Тема 8. Дискретная математика

Краткие теоретические сведения

Дискретная математика – раздел математики, в котором изучаются свойства структур конечного характера.

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Отрицанием высказывания A называется такое высказывание , которое будет истинно тогда и только тогда, когда высказывание A – ложно.

Таблица истинности:

 

A
и	л
л	и

Конъюнкцией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания A и B – истинны.

Таблица истинности:

 

A	B
л	л	л
л	и	л
и	л	л
и	и	и

Дизъюнкцией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выска-зываний A или B – истинно.

Таблица истинности:

 

A	B
л	л	л
л	и	и
и	л	и
и	и	и

Импликацией двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое ложно тогда и только тогда, когда A – истинно, а B – ложно.

Таблица истинности:

 

A	B
л	л	и
л	и	и
и	л	л
и	и	и

Эквивалентностью двух высказываний A и B называется новое высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда A и B одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности:

 

A	B
л	л	и
л	и	л
и	л	л
и	и	и

Порядок выполнения логических операций:

- отрицание,

- конъюнкция,

- дизъюнкция,

- импликация,

- эквивалентность.

Если есть скобки, то сначала выполняются операции в скобках.

Правило суммы: Если объект A можно выбрать m способами, а объект B - n способами, то объект A или B можно выбрать m+ n способами.

Правило произведения: Если объект A можно выбрать m способами, а после каждого выбора другой объект B можно выбрать n способами, то пару объектов A и B можно выбрать способами.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Размещением из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов.

Число всевозможных размещений из n элементов по m обозначается: .

= , где n! = 1·2·3·…· n.

Перестановки - это размещения из n элементов по n.

Число перестановок обозначается: . Находится число перестановок из n элементов по формуле: = n!.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Сочетанием из n элементов по m элементов называется любое подмножество данного мно-жества, содержащее m элементов.

Число всевозможных сочетаний из n элементов по m обозначается: .

= .

Задания к расчетно-графической работе

Задание 8.1. Составить таблицу истинности для следующего высказывания.

Задание 8.2. Решить задачи:

В1. Сколькими способами можно распределить 3 награды (за I, II, III места) между 15 участниками соревнований?

В2. Сколько имеется шестизначных чисел, все цифры которых различны?

В3. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

В4. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «ДРАМТЕАТР»?

В5. Сколькими способами можно разложить 30 различных предметов по 5 ящикам, так, чтобы в каждом ящике оказалось по 6 предметов?

В6. В вазе находится 12 розовых и 8 красных роз. Сколькими способами можно составить букет, содержащий 7 розовых и 6 красных роз?

В7. Студенты в сессию сдают 5 экзаменов, в том числе два экзамена по химии. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по химии следовали один за другим?

В8. В ящике находится 20 деталей, из которых 4 бракованные. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых будет 2 детали бракованные?

В9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры могут повторяться?

В10. В группе имеется 15 студентов, из них 8 девушек. Сколькими способами можно выбрать из группы 6 человек так, чтобы среди них была ровно одна девушка?

 

Пример выполнения заданий по теме 8

Задание 8.1. Составить таблицу истинности для следующего высказывания

.

Решение.

Учитывая порядок выполнения операций и определения операций, составим таблицу истинности для данного высказывания:

 

 

A	B
л	л	и	л	и	л	и
л	и	л	и	и	л	и
и	л	л	и	и	л	и
и	и	и	л	и	и	и

 

Задание 8.2.

а) Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «ХИМИЯ»?

б) Бригада состоит из 18 рабочих, из которых 13 мужчин и 5 женщин. Для выполнения задания в командировке необходимо отобрать из них 5 мужчин и 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

в) На день рождения пригласили 6 гостей. Сколькими способами их можно рассадить за столом, за которым стоят 9 стульев?

Решение.

а) Так как здесь порядок букв играет роль, то это будут размещения из 5 элементов по 5, то есть перестановки. Число всех перестановок из 5 элементов по 5 будет определяться как P = 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Но так как в слове «ХИМИЯ» встречается две одинаковые буквы «И», то различных слов будет меньше в P = 2·1 = 2 раз. Таким образом, всего различных слов будет 120:2 = = 60.

б) Так как порядок рабочих не важен, то применяются сочетания. Число всех способов выбора 5 мужчин из 13 и 2 женщин из 5 можно найти по формуле: С ·С = = 12870.

в) Так как порядок размещения гостей играет роль, то число всех возможных комбинаций можно найти как A = = 60480.