием квазиупругой силы): Учитывая, что можно записать:  .

Полная энергия гармонических колебаний равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии:

.

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы, а с ней и амплитуда колебаний не меняются. При движении тела кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия потенциальная энергия достигает минимума, а кинетическая энергия (а с ней и скорость, импульс тела) максимальна.

Физическим маятником называют подвешенное на нити или закрепленное на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести.

 — приведенная длина физического маятника. Где I — момент инерции относительно точки подвеса, m — масса, a — расстояние от точки подвеса до центра масс.

приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

7