О выполнении типового расчЕта

Н.П. Бородин

В.В. Жернова

Л.В. Шуметова

В.С. Шоркин

 

РЯДЫ

 

 

 

министерство образования российской федерации

орловский государственный технический университет

 

 

Н.П. Бородин, В.В. Жернова, Л.В. Шуметова,

В.С. Шоркин

РЯДЫ

 

Рекомендовано редакционно-издательским советом ОрелГТУ

в качестве учебно-методического пособия

 

Орел 2004

УДК 517.52(076)

ББК 22.1613я7

Б83

 

 

Рецензенты:

заведующий кафедрой высшей математики ОрелГТУ,

доктор технических наук, профессор

В.А. Гордон,

заведующий кафедрой геометрии и методики преподавания

математики ОГУ, кандидат педагогических наук, профессор

В.В. Ветров

 

 

Б83 Бородин Н.П. Ряды: Учебно-методическое пособие / Н.П. Бородин, В.В. Жернова, Л.В. Шуметова, В.С. Шоркин. – Орел:
ОрелГТУ, 2004. – 39 с.

 

 

В учебно-методическом пособии по выполнению типового расчета «Ряды» даются подробные решения задач с полным анализом. Пособие предназначено студентам технических специальностей. Предлагаемый материал окажет большую помощь студентам в самостоятельном освоении курса высшей математики, особенно при подготовке к практическим занятиям, контрольным работам и при выполнении типовых расчетов.

 

 

УДК 517.52(076)

ББК 22.1613я7

 

 

© ОрелГТУ, 2004

© Бородин Н.П., Жернова В.В.,

Шуметова Л.В., Шоркин В.С., 2004

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение............................................................................................................. 4

1 О выполнении типового расчета................................................................ 5

1.1 О рядах...................................................................................................... 6

2 Числовые ряды.............................................................................................. 8

2.1 Сумма ряда............................................................................................... 8

2.2 Свойства сходящихся рядов............................................................... 12

2.3 Необходимый признак сходимости ряда.......................................... 13

2.4 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными

членами.................................................................................................... 13

2.4.1 Признак сравнения........................................................................... 13

2.4.2 Признак Даламбера.......................................................................... 14

2.4.3 Признак Коши.................................................................................. 14

2.4.4 Интегральный признак Коши........................................................ 15

2.5 Знакопеременные ряды........................................................................ 18

3 Функциональные ряды.............................................................................. 21

3.1 Равномерная сходимость функционального ряда........................... 25

3.2 Признак Вейерштрасса......................................................................... 27

3.3 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов............. 29

4 Ряд Тейлора................................................................................................. 34

4.1 Приближенное вычисление интегралов с помощью степенных
рядов........................................................................................................ 36

5 Вопросы для самопроверки...................................................................... 37

Список рекомендуемой литературы........................................................... 38

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Последние несколько лет работы высшей школы нашей страны отмечены значительным уменьшением объёма часов, отводимых действующими учебными планами на чтение лекций и проведение семинарских и практических занятий. В связи с присоединением нашей страны к Болонскому соглашению указанная выше тенденция будет усиливаться. В этих условиях возникает проблема: как организовать изучение вузовских дисциплин студентами, в частности математики, чтобы знания студентов были не хуже, чем это было в советское время. Одним из путей решения этой проблемы, безусловно, является совершенствование форм самостоятельной работы студентов. Авторы настоящего пособия на основе системы типовых заданий (на основе типовых расчетов) разработали учебно-методический комплекс, который позволяет занять студентов разноуровневой самостоятельной работой, начиная от репродуктивной и кончая продуктивной или даже творческой. У преподавателей, таким образом, появляется возможность пойти на дальнейшее сокращение аудиторных часов, а освободившееся время употребить на повышение своей квалификации, на контроль самостоятельной работы студентов, на проведение для них консультаций.

Пособие написано в полном соответствии с программой по изучению высшей математики в технических вузах. Следует отметить, что решения задач № 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 19, 20 связаны в основном с формированием у студентов знаний 3-го уровня – продуктивного. Остальные, более трудные – это задачи творческого характера (4-й уровень).

Студенту, прежде чем решать задачи типового расчета по задачнику Л.А. Кузнецова, необходимо изучить соответствующий раздел теории, а затем внимательно, с выполнением всех действий на бумаге разобрать решенные задачи нашего пособия. Пособие может быть полезно и для преподавателей, ведущих практические занятия.

Упражнение 1

Ряды и сходятся. Доказать,что ряд сходится, если .

Литература: [1, гл. 4], [2, гл. 9].

Упражнение 2

Ряд () сходится. Доказать, что ряд тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.

Литература: [1, гл. 4], [2, гл. 9, с. 366].

Упражнение 3

Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.

Указание. В доказательстве следует применить неравенство .

Литература: [1, гл. 4, с. 418, 423], [2, гл. 9].

Упражнение 8

Показать, что функция всюду непрерывна.

Указание. Докажите равномерную сходимость ряда , пользуясь признаком Вейерштрасса, и непрерывность его членов. Если ряд будет сходиться равномерно всюду, то функция будет всюду непрерывной.

Литература: [5, гл. 12].

Упражнение 9

Доказать, что ряд сходится равномерно в интервале .Можно ли его почленно дифференцировать в этом интервале?

Указание. Проверив, что данный ряд равномерно сходится в интервале , покажите, что ряд расходится всюду.

Литература: [5, гл. 12].

 

 

О рядах

 

В «бесконечной» сумме процесс сложения никогда не кончается, за каждым слагаемым всегда стоит следующее.

Ряд

(его члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем x) в случае стремится к 1/(1 -x). Поэтому пишут:

 

или .

Сумма этого ряда была определена впервые в III в. до н.э. (из истории математики). Архимед применил суммирование бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4.

После Архимеда вплоть до XVI в. рядами не занимались. С XVI в. началось изучение изменяющихся процессов. Для знакочередующегося ряда

Г. Лейбниц находит сумму. Она равна p /4.

Л. Эйлер нашел сумму для ряда ,

 

, .

Это дало возможность приближенно вычислить число π с любой степенью точности (если взять достаточно много слагаемых).

Понятие сходимости ряда в XVI в. точно установлено еще не было, и считалось, что любой ряд имеет сумму и что с рядами можно выполнять такие же арифметические действия, как и с многочленами: складывать, умножать, переставлять слагаемые и т.п. И это часто приводило к фантастическим результатам. Например, получали, что сумма ряда могла быть и 0, и 1, и даже 1/2.

Рассуждения были примерно следующие:

или

.

Пусть ; перепишем S так:

, т.е. , откуда .

И только когда началось систематическое изучение рядов (начало XIX в.), было установлено, что, например, абсолютно сходящиеся ряды не меняют сумму при перестановке членов.

Идея представления функций степенными рядами принадлежит
И. Ньютону. Он нашел разложения многих функций.

Например,

 

,

где x – радианная мера угла.

 

Так, ряд дает разложение функции .

 

Если

,

то, ограничиваясь несколькими первыми членами, мы получим приближенное представление функции: оно тем точнее, чем больше будет взято членов ряда (слагаемых).

При рассмотрении периодических процессов пользуются тригонометрическими рядами:

 

.

Формулы, по которым определяются коэффициенты функции , – формулы Фурье – дают название таким рядам – ряды Фурье.

 

 

Числовые ряды

Определение. Выражение

 

(1)

называется рядом, где – последовательность чисел или функций. Слагаемые – это члены ряда, – общий член ряда.

Ряд называется числовым, если все его члены являются числами.

Ряд является функциональным, если все члены ряда – функции.

 

Сумма ряда

Определение. Сумма конечного числа первых членов ряда называется n -й частичной суммой ряда:

 

. (2)

 

– первая частичная сумма,

– вторая частичная сумма,

– третья частичная сумма,

…………………………………………………………….

– n -я частичная сумма и т.д.

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм

 

, (3)

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Если не существует, то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет. При этом пишут: .

 

 

задача 1.31 [7]

 

Найти сумму ряда .

Решение:

Общий член ряда следует упростить. Представим его суммой двух простейших дробей. Знаменатель разложим на множители.

 

, тогда , .

 

.

 

.

 

Значения коэффициентов А и В найдем устно: чтобы при сложении дробей в числителе получилось 14, надо положить А = 1, В = –1.

 

.

 

Далее найдем (для формулы (3)).

 

,

,

,

,

,

,

,

………………………

,

.

 

Чтобы вывести формулу для конечной суммы , проанализируем некоторые частичные суммы.

 

,

 

,

 

.

 

Таким образом, n -я частичная сумма

 

.

 

.

 

.

Задача 2.31 [7]

Найти сумму ряда .

Решение:

Как и в первой задаче, сначала упростим . Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби. Такую операцию мы часто выполняли, например, при интегрировании рациональных дробей.

 

.

 

Выпишем столбцом a₁, a₂,, a₃,…, a_n. При этом расположим слагаемые с одинаковыми знаменателями друг под другом:

 

,

,

,

,

,

……………………………….…

,

,

.

 

В столбцах со знаменателями 3, 4, 5 получим соответственно: , , и т.д.

Тогда, например, ,

и т.д.

Сумма ,т.е.

 

.

Примечание. Важнейшей задачей теории числовых рядов является вычисление их сумм. В задачах 1.31, 2.31 это можно было сделать с помощью формулы (3). Но такое нахождение суммы ряда часто требует громоздких выкладок или даже невозможно (см. задачу 3.31). Тогда пользуются различными признаками сходимости рядов. Для сходящегося ряда ограничиваются приближенным вычислением его суммы, заменяя ее частичной суммой с достаточно большим числом членов и оценивая допущенную погрешность (см. задачу 9.31).

 

Свойства сходящихся рядов

Теорема 1

Если сходится ряд, получившийся из заданного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам заданный ряд. Если у сходящегося ряда отбросить несколько членов, то получится также сходящийся ряд.

Теорема 2

Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где c – какое-либо фиксированное число, также сходится, и его сумма равна cS.

Теорема 3

Если ряды ,

сходятся и их суммы соответственно равны S₁ и S₂, то ряды

 

 

также сходятся, и их суммы соответственно равны и .

 

Итак, если , , то .

С положительными членами

Признак сравнения

Теорема (непредельная форма признака сравнения)

Пусть даны два положительных ряда:

 

, ,

 

, .

Если члены первого ряда не больше соответствующих членов второго ряда и второй ряд сходится, то первый ряд тоже сходится.

Итак, если и , то .

Теорема

Если члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда и второй ряд расходится, то первый ряд тоже расходится.

Примечания:

1. Эти две теоремы представляют первый признак сравнения.

2.Часто оказывается полезным рассматривать не соотношение между общими членами a_n, b_n рядов, а предел их отношения при , то есть предельную форму первого признака сравнения.

Теорема (второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов

,

, (4)

то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.

Следствие. Теорема имеет место, если .

Признак Даламбера

Теорема (предельная форма признака)

Если для знакоположительного ряда существует

, (5)

то при ряд сходится, при ряд расходится; при вопрос о сходимости ряда остается открытым (в этом случае необходимо применять другие признаки сходимости рядов).

Признак Коши

Теорема (предельная форма признака)

Если существует

, (6)

то при ряд , , сходится; при – расходится, при ряд может сходиться или расходиться (требуется дополнительное исследование).

Интегральный признак Коши

Теорема

Если функция непрерывная, положительная, не возрастающая для и при натуральных значениях аргумента x

, ,..., ,...,

то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

 

 

Задача 3.31 [7]

Исследовать на сходимость ряд .

Здесь, как и в других задачах типового расчета, формулой (3) не пользуются (см. примечание к задаче 2.31).

Решение:

Так как для любого n , то для .

Исследуем на сходимость ряд с общим членом . Возьмем ряд с общим членом ; – обобщенный гармонический ряд, его также называют рядом Дирихле, он сходится при и расходится при . В данном случае , т. е. расходится.

Применим второй признак сравнения. Найдем

 

.

 

Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Так как ряд Дирихле расходится, то ряд также расходится. Возвращаясь к соотношению , по первому признаку сравнения заключаем: данный ряд расходится.

 

задача 4.31 [7]

 

Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Воспользуемся эквивалентным равенством: при , при . Поэтому . Значит, рассматриваем ряд . Сравним его со сходящимся рядом Дирихле . Найдем p по теореме (второй признак сравнения):

 

, ,

то есть ряд сходится. Следовательно, сходится и данный ряд.

Примечание. Решение задачи намного упрощается с помощью следствия второго признака сравнения (см. п. 2.4.1). Проверьте это самостоятельно.

 

задача 5.31 [7]

Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Найдем , применив признак Даламбера.

В данном случае ,

 

;

 

Таким образом, , данный ряд расходится.

 

задача 6.31 [7]

Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Здесь . Воспользуемся радикальным признаком Коши: =

.

 

Так как , то данный ряд сходится.

 

Задача 7.31 [7]

 

Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Рассмотрим вспомогательный ряд с общим членом : (знак ~ понимаетсякак эквивалентность числовых последовательностей и при ), .

Исследуем его на сходимость, пользуясь интегральным признаком Коши.

В данном случае функция удовлетворяет условиям интегрального признака при (убедитесь в этом самостоятельно).

Несобственный интеграл

 

, т.е. расходится, поэтому расходится и ряд. Тогда по следствию из теоремы (второй признак сравнения) заключаем, что заданный ряд тоже расходится.

 

Знакопеременные ряды

 

Определение 1. Числовые ряды, члены которых как положительные числа, так и отрицательные, называются знакопеременными.

Знакочередующиеся ряды

 

являются частным случаем рядов знакопеременных.

Определение 2. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся.

Теорема

Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный ряд, называемый в этом случае абсолютно сходящимся.

Теорема Лейбница (достаточный признак сходимости
знакочередующегося ряда)

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда , монотонно убывают и абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю при , то ряд сходится, его сумма положительна и меньше первого члена.

Следствие. При замене суммы ряда частичной суммой мы отбрасываем все члены ряда начиная с , т.е. отбрасываем знакочередующийся ряд, который удовлетворяет признаку Лейбница. Сумма этого ряда по абсолютной величине меньше модуля первого члена ряда, т.е. меньше . Значит, абсолютная величина допущенной ошибки при такой замене на будет меньше абсолютной величины первого члена отброшенной части ряда.

Примечания:

1. Исследование сходимости знакопеременных рядов следует начинать с исследования их абсолютной сходимости, так как это часто приводит быстрее к цели, чем применение признака Лейбница с последующим выяснением абсолютной сходимости ряда.

2. Для знакоположительных рядов мы будем применять один из пяти признаков их сходимости (пп. 2.4.1 – 2.4.4).

 

 

Задача 8.31 [7]

Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

Этот ряд знакопеременный. Исследуем его на абсолютную сходимость. Составляя ряд из абсолютных величин (модулей) членов данного ряда, получим ряд . Применим признак Даламбера. Выпишем члены и ; , .

Тогда ,

, т.е. ряд сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

 

Задача 9.31 [7]

Вычислить сумму ряда с точностью .

 

, .

Решение:

Прежде чем искать приближенно сумму данного ряда, надо знать, что она действительно существует, т.е. что данный ряд сходится. Проверяем сходимость ряда по признаку Лейбница: его члены монотонно убывают по абсолютному значению (убедитесь в этом самостоятельно), и .

Находим первые члены ряда с четырьмя знаками после запятой (в приближенных вычислениях надо брать одну запасную цифру).

 

Получили: .

Таким образом, достаточно взять первые три члена ряда, чтобы его сумма удовлетворяла заданной точности.

 

.

 

Согласно следствию из теоремы Лейбница, допущенная ошибка вычисления суммы ряда меньше 0,001.

Задача 10.31 [7]

Доказать справедливость равенства .

Решение:

Рассмотрим ряд . Исследуем его на сходимость, применяя признак Даламбера: , .

, ряд сходится.

Тогда по необходимому признаку сходимости числового ряда следует, что его -й член стремится к нулю при , т.е. .

 

Функциональные ряды

 

Рассмотрим ряд

 

, (7)

где все функции определены в одном и том же промежутке, называемом областью определения ряда. Придавая аргументу определенные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью его сходимости.

В области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х:

 

, (8)

где , х принадлежит области сходимости ряда (7).

Разность (9)

называется n -м остатком ряда.

Так как исследование сходимости функциональных рядов сводится к исследованию сходимости числовых рядов, то для нахождения областей сходимости функциональных рядов можно применять достаточные признаки сходимости числовых рядов. При этом различают области абсолютной и условной сходимости функционального ряда.

 

 

Задача 11.31 [7]

Найти область сходимости функционального ряда .

Решение:

Рассмотрим ряд . Сравним его с числовым рядом , используя второй признак сравнения (п. 2.4.1). Найдем предел частного общих членов этих рядов при :

 

.

 

Следовательно, ряд расходится, так как расходится гармонический ряд. Далее воспользуемся теоремой: если ряд расходится и (с – какое-либо фиксированное число), то ряд также расходится. В данном случае , . Значит, при ряд расходится. При все члены функционального ряда равны нулю, при , т.е. ряд сходится. Итак, данный ряд расходится при всех х, кроме .

Задача 12.31 [7]

Найти область сходимости функционального ряда .

Решение:

Применим признак Даламбера:

, ;

 

Данный ряд будет сходиться, причем абсолютно, для тех значений , при которых .

Решим полученное неравенство:

 

;

 

, , .

При . Исследуем сходимость данного ряда в этих точках.

При получаем ряд .

Ряд Дирихле расходится при (см. задачу 3.31). При получим знакочередующий ряд . По признаку Лейбница он сходится, но не абсолютно.

Таким образом, данный ряд сходится при , .

Задача 13.31 [7]

Найти область сходимости функционального ряда

Решение:

Члены данного ряда определены на всей числовой оси, за исключением . Эта точка не принадлежит области определения ряда. Исследуем ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши.

.

 

Найдем .

при всех допустимых значениях х. Итак, данный ряд сходится при всех х, кроме х = 0.

 

 

Задача 14.31 [7]

Найти область сходимости функционального ряда .

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера:

 

, ;

 

.

 

При m < 1 данный р