Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

Случайное событие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом Ω. Рассматриваемый эксперимент со случайными исходами можно выделить 2 класса событий:

- Элементарные – нельзя представить в виде совокупности событий.

- Неэлементарные - совокупность всех элементарных событий.

Пространство элементарных событий – множество всех элементарных исходов данного эксперимента Ω.Алгебра событий — алгебра подмножеств пространства элементарных событий, элементами которого служат элементарные события.

1) А+В (либо происходит А либо В либо оба вместе)

2) А*В (происходит и А и В одновременно)

_

3) А (событие, которое состоит в том, что событие А не произошло)

4) А-В (А произошло, а В нет)

5) А с В (А является следствием В)

 

Вероятность в дискретных и непрерывных пространствах элементарных событий. Геометрические вероятности.

Множество Ω может быть дискретным или непрерывным.

К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов. К непрерывным – множества типа континуума (любой конечный или бесконечный интервал на числовой прямой).Событие А произошло, если результатом эксперимента явился элементарный исход ω, принадлежащий А (ω с А). Невозможно и достоверное событие, соответственно, событие совпадающее с пустым множеством и со всем множеством Ω. События А и В совместны если имеют общие элементы, т.е. если возможно их совместное осуществление. Множество Ω записывается как: Ω={(элементы множества)|условие благоприятного исхода}.

Геометрическое определение вероятности: пусть пространством элементарных событий является некоторая область Ω с Rn (на прямой, на плоскости, в пространстве), причем все ее точки равноправны, то есть если мы наудачу выбираем точку в Ω, то вероятность ее попадания в область A c Ω не зависит от расположения A внутри Ω, а зависит только от меры множества A (длины, площади, объема). Тогда вероятность того, что точка, взятая наудачу в области Ω, попадет в область A равна:

,где µ(A), µ(Ω) - меры соответствующих областей (длины, площади, объемы и т.д.).

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p£0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом. Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:

Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным.По формуле Бернулли получаем:

M[X] = D[X] = λ

9. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения, и их свойства. Свойства математического ожидания и дисперсии. Квантили. Мода, медиана, асимметрия и эксцесс.

Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция*, удовлетворяющая для любых значений x равенству:

Пусть дано вероятностное пространство, и на нём определена случайная величина X с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция, задаваемая формулой:

 

Свойства:

F_X непрерывна справа:

F_X не убывает на всей числовой прямой.

 

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

1) Плотность распределения – неотрицательная функция:

3) d\dx*F_x(x) = f_x(x) в точках непрерывности функции f_x(x).

Свойства математического ожидания:

1) М(а)=а

2) М(аХ)=а * М(х)

3) М(Х+Y) = М(Х)+М(Y)

Свойства дисперсии:

1) D(X) ≥ 0

2) D(c) = 0, c – const

3) D(cX) = c²D(X)

4) D(X+c) = D(x)

5) D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Квантильюx_p (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины x, имеющей функцию распределения F_x(x), называют решение x_p уравнения F_x(x)=p, p в промежутке (0, 1). Квантилиимеют свои названия:

· медиана - квантиль уровня 0.5;

· нижняя квартиль - квантиль уровня 0.25;

· верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75;

· децили - квантили уровней 0.1,0.2, …, 0.9;

· процентили - квантили уровней 0.01,0.02, …, 0.99.

 

Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k

.

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Нормальное распределение. Вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания. Ассиметрия и эксцесс распределения. Стандартизированное нормальное распределение и его свойство. Правило трех сигм.

Нормальное распределение - распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания:

, где a – математическое ожидание.

Найдём коэффициент асимметрии и эксцесс нормально распределённой случайной величины X.

так как

Таким образом, коэффициент асимметрии нормального распределения равен нулю (А=0).

Аналогично можно показать, что эксцесс нормального распределения также равен нулю.

Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:

Ф(-х) = 1 – Ф(х)

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

 

Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Условные распределения.

Система двух дискретных случайных величин. ; (Х; Y) P [X= ; Y = ] = (i=1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m)

X/Y	Y1	Y2	…	Ym
X1	P11	P12	…	P1m
X2	P21	P22	…	P2m
…	…	…	…	…	…
Xn	Pn1	Pn2	…	Pnm
			…

; = ; - условное распределение.

Независимость координат – сл.в. Х и Y независимы тогда и только тогда, если (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m). - необходимое и достаточное условие независимости сл.в.

Ковариация - это мера линейной зависимости двух случайных величин. Коэффициент ковариации показывает степень зависимости между двумя величинами и есть ли она вообще. . Свойства коэффициента ковариации: 1) если Х и Y независимы, то cov (X;Y) = 0, обратное не верно; 2) cov (aX; bY) = ab cov (X;Y).

Коэффициент корреляции: Свойства: 1) 1; 2) если Х и Y независимы, то cov = 0 и ρ = 0, обратное не верно! 3) если ρ=1, то между Х и Y имеется линейная связь (X и Y линейно зависимы); 4) если ρ , между Х и Y линейной зависимости нет (они не коррелированны).

Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

Случайное событие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности. Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом Ω. Рассматриваемый эксперимент со случайными исходами можно выделить 2 класса событий:

- Элементарные – нельзя представить в виде совокупности событий.

- Неэлементарные - совокупность всех элементарных событий.

Пространство элементарных событий – множество всех элементарных исходов данного эксперимента Ω.Алгебра событий — алгебра подмножеств пространства элементарных событий, элементами которого служат элементарные события.

1) А+В (либо происходит А либо В либо оба вместе)

2) А*В (происходит и А и В одновременно)

_

3) А (событие, которое состоит в том, что событие А не произошло)

4) А-В (А произошло, а В нет)

5) А с В (А является следствием В)