Расчет электродинамических усилий

По энергетическим формулам

Приведенные в данном параграфе задачи дают возможность освоить метод расчета усилий по энергетическому принципу для наиболее часто встречающихся на практике случае, т.е. для параллельных шин, полубесконечных петель, катушек, витков и других примеров, где индуктивность или взаимоиндуктивность контуров может быть выражена как функция координаты, в направлении которой вычисляется сила взаимодействия.

При этом используются следующие расчетные формулы и соотношения.

Обобщенное усилие, действующее на проводник при i=const

Р = dW/dx,                       (1.7)

где W – электромагнитная энергия системы, Дж; x – возможное перемещение в направлении действия усилия, м.

В линейных системах

W = (1/2) L₁ i₁² + (1/2) L₂ i ₂² + M i₁ i ₂      (1.8)

где L₁, L₂ - индуктивности изолированных контуров; i₁, i ₂ - токи, протекающие в них; М – взаимная индуктивность.

Усилие взаимодействия системы контуров с током в соответствии с энергетической формулой (1.7)

Р = .  (1.9)

Электродинамическое усилие в проводниках при изменении поперечного сечения (усилие Двайта)

Р = .         (1.10)

где r₁ и r₂ – соответственно диаметры большего и меньшего поперечного сечения, м; μ₀ – магнитная проницаемость вакуума, Гн/м.

Задача 1.2.1. Определить электродинамическое усилие, возникающее между двумя витками цилиндрического однослойного реактора, имеющего радиус R = 1 м. Витки имеют шаг h = 10 мм. По реактору протекает ток к.з. I = 50 кА.

 

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой (1.7)

 

где W = I²М + W_соб – полная электромагнитная энергия системы; х – возможное перемещение в направлении действия усилия, т.е. dх = dh; W_соб – часть электромагнитной энергии, обусловленная собственной индуктивностью витков. При изменении координаты х остается неизменным W_соб, поэтому получаем

Если h = 0,4 R (это имеет место для условий задачи), взаимная индуктивность . Тогда

Р = -I²μ₀ R/ h = -50²∙10⁶∙4π10^-7/(10∙10^-3) = 3140 Н.

Ответ: Р = 3140 Н.

Задача 1.2.2. Определить усилия в условиях задачи 1.2.1, стремящиеся разорвать витки цилиндрического реактора, а также сжимающие проводники, изготовленные из круглого провода, радиус которого r = 10 мм.

Решение

Полная электромагнитная энергия витков

W = (1/2) L₁ I₁² + (1/2) L₂ I ₂² + M I₁ I ₂,

где взаимную индуктивность М определим как в задаче 1.2.1; L₁ = L₂ = L = =μ₀ R[1n(8R/r) – 7/4] – собственные индуктивности витков для r<<R; I₁=I₂= = I.

Тогда

Доля энергии, приходящаяся на один виток, будет 0,5 W.

Из формулы (1.7) при х = R усилие, разрывающее виток,

Эта сила равномерно распределена по дуге окружности витка. Сила же, стремящаяся разорвать виток,

Р =

Сила, сжимающая проводник в направлении его радиуса, определится из формулы (1.7) при х = r:

Р_r =

Эта сила равномерно распределена по всей поверхности витка.

Ответ: Р = 1750 Н; Р_r = 157000 Н.

Задача 1.2.3. Определить усилие, действу­ющее между двумя круговыми витка­ми 1, 2, если по виткам протекают токи I₁ = 10 кА, I₂=15 кА. Радиусы витков R₁= =0,5 м, R₂ =1 м; диаметры проводников, из которых изготовлены витки, d₁= d₂= 20 мм. Расстояние между витками, находящи­мися в воздухе, h = 0,5 м. Вычислить усилия, разрывающие витки, и давления, сжимающие проводники, а также определить направления усилий.

Решение:

Если h =R, то для двух витков взаимная индуктивность

 

Тогда вертикальная составляющая усилия между витками

Знак минус свидетельствует о том, что с уменьшением расстояния взаимная индуктивность увеличивается. Радиальные составляющие усилий

Знак  минус свидетельствует о том, что данная сила сжимает виток 2.

Усилия, обусловленные собственными индуктивностями контуров, опреде­лим по формуле (1.8)

Тогда результирующие усилия, разрывающие витки, P_R1= P'_R1+P"_R1 = 232+330 = 562 Н; P_R2 = P'_R2+P"_R2 = - 94,3 + 840 = 745,7 Н. Эти усилия равномерно распределены по дугам окружностей соответствующих витков.

Усилия, стремящиеся разорвать витки,

P₁ = P_R1/(2π) = 562/(2∙3, 14) = 89,4 Н; P₂ = P_R2/(2π) = 745,7/(2∙3, 14) =119Н.

Для определения усилий, сжимающих витки, необходимо вычислить

Эти усилия распределены равномерно по боковым поверхностям витков. Здесь знаки минус свидетельствуют о том, что происходит сжатие проводни­ков. Следовательно, давления, действующие на боковые поверхности провод­ников,

Ответ: P₁ = 89,4 H; P₂ = 119 H; p₁ =15 900 Н/м²; p₂ = 36 700 Н/м².

 

1.3. Расчет электродинамических усилий при переменном токе.

В данном параграфе приведены задачи на расчет электродинамических усилий, когда по проводникам протекает переменный ток. Так как усилия, действующие на проводники при переменном токе, изменяются во времени, то возникает необходимость в определении и правильном выборе собственной частоты колебаний элементов электрических аппаратов, подвергающихся воздействию этих усилий.

Необходимо правильно рассчитать значения мак­симальных усилий, которые зависят от вида и места к. з. в системе. При этом используются следующие расчетные формулы и соотношения.

Электродинамическое усилие между двумя проводниками в однофазной системе

           (1.11)

где μ₀=4π·10^-7 Гн/м — магнитная проницаемость вакуума: I_m - максималь­ное значение тока при синусоидальном законе его изменения, А; ω = 2π f - круговая частота тока c^-i; f - частота тока, Гц; k_l/2 - коэффициент контура электродинамических усилий.

Закон изменения тока при однофазном коротком замыкании 

          (1.12)

где Т_а - постоянная затухания апериодической составляющей тока, с^-1.

Значение ударного тока короткого замыкания

,                    (1.13)

где I — действующее значение установившегося тока короткого замыкания.

Значение максимального отталкивающего усилия, действующего на крайние проводники в трехфазной системе при расположении проводников в одной плоскости на одинаковом расстоянии друг от друга.

                 (1.14)

Значение максимального отталкивающего и притягивающего усилий, действующих на средний проводник в трехфазной системе при расположении проводников в одной плоскости на одинаковом расстоянии друг от друга

                     (1.15)

Значение максимального притягивающего усилия, дей­ствующего на крайние проводники в трехфазной системе при расположении проводников в одной плоскости на оди­наковом расстоянии друг от друга,

                    (1.16)

Задача 1.3.1. Определить характер изменения во времени и значение электродинамического усилия, действующего на ножи, по которым протекает однофазный ток к.з. Установившееся зна­чение тока I_уст = 800 А, частота f=50 Гц. Известно, что короткое замыкание произошло в удаленных от генератора точках сети. Размеры рубильника: l=80 мм, h=70 мм.

 

Решение

Поскольку короткое замыкание произошло в удаленных от генератора точках сети, влиянием апериодической составляющей на электро­динамическое усилие можно пренебречь [1], т. е. ток к. з.

i = I_уст sin ωt.

Тогда усилие взаимодействия между ножами рубильника в соответствии с формулой (1.6)

где

ω = 2π·50=314 с^-1 — круговая частота тока.

Тогда

F = [4π·10^-7/(4π)] ·2·800²·1,04 sin² ωt=0,134 sin² ωt.

Разложив sin² ωt=(l-cos2ωt)/2, получаем Р=0,067—0,067cos(628t). Очевидно, что максимальное значение усилия F_макc = 0,134 Н; среднее значе­ние за период F_cр=0,067 Н; минимальное F_мин = 0.

Ответ: F_макc = 0,134 Н; F_cр=0,067 Н; F_мин = 0.

 

Задача 1.3.2. Для задачи 1.3.1 проверить, удовлетворяют ли условиям прочности и жесткости ножи рубильника, которые изготовлены из меди, поперечное сечение их имеет прямоугольную форму с размерами а b = З 15 мм. Ножи расположены широкими сто­ронами друг к другу.

Решение

Нож рубильника можно рассчитать как балку на двух опо­рах, т.е. σ_из = М/W_из ≤ σ_доп, где М=F_мaксl/8 =0,134·80·10^-3/8 = 0,134·10^-2 Н·м- максимальное значение изгибающего момента; W_из = ba²/6= = 15·10^-3·3²·10^-6/6=22,5·10^-9 -момент сопротивления; (σ_доп = 137х 10⁶ Па - допустимое напряжение на изгиб для меди). Тогда

σ_из=0,134·10^-2· (22,5·10^-9)=0,6·10⁶ ≤137·10⁶ Па.

Следовательно, ножи рубильника удовлетворяют условиям прочности. Во избежание появления механического резонанса необходимо, чтобы частота собственных колебаний механической системы не была равна частоте возбуждающей силы, т. е. в нашем случае 100 Гц.

Для двух параллельных шин частота собственных колебаний

где k — коэффициент, учитывающий жесткость заделки ножа как балки на двух опорах. При жестко заделанном одном конце и свободном закреплении другого конца, это имеет место в случае рубильника, k = 48; E=11,8·10⁶ Н/см² - модуль упругости материала (меди); γ =85,2 Н/см³- удель­ный вес меди; S= =3·15·10^-2 см² - площадь поперечного сечения;

J = ba³/12 = 15·10^-4·3³/12 см⁴ - момент инерции поперечного сечения. Следовательно, поскольку собственная частота меньше вынужденной, механический резонанс не будет иметь места.

Ответ: σ_из=0,6·10⁶ Па ≤137·10⁶ Па, f _cоб=39,3 Гц < 100 Гц.

 

Практическое занятие №2