Условия монотонности функции.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и

возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке

неотрицательна, т.е. f(x)  0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и

дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то

эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает

на отрезке [a, b], то f (x)  0 на этом отрезке. Если f (x) < 0 в промежутке

(a,b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x)

непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Точки экстремума.

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно

найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой

окрестности выполняется условие:

f(x) >f(x0).

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно

найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой

окрестности выполняется условие:

f(x) <f(x0).

Точки максимума и минимума функции называются точками

экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если

функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой

экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Точки, где f (x)  0 называются стационарными точками, или

точками возможного экстремума.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди

тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или

не существует.

Точки области определения функции, в которых производная либо

равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит

критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала

(кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции

f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет

максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет

минимум.

Исследование функции на экстремум с помощью

Производных высших порядков.

Пусть в точке х = х1f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в

некоторой окрестности точки х1.

Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет

максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.

Билет № 49 Выпуклость функций, точки перегиба. Исследование с помощью произ-

водных.

 

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее

точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая,

обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая,

обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую

производную и f (x)  0(f (x)  0) во всех точках интервала (a, b), то график

функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Точка x 0 называется точкой перегиба функции f (x), если в этой точке

функция имеет производную и существуют два промежутка: (a; x 0) и (x 0; b), на

одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута. Угловая точка не

является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая

производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку

х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой

перегиба.

 

Билет № 50 Горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.