Методы решения неравенств, содержащих знак модуль.

Методы решения неравенств, содержащих знак модуль.

 

I) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то

Если , то неравенству равносильна система

 

II) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то решений нет

Если , то неравенству равносильна система

 

III) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству равносильна совокупность

 

IV) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству равносильна система

Если , то неравенству равносильна система

 

V) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству равносильна система

 

VI) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству соответствует уравнение

Если , то неравенству равносильна система

 

VII) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству равносильна система

Если , то неравенству равносильна совокупность

 

 

VIII) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенство верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству равносильна совокупность

 

IX) Неравенства вида и решаются следующим образом.

Неравенству соответствует неравенство

Неравенству соответствует неравенство

 

X) Решение неравенств используя определение модуля (общий способ).

 

P.S

Любое неравенство можно решит общим способом.

 

Методы решения уравнений, содержащих знак модуль.

 

I) Уравнения вида решаются следующим образом.

Если , то корней нет.

Если , то уравнению соответствует уравнение

Если , то уравнению соответствует равносильная совокупность

 

II) Уравнения вида решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению соответствует равносильная совокупность систем

Способ №2

Уравнению соответствует равносильная совокупность систем

 

III) Уравнения вида решаются следующим образом.

Способ №1

Уравнению соответствует равносильное уравнение

Способ №2

Уравнению соответствует равносильная совокупность

 

IV) Уравнения вида и решаются следующим образом.

Уравнению соответствует равносильное неравенство

Уравнению соответствует равносильное неравенство

 

XII) Решение некоторых иррациональных уравнений можно свести к однородным уравнениям.

Например.

Пусть , , тогда

 

Методы решения уравнений высших степеней.

 

III) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1.

Введем замену: Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

2) Разделим обе части уравнения на , получим

 

Пример №2.

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

 

IV) Уравнения вида , где эффективно решать перемножением и , а затем делать замену.

 

V) В уравнениях вида и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

 

VI) В уравнениях вида обе части уравнения делятся на

 

VII) Уравнения вида и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

 

Методы решения неравенств, содержащих знак модуль.

 

I) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то

Если , то неравенству равносильна система

 

II) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет

Если , то решений нет

Если , то неравенству равносильна система

 

III) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству равносильна совокупность

 

IV) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых х из области определения

Если , то неравенству равносильна система

Если , то неравенству равносильна система

 

V) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству равносильна система

 

VI) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то решений нет.

Если , то неравенству соответствует уравнение

Если , то неравенству равносильна система

 

VII) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству равносильна система

Если , то неравенству равносильна совокупность

 

 

VIII) Неравенства вида решаются следующим образом.

Если , то неравенство верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенство верно для любых значений x из области определения неравенства

Если , то неравенству равносильна совокупность

 

IX) Неравенства вида и решаются следующим образом.

Неравенству соответствует неравенство

Неравенству соответствует неравенство

 

X) Решение неравенств используя определение модуля (общий способ).

 

P.S

Любое неравенство можно решит общим способом.