Практические задачи по геометрии

Вычисление длин и площадей

Подобие треугольников

Разные задачи

Теорема Пифагора

Углы

Вычисление длин и площадей

Задание 15 № 132766

1. Площадь пря­мо­уголь­но­го земельного участ­ка равна 9 га, ши­ри­на участка равна 150 м. Най­ди­те длину этого участ­ка в метрах.

Решение.

Переведем пло­щадь участка в квад­рат­ные метры: 9 га = 90 000 м².

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон. Поэтому, длина участ­ка равна: 90 000: 150 = 600 м.

 

Ответ: 600.

Ответ: 600

Задание 15 № 132767

2. Найдите пе­ри­метр прямоугольного участ­ка земли, пло­щадь которого равна 800 м² и одна сто­ро­на в 2 раза боль­ше другой. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Пусть x м — длина одной стороны, тогда длина вто­рой стороны — 2 x. Так как пло­щадь прямоугольника равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон, имеем:

от­ку­да

 

Периметр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех его сторон. Таким образом,

 

 

Ответ: 120.

Ответ: 120

Задание 15 № 132772

3. Сколько досок дли­ной 3,5 м, ши­ри­ной 20 см и тол­щи­ной 20 мм вый­дет из че­ты­рех­уголь­ной балки дли­ной 105 дм, име­ю­щей в се­че­нии прямоугольник раз­ме­ром 30 см 40 см?

Решение.

Найдем объем доски: 350 · 20 · 2 = 14 000 см³. Най­дем объем балки: 1050 · 30 · 40 = 1 260 000 см³.

Поэтому ко­ли­че­ство досок равно 1 260 000: 14 000 = 90.

Ответ: 90.

Ответ: 90

Задание 15 № 311323

4. Определите, сколь­ко необходимо за­ку­пить пленки для гид­ро­изо­ля­ции садовой дорожки, изоб­ра­жен­ной на рисунке, если её ши­ри­на везде одинакова.

Решение.

Разделим фигуру,изображенную на кар­тин­ке на 3 прямоугольника. Най­дем площадь пер­во­го прямоугольника: 5 · 1 = 5 м². Най­дем площадь вто­ро­го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м². Най­дем площадь тре­тье­го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м². Сло­жим все площади: 5 м²+4 м² + 4 м² = 13 м².

Таким образом, по­тре­бу­ет­ся закупить 13 м² пленки.

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

Задание 15 № 311358

5. Дизайнер Павел по­лу­чи­л заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бумагой. По ри­сун­ку определите, сколь­ко бу­ма­ги (в см²) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Павлу, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность чемодана, если каж­дую грань он будет об­кле­и­вать от­дель­но (без загибов).

Решение.

Найдем пло­ща­ди всех деталей, ко­то­рые не­об­хо­ди­мо обклеить:

 

 

Так как че­мо­дан имеет по две оди­на­ко­вых детали, вся пло­щадь, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо обклеить равна

 

 

Ответ: 17400.

Ответ: 17400

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 4)

Задание 15 № 311378

6. На карте по­ка­зан путь Лены от дома до школы. Лена из­ме­ри­ла длину каж­до­го участка и под­пи­са­ла его. Ис­поль­зуя рисунок, определите, длину пути (в м), если мас­штаб 1 см: 10000 см.

Решение.

Путь по карте равен 4 + 2 + 4 = 10 см. Так как мас­штаб равен 1: 10000, Лена про­шла 100 000 см или 1000 м.

 

Ответ: 1000.

Ответ: 1000

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар.6)

Задание 15 № 311502

7.

Скло­ны горы об­ра­зу­ют с го­ри­зон­том угол , ко­си­нус которого равен 0,8. Рас­сто­я­ние по карте между точ­ка­ми A и B равно 10 км. Опре­де­ли­те длину пути между этими точ­ка­ми через вер­ши­ну горы.

Решение.

Гора имеет форму рав­но­бед­рен­но­го треугольника. Пусть — длина скло­на горы. Тогда

 

откуда

 

 

Таким образом, путь через вер­ши­ну горы равен 12,5 км.

 

Ответ: 12,5.

Ответ: 12,5

12,5

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 2(1вар)

Задание 15 № 311918

8. Глубина бас­сей­на со­став­ля­ет 2 метра, ши­ри­на — 10 метров, а длина — 25 метров. Най­ди­те сум­мар­ную пло­щадь бо­ко­вых стен и дна бас­сей­на (в квад­рат­ных метрах).

Решение.

Дно и стены бас­сей­на — прямоугольники, по­это­му пло­щадь дна бас­сей­на равна 10 · 25 = 250 м², а пло­щадь че­ты­рех его стен равна 2 · (2 · 10 + 2 · 25) = 140 м². Тем самым, общая пло­щадь равна 390 м².

 

Ответ: 390.

Ответ: 390

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90201.

Задание 15 № 325137

9. Пол ком­на­ты, име­ю­щей форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 м и 9 м, тре­бу­ет­ся по­крыть пар­ке­том из пря­мо­уголь­ных до­ще­чек со сто­ро­на­ми 10 см и 25 см. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся таких до­ще­чек?

Решение.

Площадь всей ком­на­ты равна 4 · 9 = 36 м². Пло­щадь одной до­щеч­ки 0,1 · 0,25 = 0,025 м². Получаем, что по­тре­бу­ет­ся 36: 0,025 = 1440 дощечек.

 

Ответ: 1440.

Ответ: 1440

Задание 15 № 325147

10. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся ка­фель­ных пли­ток квад­рат­ной формы со сто­ро­ной 20 см, чтобы об­ли­це­вать ими стену, име­ю­щую форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 3 м и 4,4 м?

Решение.

Площадь стены равна 3 · 4,4 = 13,2 м². Пло­щадь одной плит­ки равна 0,2² = 0,04 м². Получаем, что для об­ли­цов­ки потребуется 13,2: 0,04 = 330 плиток.

 

Ответ: 330.

Ответ: 330

Задание 15 № 325157

11. Две трубы, диа­мет­ры ко­то­рых равны 7 см и 24 см, тре­бу­ет­ся за­ме­нить одной, пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния ко­то­рой равна сумме пло­ща­дей по­пе­реч­ных се­че­ний двух дан­ных. Каким дол­жен быть диа­метр новой трубы? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Решение.

Попереное се­че­ние трубы пред­став­ля­ет собой окружность, пло­щадь окружности равна по­это­му суммарная пло­щадь поперечных се­че­ний равна Найдём диа­метр новой трубы:

 

 

Ответ: 25.

Ответ: 25

Задание 15 № 325197

12. Сколь­ко досок дли­ной 4 м, ши­ри­ной 20 см и тол­щи­ной 30 мм вый­дет из бруса дли­ной 80 дм, име­ю­ще­го в се­че­нии пря­мо­уголь­ник раз­ме­ром 30 см × 40 см?

Решение.

Переведём все длины в метры. Объём бруса равен 8 · 0,3 · 0,4 = 0,96 м³. Объём одной доски 4 · 0,2 · 0,03 = 0,024 м³. Получаем, что из бруса по­лу­чит­ся 0,96: 0,024 = 40 досок.

 

Ответ: 40.

Ответ: 40

Задание 15 № 325244

13.

Наклонная крыша уста­нов­ле­на на трёх вер­ти­каль­ных опорах, рас­по­ло­жен­ных на одной прямой. Сред­няя опора стоит по­се­ре­ди­не между малой и боль­шой опо­ра­ми (см. рис.). Вы­со­та сред­ней опоры 3,1 м, вы­со­та боль­шей опоры 3,3 м. Най­ди­те вы­со­ту малой опоры.

Решение.

Дан­ная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию од­но­го из ос­но­ва­ний трапеции. Пусть длина не­из­вест­но­го отрезка равна По тео­ре­ме Фаллеса, получаем, что прямые, об­ра­зо­ван­ные опорами, от­се­ка­ют на крыше рав­ные отрезки. По­это­му сред­няя опора яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей трапеции. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний трапеции: от­ку­да получаем, что

 

Ответ: 2,9.

Ответ: 2,9

2,9

Задание 15 № 340269

14.

Картинка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 19 см и 32 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ширины. Площадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окантовкой, равна 1080 см². Ка­ко­ва ши­ри­на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Пусть см — ши­ри­на окантовки. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сторон., по­лу­ча­ем уравнение:

 

 

Корень −29,5 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ши­ри­на окан­тов­ки равна 4 см.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

Задание 15 № 340291

15. Какое наи­боль­шее число ко­ро­бок в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да раз­ме­ром 30×50×90 (см) можно по­ме­стить в кузов ма­ши­ны раз­ме­ром 2,4×3×2,7 (м)?

Решение.

Выразим размеры кузова в сантиметрах, получим: 240×300×270. Они относятся к размерам коробки 30×50×90 как 8: 6: 3. Это означает, что в кузов помещается 3 ряда по 8×6 = 48 коробок или 144 коробки. Пустот при этом не остается.

 

Ответ: 144.

Ответ: 144

Задание 15 № 348399

16. Медиана равностороннего треугольника равна . Найдите сторону этого треугольника.

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то его медиана является и биссектрисой, и высотой. Тогда треугольник - прямоугольный. Тогда:

 

 

 

Ответ: 18

Ответ: 18

Задание 15 № 348436

17. Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите биссектрису этого треугольника.

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то его биссектриса является и медианой, и высотой. Тогда треугольник - прямоугольный. Тогда:

 

 

 

Ответ: 15

Ответ: 15

Задание 15 № 348684

18.

Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 11 см и 13 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 675 см . Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Пусть см — ши­ри­на окантовки. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сторон., по­лу­ча­ем уравнение:

 

 

Корень −19 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ши­ри­на окан­тов­ки равна 7 см.

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

Задание 15 № 348686

19.

Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 12 см и 32 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 684 см . Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Пусть см — ши­ри­на окантовки. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сторон., по­лу­ча­ем уравнение:

 

 

Корень −25 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ши­ри­на окан­тов­ки равна 3 см.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Задание 15 № 348779

20.

Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 27 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 558 см . Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Пусть см — ши­ри­на окантовки. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сторон., по­лу­ча­ем уравнение:

 

 

Корень −22,5 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ши­ри­на окан­тов­ки равна 2 см.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

Задание 15 № 348795

21. Сторона равностороннего треугольника равна . Найдите медиану этого треугольника.

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то его медиана является и биссектрисой, и высотой. Тогда треугольник - прямоугольный. Тогда:

 

 

 

Ответ: 24

Ответ: 24

Задание 15 № 350056

22.

Картинка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 24 см и 38 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ширины. Площадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окантовкой, равна 1976 см². Ка­ко­ва ши­ри­на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Пусть см — ши­ри­на окантовки. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сторон., по­лу­ча­ем уравнение:

 

 

Корень −38 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ши­ри­на окан­тов­ки равна 7 см.

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

Задание 15 № 353477

23. Какое наи­боль­шее число ко­ро­бок в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да раз­ме­ром 40×80×100 (см) можно по­ме­стить в кузов ма­ши­ны раз­ме­ром 3,2×3,2×8 (м)?

 

Подобие треугольников

Задание 15 № 44

1. Проектор пол­но­стью освещает экран A вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 250 см от проектора. На каком наи­мень­шем расстоянии (в сантиметрах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 160 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки проектора оста­ют­ся неизменными?

Решение.

Заметим, что вы­со­та экрана, рас­по­ло­жен­но­го на рас­сто­я­нии 250 см, в 2 раза мень­ше высоты экрана, рас­по­ло­жен­но­го на ис­ко­мом расстоянии, значит, по тео­ре­ме о сред­ней линии, ис­ко­мое расстояние в два раза боль­ше первоначального экрана: 250·2 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

Источник: Демонстрационная вер­сия ГИА—2013 по математике.

Задание 15 № 132764

2. Человек ро­стом 1,7 м стоит на рас­сто­я­нии 8 шагов от столба, на ко­то­ром висит фонарь. Тень че­ло­ве­ка равна че­ты­рем шагам. На какой вы­со­те (в метрах) рас­по­ло­жен фонарь?

 

Решение.

Столб и че­ло­век об­ра­зу­ют два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках ABC и FEB. Эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам. Пусть вы­со­та фо­на­ря равна , тогда

 

откуда

 

Поэтому фо­нарь рас­по­ло­жен на вы­со­те 5,1 м.

 

Ответ: 5,1.

Ответ: 5,1

5,1

Задание 15 № 314820

3. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 2 м, если длина его тени равна 1 м, вы­со­та фо­на­ря 9 м?

Решение.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим прямоугольные тре­уголь­ни­ки и они имеют общий угол и, следовательно, по­доб­ны по двум углам. Значит, от­ку­да Получаем, что

 

Ответ: 3,5.

Ответ: 3,5

3,5

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 15 № 314914

4. Че­ло­век, рост ко­то­ро­го равен 1,8 м, стоит на рас­сто­я­нии 16 м от улич­но­го фо­на­ря. При этом длина тени че­ло­ве­ка равна 9 м. Опре­де­ли­те вы­со­ту фо­на­ря (в мет­рах).

 

Решение.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки и они имеют общий угол и, следовательно, по­доб­ны по двум углам. Значит, от­ку­да

Ответ: 5.

Ответ: 5

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 15 № 322903

5. Про­ек­тор пол­но­стью осве­ща­ет экран A вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 120 см от про­ек­то­ра. На каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии (в сан­ти­мет­рах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран B вы­со­той 330 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки про­ек­то­ра оста­ют­ся не­из­мен­ны­ми?

 

 

Теорема Пифагора

Задание 15 № 70

1. 1. От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут провод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли (см. рисунок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину провода.

Решение.

Проведём отрезок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной прямой, как по­ка­за­но на рисунке. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го треугольника; обо­зна­чим её за По тео­ре­ме Пифагора:

 

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.

Задание 15 № 96

2. 2. От стол­ба к дому на­тя­нут провод дли­ной 10 м, ко­то­рый закреплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. рисунок). Вы­чис­ли­те высоту столба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

Решение.

Пусть длина ис­ко­мой стороны равна Проведём отрезок, па­рал­лель­ный горизонтальной прямой, как по­ка­за­но на рисунке, тогда — катет по­лу­чив­ше­го­ся прямоугольного треугольника. По тео­ре­ме Пифагора:

 

 

Следовательно, длина ис­ко­мой стороны равна 9.

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1305.

Задание 15 № 148

3. 3. Лестницу дли­ной 3 м при­сло­ни­ли к дереву. На какой вы­со­те (в метрах) на­хо­дит­ся верхний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла дерева на 1,8 м?

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию катета пря­мо­уголь­но­го треугольника, по тео­ре­ме Пифагора он равен:

 

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

2,4

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1313.

Задание 15 № 132751

4. 4.

Мальчик про­шел от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 800 м. Затем по­вер­нул на север и про­шел 600 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­зал­ся мальчик?

Решение.

Мальчик идёт вдоль сто­рон прямоугольного тре­уголь­ни­ка поэтому, ис­ко­мое расстояние можно найти по тео­ре­ме Пифагора:

 

Ответ: 1000.

Ответ: 1000

Задание 15 № 132752

5. 5. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 500 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 300 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла еще 100 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

Решение.

Девочка идёт вдоль пря­мо­уголь­ной трапеции, в ко­то­рой длина бо­ко­вой стороны, не пер­пен­ди­ку­ляр­ной основаниям, есть ис­ко­мое расстояние, ко­то­рое можно найти по тео­ре­ме Пифагора:

 

Ответ: 500.

Ответ: 500

Задание 15 № 132753

6. 6. Мальчик и девочка, рас­став­шись на перекрестке, пошли по вза­им­но перпендикулярным дорогам, маль­чик со ско­ро­стью 4 км/ч, де­воч­ка — 3 км/ч. Какое рас­сто­я­ние (в километрах) будет между ними через 30 минут?

Решение.

Найдем расстояние, ко­то­рое прошла девочка:

Найдем расстояние, ко­то­рое прошел мальчик:

Так как де­воч­ка и маль­чик шли по вза­им­но перпендикулярным дорогам, их пути яв­ля­ют­ся катетами пря­мо­уголь­но­го треугольника, ги­по­те­ну­за которого — рас­сто­я­ние между ними. Най­дем это рас­сто­я­ние по тео­ре­ме Пифагора:

 

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

2,5

Задание 15 № 311509

7. 7. Глубина кре­пост­но­го рва равна 8 м, ши­ри­на 5 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 20 м. Длина лестницы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м больше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лестницы.

Решение.

Расстояние AB — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 5 м и 20 − 8 = 12 м. Тем самым, длина AB равна 13 м, а длина лест­ни­цы равна 15 м.

 

Ответ: 15.

Ответ: 15

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №2 (5 вар)

Задание 15 № 311854

8. 8. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 20 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 800 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 200 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

Решение.

Восток и запад — про­ти­во­по­лож­ные направления, по­это­му де­воч­ка про­шла 200 − 20 = 180 м на восток. Пусть — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го треугольника. По тео­ре­ме Пифагора, ги­по­те­ну­за ищет­ся сле­ду­ю­щим образом:

 

 

Ответ: 820.

Ответ: 820

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90106.

Задание 15 № 311962

9. 9. Лестница со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 35 ступеней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в метрах).

Решение.

Высота и длина каж­дой сту­пе­ни со­став­ля­ют ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го треугольника, найдём ги­по­те­ну­зу этого тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пифагора:

 

см.

 

Всего сту­пе­ней 35, следовательно, рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B равно 50 · 35 = 1750 см = 17,5 м.

 

Ответ: 17,5.

Ответ: 17,5

17,5

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.11.2013 ва­ри­ант МА90202.

Задание 15 № 314845

10. 10. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 15 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 8 м. Най­ди­те длину троса.

Решение.

Задачу можно све­сти к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го треугольника. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра её длина равна

 

Ответ: 17.

Ответ: 17

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 15 № 315106

11. 11.

От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 17 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 4 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 15 м.

Решение.

Проведём отрезок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной прямой, как по­ка­за­но на рисунке. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Обо­зна­чим ис­ко­мую длину за По тео­ре­ме Пифагора:

 

 

тогда

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 15 № 316289

12. 12. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 880 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 900 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 400 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

Решение.

Восток и запад — про­ти­во­по­лож­ные направления, по­это­му де­воч­ка про­шла 880 − 400 = 480 м на запад. Пусть — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го треугольника. По тео­ре­ме Пифагора, ги­по­те­ну­за ищет­ся сле­ду­ю­щим образом:

 

 

Ответ: 1020.

Ответ: 1020

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90107.

Задание 15 № 316326

13. 13. Мальчик прошёл от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 400 м. Затем по­вер­нул на север и прошёл 90 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­зал­ся мальчик?

Решение.

Пусть — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го треугольника. По тео­ре­ме Пифагора, ги­по­те­ну­за ищет­ся сле­ду­ю­щим образом:

 

 

Ответ: 410.

Ответ: 410

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская работа по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90103.

Задание 15 № 316352

14. Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,85 м, а её вы­со­та в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 1,48 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние (в метрах) между ос­но­ва­ни­я­ми стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

Решение.

Данная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Пусть — ис­ко­мое расстояние, тогда:

 

 

Ответ: 2,22.

Ответ: 2,22

2,22

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90501.

Задание 15 № 316378

15. Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,11 м, а рас­сто­я­ние между её ос­но­ва­ни­я­ми в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 0,72 м. Най­ди­те вы­со­ту (в метрах) стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

Решение.

Данная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Пусть — ис­ко­мое расстояние, тогда:

 

 

Ответ: 1,05.

Ответ: 1,05

1,05

Источник: МИОО: Тре­ни­ро­воч­ная работа по ма­те­ма­ти­ке 19.02.2014 ва­ри­ант МА90502.

Задание 15 № 322886

16.

Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 20 сту­пе­ней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 16,5 см, а длина — 28 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в мет­рах).

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го треугольника. Вы­со­та лест­ни­цы со­став­ля­ет 20 · 16,5 = 330 см = 3,3 м. А длина по го­ри­зон­та­ли со­став­ля­ет 20 · 28 = 560 см = 5,6 м. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B:

 

Ответ: 6,5.

Ответ: 6,5

6,5

Задание 15 № 324941

17.

Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B со­став­ля­ет 10 м. Най­ди­те вы­со­ту, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца (в мет­рах).

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Пусть ко­ли­че­ство сту­пе­ней равно тогда вы­со­та лест­ни­цы со­став­ля­ет А длина по го­ри­зон­та­ли со­став­ля­ет . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B:

 

 

Откуда получаем, что число сту­пе­ней Следовательно, высота, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лестница, равна

 

Ответ: 2,8.

Ответ: 2,8

2,8

Задание 15 № 324946

18.

По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию катета пря­мо­уголь­но­го треугольника:

 

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 15 № 324948

19.

Пожарную лестницу приставили к окну, расположенному на высоте 12 м

от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. Какова длина лестницы? Ответ дайте в метрах.

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го треугольника:

 

 

Ответ: 13.

Ответ: 13

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 15 № 325270

20.

Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 5,5 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 4,8 м. Най­ди­те длину троса. Ответ дайте в мет­рах.

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го треугольника. По тео­ре­ме Пифагора, получаем, что длина троса равна:

 

Ответ: 7,3.

Ответ: 7,3

7,3

Задание 15 № 325275

21.

Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Длина троса равна 6,5 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра получаем, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно:

 

Ответ: 1,6.

Ответ: 1,6

1,6

Задание 15 № 325281

22.

Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 1,6 м. Длина троса равна 3,4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от земли до точки креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии. Ответ дайте в мет­рах.

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра получаем, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно:

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

Источник: Банк заданий ФИПИ

Задание 15 № 333123

23. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном положении, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флагштока до места креп­ле­ния троса на земле равно 1,6 м. Най­ди­те длину троса в метрах.

Решение.

Данная задача сводится к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника:

 

 

Ответ: 6,5.

Ответ: 6,5

6,5

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90605

Задание 15 № 333150

24. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном положении, на­хо­дит­ся на вы­со­те 4,4 м от земл<