Почему нам удается спокойно пить кофе

 

Вспомним кое-что из обсуждения Среднестана в главе 3: ни одно отдельное наблюдение не влияет на итог. И это свойство будет приобретать все большую и большую значимость по мере увеличения рассматриваемой вами совокупности. Средние показатели будут все больше и больше стабилизироваться, пока в конце концов самые разные выборки не станут похожими как две капли воды.

За свою жизнь я выпил множество чашек кофе (это моя главная слабость). Но никогда не видел, чтобы чашка подпрыгнула на два фута и кофе не проливался на эту рукопись без внешнего вмешательства (даже в России). В самом деле, чтобы стать свидетелем такого события, недостаточно невинного пристрастия к кофе; потребуется больше жизней, чем, пожалуй, можно вообразить, — шансы равны единице после такого количества нолей, что я не смогу их выписать, даже если употреблю на это все свое свободное время.

Но законы физики свидетельствуют, что чашка все же могла бы подпрыгнуть, — это очень маловероятно, но возможно. Частицы постоянно куда-нибудь прыгают. Как получилось, что кофейная чашка, сама состоящая из прыгающих частиц, не прыгает? Причина, говоря попросту, вот в чем: чтобы чашка подпрыгнула, нужно, чтобы все частицы прыгнули в одну и ту же сторону и сделали бы это вместе несколько раз подряд (при компенсирующем движении стола в обратную сторону). Все несколько триллионов частиц в моей кофейной чашке не прыгнут в одну и ту же сторону; этого не случится, сколько бы ни просуществовала еще наша Вселенная. Поэтому я могу спокойно поставить кофейную чашку на край письменного стола и призадуматься о более серьезных зонах неопределенности.

Спокойствие, гарантированное моей кофейной чашке, иллюстрирует то, как гауссова случайность «укрощается» усреднением. Если бы моя чашка была одной большой частицей и вела себя так, как обычно ведет себя отдельная частица, то ее прыжки доставляли бы массу неприятностей. Но моя чашка — это триллионы очень маленьких частиц.

 

 

Хозяева казино прекрасно это понимают, и поэтому они никогда (если всё правильно делают) не теряют денег. Они просто не позволяют одному игроку сделать крупную ставку, вместо этого предпочитая, чтобы множество игроков сделали ряд ставок ограниченного размера. Игроки могут в сумме поставить 20 миллионов долларов, но не надо беспокоиться о благополучии казино: ставки равны в среднем 20 долларам; казино ограничивает ставки тем максимумом, который позволяет хозяевам казино спокойно спать по ночам. Поэтому колебания доходов казино будут смехотворно малы, независимо от активности всех имеющихся в наличии игроков. Никто из них никогда не выйдет из казино с миллиардом долларов.

Вышеизложенное представляет собой проявление высшего закона Среднестана: когда игроков множество, отдельный игрок практически не повлияет на итог, кроме как по мелочи.

Отсюда следует то, что колебания вокруг среднего в гауссиане, также называемые «ошибками», на самом деле — не повод для волнений. Они маленькие, их можно легко отбросить. Они — одомашненные флуктуации вокруг среднего.

 

Любовь к определенности

 

Если когда-то в колледже вам довелось прослушать (скучнейший) курс лекций по статистике и вы не поняли почти ничего из того, чем так восторгался профессор, если вы так и не уяснили, что такое стандартное отклонение, не расстраивайтесь. Понятие стандартного отклонения бессмысленно вне Среднестана. Ясно, что гораздо полезней и куда приятней было бы прослушать курс по биологическим аспектам эстетики или постколониальному африканскому танцу, и это проверяется эмпирически.

Стандартные отклонения не существуют вне гауссианы, а если и существуют, то они не важны и мало что объясняют. Но дальше — хуже. Гауссово семейство (которое включает различных друзей и родственников, скажем, закон Пуассона) — единственный класс распределений, для описания которого достаточно стандартного отклонения (и среднего показателя). Больше ничего не нужно. «Гауссова кривая» — находка для любителей упрощений.

Есть другие понятия, которые почти ничего не значат вне гауссовой ситуации — корреляция и, хуже того, регрессия. Но они глубоко внедрились в наши методы; в любом деловом разговоре непременно услышишь слово корреляция.

Чтобы увидеть, сколь бессмысленна бывает корреляция вне Среднестана, рассмотрим данные прошлых лет, по две величины, которые уж наверняка из Крайнестана, скажем, рынки облигаций и акций, или две цены акций, или такие две величины, как изменения в продажах детских книг в США и в производстве удобрений в Китае; или цены на недвижимость в Нью-Йорке и обороты монгольского фондового рынка. Измерьте корреляцию между парами величин за различные периоды, скажем, за годы 1994, 1995, 1996 и т. д. Корреляционное соотношение, скорее всего, будет резко меняться от периода к периоду. И при этом все говорят о корреляции как о некой реальности, делая ее осязаемой, наделяя ее физическими свойствами, материализуя ее.

Мы склонны конкретизировать и то, что называем «стандартными» отклонениями. Рассмотрим любой ряд прошлых цен или значений. Разбейте его на отрезки и измерьте их «стандартное» отклонение. Удивлены? Каждая выборка даст свое «стандартное» отклонение. Тогда почему все говорят о стандартных отклонениях? Попробуй пойми.

Картина тут та же, что и при искажении нарратива: когда сравниваешь прошлые факты и вычисляешь одну-единствен-ную корреляцию или стандартное отклонение, такой нестабильности не замечаешь.

 

Как вызывать катастрофы

 

Если вы пользуетесь термином статистически значимый, опасайтесь иллюзии определенности. Всегда есть вероятность, что кто-то примет свои ошибки наблюдения за гауссовы, но тогда и контекст должен быть соответствующим, гауссовым, то есть среднестанским.

Чтобы показать, сколь неизбывно злоупотребление гауссианой и сколь это может быть опасно, рассмотрим (скучную) книгу под названием «Катастрофа», написанную судьей Ричардом Познером, плодовитым писателем. Познер сетует, что госчиновники ничего не смыслят в случайности, и рекомендует высшим должностным лицам учиться статистике… у экономистов. Поистине судья Познер пытается провоцировать катастрофы. Жаль, конечно, что он большую часть времени отдает писательству, а не чтению, но, несмотря на это, мыслитель он проницательный, глубокий и оригинальный. Просто, как и многие другие, не знает о том, что между Среднестаном и Крайнестаном есть существенные различия, и свято верит, что статистика — «наука», а не обман. Если столкнетесь с ним, расскажите ему, как все обстоит на самом деле.

 

Усредненное чудовище Кетле

 

Эта химера, называемая «гауссовой кривой», или гауссианой, создана была не Гауссом. Да, он работал над ней, но как математик-теоретик, не прилагая ее к устройству нашей реальности, как это делают ученые со статистическим поворотом ума.

Г. X. Харди писал в «Апологии математика»[73]:

 

«Настоящая» математика «настоящих» математиков, таких как Ферма, Эйлер, Гаусс, Абель и Риман, почти целиком «бесполезна» (что верно не только для «чистой», но и для «прикладной» математики).

 

Ранее я уже говорил, что кривая нормального распределения была в общем-то изобретением игрока, Абрахама де Муавра (1667–1754), французского изгнанника-кальвиниста, который провел большую часть своей жизни в Лондоне, хотя и говорил по-английски с сильным акцентом. Но, как мы сейчас с вами увидим, одним из самых злостных вредителей в истории развития мысли надо считать совсем даже не Гаусса, а Кетле.

Адольф Кетле (1796–1874) создал понятие «Phomme moyen» — «физически средний человек». Сам Кетле, «человек, наделенный мощными творческими страстями, творец, полный энергии», ни в чем не был moyen. Он писал стихи и даже принял участие в сочинении оперы. Беда заключалась в том, что Кетле был математиком, а не ученым-эмпириком, только сам этого не осознавал. Он усмотрел гармонию в кривой нормального распределения.

У этой проблемы два уровня.

Primo. Кетле увлекся идеей «нормативности», он хотел подогнать мир под некие средние стандарты, питая иллюзию, что это среднее и есть «норма». Конечно, было бы замечательно, если бы мы могли игнорировать влияние на нашу действительность всего необычного, «ненормального», то есть Черного лебедя. Но оставим эту мечту утопистам.

Secondo вытекает из primo и представляет собой серьезную эмпирическую проблему. Математику повсюду мерещились колоколовидные кривые. Они ослепляли его, и я вновь убедился: если к тебе в голову забралась такая кривая, ее трудно вытравить оттуда. Позже Фрэнк Исидро Эджуорт будет называть кетлизмом эту опасную тенденцию подводить все под «колокол».

 

Золотая посредственность

 

Концепция Кетле пришлась весьма кстати идеологам того времени, которые как раз жаждали чего-либо подобного. Вы только взгляните на список его современников: Сен-Симон (1760–1825), Пьер-Жозеф Прудон (1809–1865), Карл Маркс (1818–1883), каждый — создатель своей версии социализма. В эпоху, последовавшую за веком Просвещения, все искали aurea mediocritas, золотую середину: в богатстве, росте, весе и т.д. Это стремление подчас заставляет принимать желаемое за действительное, оно во многом навеяно поисками гармонии и… платонизмом.

Я навсегда запомнил директиву своего отца — «in medio stat virtus», «доблесть — в умеренности». Да, долгое время это было идеалом; посредственность в этом смысле даже считалась золотой. Всеохватывающая посредственность.

Но Кетле поднял эту идею на новый уровень. На основе собранных им данных он начал создавать среднестатистические стандарты. Обхват груди, рост, вес детей при рождении — мало что избежало стандартизации. Отклонения от нормы, как он заметил, становятся экспоненциально более редкими с увеличением амплитуды отклонения. Покончив с физическими характеристиками, месье Кетле переключился на социальную сферу. L'homme moyen имел свои привычки, свои запросы, свои методы.

Сконструировав таким образом l'homme moyen physique и l'homme moyen moral (физического среднего человека и нравственного среднего человека), Кетле обозначил некие пределы отклонения от среднего, внутри которых любого человека помещают слева или справа от центра и, по сути, «бракуют» тех, кто оказывается у самого края. Их объявляют аномалией. Это, естественно, очень вдохновило Маркса, который ссылается на понятие среднего, или нормального, индивидуума, введенное Кетле. Он утверждает в «Капитале», что общественные различия (например, те, что обусловлены распределением капитала) должны быть сведены к минимуму.

Надо отдать должное научной элите времен Кетле. Коллеги настороженно отнеслись к его теории. Начнем с того, что Огюстен Курно, философ, математик, экономист, усомнился в том, что можно учредить некий стандарт человека только на основании количественных характеристик. Этот стандарт будет зависеть от рассматриваемой выборки. Замеры, произведенные в одной провинции, могут отличаться от замеров в другой провинции. Ну и какие из них должны быть эталоном? По мнению Курно, Thomme moyen был бы чудовищем.

Я так поясню его мысль.

Даже если кому-то вдруг очень захотелось бы стать средним человеком, то ему пришлось бы утаить от «замерщиков» свои профессиональные таланты, то, в чем он неизбежно превосходит остальных, — человек не может быть средним во всем. Пианист будет лучше «среднего» играть на пианино, но хуже, чем предписано «нормой», ездить верхом. Чертежник будет лучше чертить и так далее. Понятие человека, считающегося средним, отличается от понятия человека, среднего во всем, что он делает. В действительности абсолютно средний человек был бы наполовину мужчиной, наполовину женщиной. Кетле совершенно упустил это из виду.

 

Ошибка Бога

 

Еще больше удручает то, что во времена Кетле гауссово распределение называлось «la loi des erreurs» — «закон погрешностей», так как одним из самых ранних его приложений было распределение погрешностей в астрономических расчетах. Вам тоже не по себе? С отклонением от среднего (в данном случае и от медианы тоже) обращались как с погрешностью! Не удивительно, что Марксу понравились идеи Кетле.

Понятие усредненности распространилось мгновенно. «Так положено» спутали с «есть» — и все это с благословения науки. Понятие середняка глубоко вошло в культуру, ожидавшую нарождения европейского среднего класса, в молодую культуру постнаполеоновского лавочника, опасающегося излишнего богатства и интеллектуального блеска. В принципе считается, что мечта об обществе с нивелированными доходами отвечает стремлениям всякого рационально мыслящего человека, вынужденного иметь дело с генетической лотереей. Если бы вам предложили выбрать общество, в котором вы родитесь в следующей жизни, но неизвестно кем именно, скорее всего вы не стали бы рисковать — предпочли бы такое общество, в котором нет существенной разницы в доходах.

Курьезной кульминацией восхваления посредственности стало появление во Франции так называемого «пужадизма»[74], политического движения, начавшегося с выступлений лавочников. Это было горячее братство людей более или менее благополучных, надеявшихся, что вся остальная вселенная подстроится под них — своего рода случай непролетарской революции. Их мелкоторгашеский менталитет проявлялся даже в том, как они обращались с математикой. Думал ли Гаусс, что создает формулы для лавочников?

 

Пуанкаре приходит на помощь

 

Сам Пуанкаре относился к гауссиане с большой опаской. Я подозреваю, что он внутренне съеживался, когда ему предлагали этот и подобные подходы к моделированию неопределенности. Достаточно вспомнить, что кол околовидная кривая изначально предназначалась для измерения астрономических погрешностей, а уже небесная механика самого Пуанкаре проникнута куда более глубоким пониманием неопределенности.

Пуанкаре писал, что один из его друзей, «выдающийся физик», жаловался ему, что физики пользуются «гауссовой кривой», потому что, вслед за математиками, считают ее математической необходимостью, математики же пользуются ею, потому что считают ее эмпирической данностью.

 

Будем справедливы

 

Хочу особо отметить, что вообще-то (если оставить в стороне издержки в виде психологии лавочников) я искренне верю в ценность срединности и посредственности — какой гуманист не мечтает уменьшить неравенство между людьми? Нет ничего более отталкивающего, чем безрассудно сотворенный идеал сверхчеловека! На самом деле меня тревожит иная проблема — эпистемологическая, то есть проблема познания. Пора уяснить, что реальность — не Среднестан и нам надо научиться с этим жить.

 

«Греки бы его обожествили»

 

Список людей, у которых в мозгу угнездилась (благодаря своей платонической чистоте) гауссиана, невероятно велик.

Сэр Фрэнсис Гальтон, двоюродный брат Чарльза Дарвина и внук Эразма Дарвина, был наряду со своим кузеном одним из последних независимых ученых-джентльменов, к каковым также принадлежали лорд Кавендиш, лорд Кельвин, Людвиг Витгенштейн (на свой лад) и отчасти наш суперфилософ Бертран Рассел. Хотя Джон Мэйнард Кейнс не вполне вписывался в эту категорию, он мыслил в унисон с ней. Гальтон жил в викторианскую эпоху, когда обладатели наследственного состояния и неограниченного досуга не только упражнялись в верховой езде и стрельбе по дичи, но становились философами, учеными или (менее одаренные) политиками. Как это ни печально, вместе с той эпохой ушло нечто невосполнимое: истинные подвижники, занимающиеся наукой ради науки, не думающие о карьере.

К сожалению, занятия наукой из бескорыстной любви к знанию не гарантируют, что ты будешь двигаться в правильном направлении. Познакомившись с «нормальным» распределением, Гальтон влюбился в него. Говорят, он однажды воскликнул, что, если бы грекам было о нем известно, они бы обожествили его. Возможно, восторг Гальтона тоже поспособствовал воцарению гауссианы в научных умах.

Гальтон не сподобился обзавестись надлежащим математическим багажом, но был прямо-таки одержим измерениями. Он не знал о законе больших чисел, но сам открыл его, проанализировав собранные данные. Он сконструировал доску Гальтона, или «quincunx»[75], — что-то вроде автомата для игры в пинбол, с помощью которого можно смоделировать колоколовидную кривую, — об этом я расскажу через несколько абзацев. Правда, Гальтон применял кривую нормального распределения в таких областях, как генетика и наследственность, где ее использование оправданно. Но его энтузиазм помог внедрить зарождавшиеся статистические методы в социальные сферы.