Определение точечных и интервальных оценок параметров распределений.

Цель работы: приобретение навыков определения точечных и интервальных оценок параметров распределений.

 

Задание:

1) Определить оценку вероятности безотказной работы и отказа объекта в течение времени .

2) Определить границы доверительного интервала и оценки средней наработки объекта при доверительной вероятности β.

3) Основываясь на результатах выполнения п. 1 задания, определить доверительные границы оценки вероятности безотказной работы , и отказа , объекта за время при той же доверительной вероятности β.

Все данные для выполнения этих заданий берем из предыдущей лабораторной работы.

 

Общие сведения.

Статистические оценки параметров распределений являются случайными величинами, поскольку до проведения опытов неизвестно, какое значение примет рассчитанный на основе опытов тот или иной параметр распределения. При увеличении числа опытов оценки параметров сходятся по вероятности к точным значениям соответствующих параметров. Это значит, что при большом количестве опытов вероятность существенного отклонения оценки от точного значения параметра невелика. Поэтому, если опытов произведено достаточно много, можно с достаточной точностью утверждать, что неизвестный параметр a равен полученной на основании опытных данных оценке . Такую оценку называют точечной оценкой параметра a. Если же опытов проведено мало, то полученные на их основании оценки могут значительно отличаться от точных значений параметров и поэтому нуждаются в определении возможной погрешности.

Под погрешностью понимают абсолютное отклонение оценки , полученной на основе некоторого числа опытов, от соответствующего параметра a, то есть, величину . Оценка – случайная величина, поэтому и погрешность является случайной величиной.

 

Порядок выполнения работы:

1. Точечные оценки вероятностей отказа и безотказной работы объекта по результатам испытаний объектов-аналогов в течение времени (табл. 2. 1 прил. 2) определяют как относительные частоты соответствующих событий. Так, оценку вероятности отказа объекта в течение времени определяем по формуле:

,

а оценку вероятности безотказной работы по формуле:

;

где n – общее число рассматриваемых объектов;

– число объектов, отказавших к моменту времени .

Если время принадлежит j -му интервалу вариационного ряда, то число объектов, отказавших за время :

,

где – число отказавших объектов к началу j -го интервала.

2. Определение интервальной оценки сводится к определению доверительных границ при заданной доверительной вероятности. Найдем сначала приближенные доверительные границы оценки наработки до отказа:

, ч;

, ч;

где β – доверительная вероятность (берется из табл. 1. 3 прил. 1 по индивидуальному варианту).

- значение квантиля функции нормального распределения, определяем по табл. 2. 4 прил. 2, ().

Теперь определяем точные доверительные границы:

, ч;

, ч;

где - значение квантиля распределения Стьюдента в зависимости от доверительной вероятности β и числа степеней свободы с (с = n) (табл. 2. 5 прил. 2).

3. Доверительные границы оценки вероятности безотказной работы определяем по формулам:

;

 

.

 

Доверительные границы оценки вероятности отказа определяем по формулам:

;

.

Доверительные границы оценки вероятности безотказной работы связаны с доверительными границами оценки вероятности отказа следующими соотношениями:

, .

Поэтому, рассчитав интервальную оценку вероятности отказа, можно с помощью этих соотношений определить интервальную оценку вероятности безотказной работы и наоборот.

 

 

Лабораторная работа № 4

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ НЕРЕМОНТИРУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ.

 

Цель работы: научиться по статистическим данным определять количественные показатели надежности для неремонтируемых изделий.

 

Задание:

1. Проанализировать условия задания и составить по ним интегральный статистический ряд эмпирического распределения наработки Т.

2. Построить гистограмму и полигон эмпирического распределения наработки Т.

3. Подсчитать среднее арифметическое значение наработки Тср, выборочное среднее квадратическое отклонение σ, коэффициент вариации V для заданной статистической выборки, подобрать теоретический закон распределения наработки до первого отказа.

4. Определить статистические оценки вероятности безотказной работы Р(t) и интенсивности отказов λ(t) неремонтируемых изделий для i-х частичных интервалов наработки до первого отказа.

5. Построить графики изменения вероятности безотказной работы Р(t) и эмпирической интегральной функции Fэ(t) по данным испытаний неремонтируемых изделий.

6. Определить значение теоретической интегральной функции F(t) для заданных частичных интервалов значений наработки Т, построить график функции F(t).

7. Проверить соответствие между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки Т по критерию λ (А. Н. Колмогорова).

8. Определить доверительные границы средней наработки неремонтируемых изделий до первого отказа при доверительной вероятности α.

 

Порядок выполнения работы:

1. По условиям задания, прил. 3 (выданного преподавателем) требуется определить числовые значения безотказности неремонтируемых изделий по результатам испытаний (N) однотипных объектов.

Основным показателем надежности неремонтируемых изделий являются вероятность безотказной работы Р(t), средняя наработка до первого отказа Т_i, интенсивность отказов λ(t). Числовые значения показателей надежности определяются по результатам наблюдений за испытаниями N однотипных изделий в заданных условиях, фиксируя наработку отдельных изделий до первого отказа в часах работы под нагрузкой. Результаты испытаний представляют в виде интервального статистического ряда эмпирического распределения наработки Т_i изделий до первого отказа (табл. 4.1).

 

Таблица 4.1. Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки неремонтируемых изделий до первого отказа.

 

№ п/п	Определяемый параметр	Обозначения и формулы для расчета	Номера интервалов наработки, тыс.км
	Границы интервалов
	Значение середины интервалов
	Число отказов в интервале
	Относительная доля отказов в интервале (частость)	s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

 

2. Используя данные табл. 4.1 построить графики наглядно характеризующие эмпирическое распределение случайной величины - гистограммы и полигона. При построении гистограммы на горизонтальной оси графика следует отложить значения, соответствующие границам интервалов, а на вертикальной оси - частоты или частотности, также по отдельным интервалам, следует построить прямоугольники, основания которых лежат на горизонтальной оси координат и равны величине интервалов, а высоты равны частотам иди частотностям соответствующих интервалов. В результате получается ступенчатый многоугольник, или гистограмма. Если теперь соединить прямыми линиями середины верхних (горизонтальных) сторон прямоугольников гистограммы, то получится полигон распределения в виде ломаной линии. По гистограмме и полигону распределения необходимо дать заключение, в каком интервале значений наиболее вероятная наработка неремонтируемых изделий до первого отказа (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Гистограмма и эмпирическое распределение.

 

3. Подсчитать числовые значения статистических характеристик распределения случайной величины, как среднее арифметическое значение Т_ср, выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации V по следующим уравнениям с суммированием по интервалам:

 

 

Теоретический закон распределения для выравнивания опытной информации ориентировочно выбирают по величине коэффициента вариации V: если V < 0,30, то используется закон нормального распределения; если V > 0,50 применяют закон распределения Вейбулла, если V = 0,30... 0,50 можно пользоваться законом нормального распределения или законом распределения Вейбулла. Выбранный по коэффициенту вариации закон распределения будет в дальнейшем проверяться с применением критерия согласия λ (Колмогорова А. Н.).

4. Определить статистические оценки вероятности безотказной работы Р(t_i) и интенсивности отказов λ(t_i) неремонтируемых изделий для i-х интервалов по формулам (табл. 4.2). Полученные результаты заносят в табл. 4.2, в которой: А - величина интервала. Знак ∧ - обозначает показатели надежности, имеющие статистические эмпирические характеристики, подсчитанные по результатам наблюдения над конкретной партией изделий; без значка - вероятности подсчитанные из теоретических соображений; t_i - значение наработки в интервале.

5. Построим графики изменения опытной вероятности безотказной работы и эмпирической интегральной функции: - с использованием значений для интервалов из табл. 4.1 и 4.2. Между обоими показателями существует взаимосвязь, обусловленная уравнением:

.

 

Таблица 4.2. Определение статистических оценок и .

 

№ п/п	Определяемый параметр	Обозначение и формула расчета	Номера интервалов наработки, тыс. км
	Границы интервалов наработки
	Число отказов в интервале
	Число отказавших изделий к концу интервала
	Число работоспособных изделий к началу интервала
	Статистическая оценка вероятности безотказной работы
	Статистическая оценка интенсивности отказов
	Эмпирическая интегральная функция распределения наработки до 1 – ого отказа

 

При построении графика Р(t_i) и функции F_э(t_i) на горизонтальной оси следует отложить значения, соответствующие границам интервалов, а на вертикальной - частости (W_i) или частоты (m_i).

6. Определить значения теоретической интегральной функции F(t) для заданных частичных интервалов значений наработки Т, построить график функции F(t).

Рис. 4.2. Эмпирическая и теоретическая интегральные функции распределения наработки до первого отказа и вероятность безотказной работы по данным испытания на надежность.

 

Значения теоретической интегральной функции F(t_i) (рис. 4.2) для нормального распределения с известными параметрами Т определяются по табличному интегралу Ф(t_i), который непосредственно показывает вероятность того события, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t. Значение функции F(t_i) в конце i -го интервала принимается равным значению интеграла Ф(t) по табл. 4.11. Значение случайной величины - X_i, интервала Ф(t_i) заносят в табл. 4.3.

 

Таблица 4.3. Проверка соответствия эмпирического и теоретического распределений наработки неремонтируемых изделий до первого отказа по критерию согласия λ.

№ п/п	Определяемый параметр	Обозначения и формулы расчета	Номера интервалов наработки, тыс. км.
	Границы интервалов наработки
	Верхняя граница интервала
	Значение случайной величины
	Значение теоретической интегральной функции наработки до первого отказа
	Наибольшая абсолютная разность
	Расчетное значение критерия согласия
	Значение критерия Колмогорова

7. Проверить соответствие между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирического распределения наработки Т по критерию λ (А. Н. Колмогорова). В технических расчетах для различных уровней вероятностей приняты различные уровни значимости.

Таблица 4.4. Уровень вероятности и значимости.

Уровень вероятности α	0,80	0,90	0,95	0,99
Уровень значимости γ	0,20	0,10	0,05	0,009

 

Если по условиям задания уровень доверительной вероятности α = 90, тогда уровень значимости γ = 0,10, это означает, что в 10 случаях из 100 возможность ошибки первого рода, связанной с риском отбросить правильную статистическую гипотезу. Результаты проверки соответствия эмпирического и теоретического распределения наработки неремонтируемых изделий до первого отказа по критерию λ в табл. 4.3. Для полученного значения по табл. 4.10 (прил. 4) следует найти значение Р(λ). Если значение Р(λ) > λ, то гипотеза о применимости закона нормального распределения к эмпирическому распределению наработки неремонтируемых изделий до первого отказа не отвергается. Тем самым можно говорить о соответствии теоретического и эмпирического распределений.

8. Определить доверительные границы средней наработки неремонтируемых изделий до первого отказа при доверительной вероятности α. Нижняя m_нi и верхняя m_нi границы доверительного интервала для средней наработки Т определяются по уравнениям:

где t_γ(ν) - квантиль распределения t (коэффициент Стьюдента) выбирается из табл. 4.6 (прил. 4); с v = N - 1 степенями свободы для статистической выборки для статистической выборки из N значений.

9. Дать заключение, о том, что среднее значение наработки неремонтируемых изделий до первого отказа с вероятностью α будут находиться в интервале от - до.

Лабораторная работа № 5