Тема 3. Следствия теорем сложения

И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

3.1. Формула полной вероятности [3]

 Пусть события Н ₁, Н₂, …, Н _n несовместны и единственно возможны, т. е. они образуют полную группу событий, тогда:

               Р (Н ₁) +  Р (Н ₂) + … + Р (Н _n) = 1.   

                

     Интересующее нас  событие А может наступить лишь совместно с одним  из этих событий Н _i (i =1,2 … n), называемых гипотезами. 

     Пусть известны вероятности гипотез Р (Н _i) и условные вероятности события А при наступлении каждой из гипотез: (A), где   i = 1, 2 … n. В таком случае вероятность появления события А определяют с помощью теорем сложения вероятностей для несовместных событий и умножения вероятностей для зависимых событий:

Р (А) = Р (Н ₁ и А или  Н₂ и А или … или   Н _n и А) =  

= Р (Н ₁)· (A) + Р (Н ₂)· (A) + … + Р (Н _n)· (A).

Это формула полной вероятности. Ее короткая запись:

 

      Пример 1. В торговую фирму поступают однотипные изделия от трех поставщиков. Первый поставляет 40% всей продукции, второй 35%, а третий 25%. Практика показала, что у первого поставщика бракованных изделий 2%, у второго 1%, а у третьего 3%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным.

    Решение. Обозначим событие А – взятое изделие бракованное,

– гипотеза Н ₁ – изделие поступило от первого поставщика;

– гипотеза Н ₂ – изделие поступило от второго поставщика;

 – гипотеза Н ₃ – изделие поступило от третьего поставщика.

По условию задачи:     Р (Н ₁) = 0,40;   (A) = 0,02;

        Р (Н ₂) = 0,35;   (A) = 0,01;

        Р (Н ₃) = 0,25;   (A) = 0,03.

Отметим, что   Р (Н ₁) + Р (Н ₂) + Р (Н ₃) = 0,40+ 0,35+ 0,23 = 1.

Тогда     Р (А) = Р (Н ₁)· (A) + Р (Н ₂)· (A) + Р (Н ₃)· (A) =

                 = 0,40· 0,02 + 0,35· 0,01+ 0,25· 0,03 = 0,019 (1,9%).

 

Формула Байеса

     Пусть событие А, которое может появиться только с одной из гипотез Н ₁, Н ₂ … Н _n, образующих полную группу событий, уже произошло. Какова вероятность того, что событие А наступило с гипотезой Н _i? Таким образом, нужно найти условную вероятность Р_А (Н _i).

     По теореме умножения вероятностей для зависимых событий, вероятность совместного появления событий А и Н _i можно записать в двух формах:

                         Р (А)· Р_А (Н _i) = Р (Н _i)· (A).

 Разделив обе части этого равенства на Р (А), получим:

 

Р_А (Н _i) =  , i = 1, 2 …   n.

     Это и есть формула Байеса. В ее знаменателе –  формула полной вероятности:

Р (А) = Р (Н ₁)· (A) + Р (Н ₂)· (A) + … + Р (Н _n)· (A),

а в числителе – одно из слагаемых этой формулы.

 Формула Байеса называется формулой уточнения гипотез. Она дает возможность для переоценки вероятностей гипотез Н _i в новых условиях, когда событие А уже произошло. Причем свойство вероятностей гипотез Р (Н ₁) +  Р (Н ₂) + … + Р (Н _n) = 1 сохраняется, т. е. Р_А (Н ₁) + Р_А (Н ₂)+ … + Р_А (Н _n) = 1.                  

     Пример 2. Для предыдущей задачи о трех поставщиках изделий при условии, что взятое изделие оказалось бракованным, найдем вероятность того, что оно поступило от второго поставщика.

    Решение. Вероятность события А – взято бракованное изделие – определена в примере 1 по формуле полной вероятности:            Р (А) = 0,019.  Возьмем второе слагаемое этой формулы, т. к. речь идёт о втором поставщике. Тогда по формуле Байеса получим: 

Р_А (Н ₂) =  =  ≈ 0,184.

     Ранее Р (Н ₂) = 0,35. Условная вероятность гипотезы Н ₂ уменьшилась до 0,184, т. к. второй изготовитель поставляет изделия с наименьшим процентом брака.

 

Решение типовых задач [7]

     Задача 1. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором –  30, из них 24 стандартных; в третьем – 10, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь из наугад выбранного ящика будет стандартной.

     Решение. Обозначим событие А – наугад извлеченная деталь из наугадвыбранного ящика стандартная.

   Обратим внимание на то, что сначала наугад выбирается ящик (один из трех), а затем из него наугад извлекается деталь.       

    Обозначим:

   –  гипотеза Н ₁ – выбран первый ящик,  Р (Н ₁) = 1/3; (A) =15/20;

–  гипотеза Н ₂ – выбран второй ящик, Р (Н ₂) = 1/3; (A) =24/30;

–  гипотеза Н ₃ – выбран третий ящик,    Р (Н ₃) = 1/3; (A) = 6/10.

  Отметим, что  Р (Н ₁)+ Р (Н ₂)+ Р (Н₃) = 1/3+1/3+1/3 = 1.

     Все условные вероятности для события А – это вероятности извлечения наугад стандартной детали из каждого выбранного ящика. Они найдены по классическому определению.

     По формуле полной вероятности: 

Р (А) = Р (Н ₁)· (A) + Р (Н ₂)· (A) + Р (Н ₃)· (A) =

=  +  + = (0,75 + 0,8 + 0,6) = 2,15 ≈ 0,7167.

 

     Задача 2. Мастер и его ученик производят одинаковые изделия, но производительность мастера в 2 раза выше, чем у ученика. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05, а ученик с вероятностью 0,15;

   а) найти вероятность, что взятое наугад изделие бракованное;

   б) изделие, взятое наугад, оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер?

    Решение. Обозначим:

 –  событие А – взятое наугад изделие бракованное;

–  гипотеза Н ₁ – изделие изготовлено мастером;

–  гипотеза Н ₂ – изделие изготовлено учеником.

  Так как производительность мастера в 2 раза выше, чем у  ученика, то количество произведенных ими изделий находится в отношении 2:1, т. е. ученик производит 1 часть изделий, а мастер 2 части. Вместе они производят 3 части изделий. Полную вероятность, равную 1, делим на 3 части, т. е. 1/3 – это одна часть, а 2/3 – это две части. Это позволяет записать вероятности гипотез. Запишем также вероятность брака для каждой из гипотез:

– для мастера  Р (Н ₁) = 2/3; (A) = 0,05;

 – для ученика  Р (Н ₂) = 1/3;   (A) = 0,15;

   а) вероятность, что взятое наугад изделие бракованное, находим по формуле полной вероятности:

Р (А)= Р (Н ₁)· (A) + Р (Н ₂)· (A) = 0,05+ 0,15 =  ≈ 0,083;

   б) вероятность, что взятое наугад бракованное изделие, изготовил мастер Р_А (Н ₁), находим по формуле Байеса:

Р_А (Н ₁) =  =  =  =  = 0,4 (40%).

 

      Задача 3. В группе лыжников 8 спортсменов из Москвы, 5 – из Петербурга и 7 –  из Новосибирска. Возможность выполнить квалификационную норму для лыжника из Москвы оценивается как 80%, для лыжника из Петербурга 75%, а для лыжника из Новосибирска  90%.

  Взятый наугад из списка спортсмен выполнил норму. Из какого города  вероятнее всего он оказался?

     Решение. Обозначим событие А – взятый наугад спортсмен выполнил норму. Всего в группе 8 + 5 + 7 = 20 спортсменов.

 Введем обозначения Н _i   для всех гипотез и найдем их вероятности:

Н ₁ – лыжник из Москвы,             Р (Н ₁) = 8/20 =0,40; (A)  = 0,80;

Н ₂ –  лыжник из  Петербурга,  Р (Н ₂) = 5/20 =0,25; (A) = 0,75;

Н ₃ – лыжник из Новосибирска, Р (Н ₃) = 7/20 =0,35; (A) = 0,90.

     Здесь выписаны также условные вероятности события А при условии выполнения каждой из гипотез.

     Отметим, что Р (Н ₁)+ Р (Н ₂)+ Р (Н₃) = 0,40+0,25+0,35 =1.

 

     По формуле полной вероятности находим: 

Р (А) = Р (Н ₁)· (A) + Р (Н ₂)· (A) + Р (Н ₃)· (A) =

= 0,40·0,80 + 0,25·0,75 + 0,35·0,90 = 0,32+ 0,1875+ 0,315 = 0,8225.

   Определим вероятности гипотез Н ₁, Н ₂, Н ₃ при условии выполнения события А, используя для этого формулу Байеса:

Р_А (Н ₁) =  =  = ≈ 0,389;

Р_А (Н ₂) = =  =  ≈ 0,228;

Р_А (Н ₃) =  =  =  ≈ 0,383.

Отметим, что Р_А (Н ₁) + Р_А (Н ₂) + Р_А (Н ₃) = 0,389 + 0,228 + 0,383 =1.               

 

   Вероятнее всего, что спортсмен оказался из Москвы, так как самая большая вероятность 0,389 соответствует гипотезе Н ₁.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

Контрольные вопросы

1. Запишите формулу полной вероятности. Что вычисляют по этой формуле?

2. Для чего используется формула Байеса?

3. Чему равна сумма вероятностей гипотез, уточненных по формуле Байеса?

Задачи

     1. В группе спортсменов 14 лыжников, 10 биатлонистов и 6 слаломистов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника 0,9, для биатлониста 0,8 и для слаломиста 0,75. Найти вероятность, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Ответ: 0,8367.

      2. На фабрике, изготавливающей болты, первый автомат производит 60 % всех изделий, а второй – оставшуюся часть. В их продукции брак соответственно 5 и 10 %. Найти вероятность, что случайно выбранный болт дефектный.

Ответ: 0,07.

      3. На строительство объекта поступают железобетонные плиты от четырех цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 шт. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТ), составляющий в среднем соответственно 1, 5, 2 и 3%. Какова вероятность, что взятая наугад плита удовлетворяет требованиям ГОСТ?

Ответ: 0,979.

      4. В ящике 2 белых и 3 черных шара. Наугад поочередно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлеченный шар: а) белый; б) черный.

Ответы: а) 0,4; б) 0,6.  

 

      5. Известны объемы и качество деталей, производимых тремя автоматами:

Автоматы	Первый	Второй	Третий
Объем поставок	20 %	30 %	50 %
Процент брака	0,2 %	0,3 %	0,1%

      Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь оказалась бракованной.

Ответ: 0,0018.

      6. В лыжной эстафете участвуют 3 первокурсника и 2 второкурсника. Вероятность того, что первокурсник пробежит свою дистанцию быстрее нормативного времени, равна 0,4. Для второкурсника эта вероятность составляет 0,5.

    Найти вероятность того, что выбранный наугад участник эстафеты пробежит свою дистанцию быстрее нормативного времени.

     Участник эстафеты закончил свою дистанцию быстрее нормативного времени. Найти вероятность того, что он: а) первокурсник; б) второкурсник.

Ответы: 0,44; а) 0,545; б) 0,455.

      7. Известны объемы и качество продукции трех фабрик:

Фабрика	Первая	Вторая	Третья
Объем поставок	20 %	50 %	30 %
Процент брака	3 %	2 %	4 %

      

    Найти вероятность того, что оказавшееся стандартным изделие произведено второй фабрикой.

Ответ: 0,504.

      8. В цехе трудятся 3 мастера и 6 учеников. При изготовлении изделия мастер допускает 3% брака, а ученик 12%.

      Какова вероятность, что взятое наугад изделие будет бракованным? Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер?

Ответы:  0,09;  1/9.

 

         9. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего товара 0,35. Возможность выпуска конкурентом аналогичного товара 45%.

    Найти вероятность, что товар будет пользоваться спросом.

    Товар пользуется спросом на рынке. Какова вероятность, что это произошло в условиях конкуренции?

Ответы: 0,57; 0,2763.

 

    10. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85, а при понижении – с вероятностью 0,5.

    Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.

   Фирма в течение квартала получила прибыль. Какова вероятность, что это произошло при повышении курса доллара?

Ответы: 0,815; 0,93865.

 

    11. Страховая компания разделяет своих клиентов по классам риска: первый класс – малый риск, второй класс – средний риск, третий класс – высокий риск. Среди клиентов компании 50% – клиенты первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность выплаты страхового вознаграждения для клиентов первого класса риска равна 0,01, для второго 0,03, для третьего 0,08.

    Какова вероятность того, что застрахованный клиент получит денежное вознаграждение за период страхования?

    Найти вероятность того, что получивший денежное вознаграждение клиент относится к группе малого риска.

Ответы: 0,03;  0,1667.

 

    12. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 с оптическим прицелом. Вероятность, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, а для винтовки без оптического прицела 0,8. Стрелок поразил мишень из наугад взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

  Ответ: 0,442 < 0,558, т.е. вероятнее поразить цель из винтовки                                           без оптического прицела.

Тема 4. ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ [1]

Формула Бернулли

      Пусть в результате испытания событие А появляется с вероятностью Р (А) = p. Пусть при повторении этого испытания исходы испытаний не зависят друг от друга, а вероятность появления события А сохраняется. То есть если производится n независимых испытаний, то в каждом из них событие А может появиться с вероятностью Р (А) = p. Противоположное события  – непоявление события А в каждом испытании, его вероятность Р () = 1 – Р (А) = 1 – p = q.  Очевидно, что p + q = 1.

     Рассмотрим случай, когда в n независимых испытаниях событие А появится ровно k раз. Вероятность этого случая находят по формуле Бернулли:

 Р _n (k) = · ·   = · · ,  где   k = 0, 1, 2 …   n.

     Обратите внимание, что p –  вероятность наступления события А возводится в степень k, именно столько раз наступило событие А, и одновременно с этим вероятность q –  ненаступления события А возводится в степень (n – k), т. к. именно столько раз не наступило событие А. Это объясняется использованием теоремы умножения вероятностей для независимых событий при повторении испытаний.

     Множитель  – это число сочетаний из n элементов по k, он учитывает количество способов появления события А на k различных местах из n возможных, причем эти способы несовместны. Множитель  появляется в результате использования теоремы сложения вероятностей для несовместных событий, при этом все слагаемые одинаковы и равны ·  

     Применяя формулу Бернулли, находят вероятности того, что в n  испытаниях событие А наступит:

 а) Р _n (менее k раз) = Р _n (0) + Р _n (1) + Р _n (2) + … + Р _n (k – 1);   

б) Р _n (более k раз) = Р _n (k +1) + Р _n (k +2) + … + Р _n (n);       

в) Р _n (не менее k раз) = Р _n (k) + Р _n (k +1) +…  + Р _n (n);         

  г) Р _n (не более k раз) = Р _n (0) + Р _n (1) + Р _n (2) + … + Р _n (k);                                     

  д) Р _n (k ₁ ≤ k ≤ k ₂) = Р _n (k ₁) + Р _n (k ₁+1) +… + Р _n (k ₂).

      Отметим, что если вычислить вероятности Р _n (k) для всех возможных значений k (k = 0, 1, 2 … n), то получим совокупность единственно возможных и несовместных событий, образующих полную группу, поэтому:

Р _n (0) + Р _n (1) + Р _n (2) + … + Р _n (n) = 1.

 

 Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что орел выпадет: а) ровно два раза; б) не менее двух раз.

 Решение. Испытание – бросание монеты, повторяется 6 раз. Результаты испытаний – независимые события. Вероятность выпадения орла одинакова для всех испытаний и равна p = 0,5, вероятность невыпадения орла   q = 1– p = 0,5.                      

 а) Орел выпадет ровно два раза. В этом случае n = 6,   k = 2. Используя формулу Бернулли, получим:

Р ₆(2) = ·0,5²·0,5^{6 - 2} = ·0,5⁶ = ·0,015625 = 15·0,015625 ≈ 0,23.

     б) Орел выпадет не менее двух раз. В этом случае k ≥ 2. Задачу проще решить, вычислив вероятность противоположного события:   k < 2;   Р ₆(k < 2) = Р ₆(k = 0 или   k = 1) = Р ₆(0) + Р ₆(1).  Тогда:

Р ₆(k ≥ 2) = 1 – Р₆(k <2) = 1– Р ₆(0) – Р ₆(1) =

= 1 – ·0,5⁰·0,5⁶  – ·0,5¹·0,5⁵ = 1– 1·1·0,015625 – 6·0,5·0,03125 =  

  = 1– 0,015625 – 0,09375 = 1– 0,109375 ≈ 0,89.

 

 4.2. Вероятность появления события хотя бы один раз

     Появление события хотя бы 1 раз в n независимых испытаниях означает, что оно произошло один  или более раз, т. е. k ≥ 1. Противоположное ему событие   k < 1, т. е. k = 0. Тогда:

  Р _n (k ≥ 1) = 1– Р _n (k < 1) = 1– Р _n (0)  = 1– · p ⁰· qⁿ  = 1– 1·1· qⁿ  = 1 – qⁿ.

    Таким образом, вероятность появления события хотя бы один раз в   n независимых испытаниях находится по формуле:

Р _n (k ≥ 1) = 1 –   qⁿ.

 

 Пример 2. Вероятность покупки бракованного изделия равна 0,2. Найти вероятность того, что из 5 купленных изделий будет хотя бы одно бракованное.

 Решение. По условию задачи вероятность покупки изделия с браком p = 0,2,  тогда вероятность покупки изделия без брака              q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8.  Всего купленных изделий   n = 5.

     Искомое событие A – хотя бы одно из 5 изделий бракованное, т. е. k ≥ 1. Противоположное ему событие  – среди 5 купленных изделий бракованных нет, т. е. все 5 изделий небракованные. Вероятность этого события:

P (A) = Р₅ (k ≥ 1) =  1 – q ⁵ = 1 – 0,8⁵ = 1 – 0,32768 = 0,67232 ≈ 0,67.