Графики функций и поверхности

 

1 Откройте рабочую книгу Лабораторные.xls. Вставьте новый лист График 1. Постройте на этом листе график функции y= cos (x) при .

 

Выполнение:

1.1 Сначала необходимо построить таблицу значений функции при различных значениях аргумента, который изменяется с фиксированным шагом. Столбец А будет содержать значения х, а столбец В - значения y.

 

1.2 Введите в ячейку А1 формулу =-ПИ(), в ячейку А20 формулу =ПИ().

 

1.3 Выделите диапазон А1:А20 и выберите меню Правка / Заполнить / Прогрессия (рис. 3.22). Выберите автоматическое определение шага и нажмите ОК.

 

 

Рис. 3.22. Заполнение столбца А значениями аргумента

 

1.4 Далее необходимо в диапазон В1:В20 ввести значения функции. Для этого в ячейку В1 внесите формулу =COS(A1). Эту формулу «протащите» на весь диапазон В1:В20.

 

1.5 Выделите диапазон В1:В20, вызовите мастер диаграмм. На первом шаге мастера выберите вкладку Нестандартные, тип Гладкие графики. Нажмите Готово (рис. 3.23).

 

2 Постройте график функции y(x) при : .

Выполнение:

2.1 В рабочую книгу Лабораторные.xls вставьте новый лист График 2. В столбец А будем заносить значения аргумента х, который также изменяется с фиксированным шагом. Его значение целесообразно сделать небольшим. В нашем случае будем считать, что шаг изменения аргумента равен 0,1.

 

2.2 В ячейку А1 введите первое значение аргумента х: 0.

 

 

Рис. 3.23. Построение графика функции y=cos(x)

 

2.3 В ячейку А2 введите второе значение х: 0,1 - первое значение, увеличенное на величину шага: 0+0,1=0,1 (рис. 3.24).

 

 

Рис. 3.24. Ввод первых двух значений аргумента

 

2.4 Выделите обе ячейки А1:А2, подведите курсор мыши к правому нижнему углу выделенного диапазона, курсор примет знак черного крестика; «протащите» черный крестик вниз, пока значение в ячейке не станет равным 1 (ячейка А11).

 

2.5 Введите значения функции в столбец В: в ячейку В1 поставьте знак «равно» и вызовите функцию ЕСЛИ. В открывшемся окне Аргументы функции в поле Лог_выражение введите А1<0,2, в поле Значение_если истина - 1+LN(1+A1) (рис. 3.25). Поставьте курсор в поле Значение_если ложь и еще раз войдите в функцию ЕСЛИ.

 

 

Рис. 3.25. Окно внешней функции ЕСЛИ

 

2.6 В открывшемся окне новой функции ЕСЛИ, которая будет вложена в предыдущую, в поле Лог_выражение введите А1<=0,8, в поле Значение_если истина - (1+А1^(1/2))/(1+A1), в поле Значение_если ложь -2*EXP(-2*A1) (рис. 3.26). Нажмите ОК.

 

 

Рис. 3.26. Окно вложенной функции ЕСЛИ

2.7 «Протащите» за маркер автозаполнения получившуюся формулу =ЕСЛИ(A1<0,2;1+LN(1+A1);ЕСЛИ(A1<=0,8;(1+A1^(1/2))/(1+A1);2*EXP(‑2*A1))) до ячейки В11.

 

2.8 Выделите диапазон В1:В11 и вызовите мастер диаграмм. Выберите тип диаграммы График, щелкните по нужному образцу. Нажмите Далее.

 

2.9 Перейдите на вкладку Ряд. Войдите в поле Подписи оси Х и выделите мышью на рабочем листе диапазон А1:А11 (то есть весь столбец значений х). Нажмите Далее.

 

2.10 При настройке параметров диаграммы укажите заголовки осей (Ось Х и Ось Y), удалите легенду и линии сетки.

 

2.11 Разместите график на имеющемся листе. В области построения диаграммы установите невидимую рамку и прозрачную заливку.

 

2.12 Выполните двойной щелчок мышью на оси Х диаграммы (оси категорий), в появившемся диалоговом окне Формат оси перейдите на вкладку Шкала, снимите флажок Пересечение с осью Y (значений) между категориями. Это позволит разместить подписи на оси Х под делениями. Нажмите ОК.

 

График примет вид (рис. 3.27).

 

 

Рис. 3.27. График функции для задания 2

 

 

3 Постройте графики функций:

 

а) при .

 

б) при .

 

в) при .

 

Указания:

• При написании формул используйте следующие правила записи функций (табл. 3.6); всегда ставьте знаки умножения.

 

Таблица 3.6.

Примеры функций

 

	ABS(x)
	x ^(1 /n)
	(cos(x))^ m
ex	EXP(x)

 

4 Постройте поверхность z=x² - y² при .

 

Выполнение:

4.1 В книгу Лабораторные.xls вставьте новый лист Поверхности.

 

 

4.2 В диапазон ячеек B1:L1 введите последовательность значений: ‑1; ‑0,8;…;1 переменной у, а в диапазон ячеек А2:А12 – последовательность значений: -1; -0,8; …; 1 переменной х.

 

4.3 В ячейку В2 введите формулу =$A2^2-B$1^2. Выделите эту ячейку, установите указатель мыши на ее маркере заполнения и «протащите» его так, чтобы заполнить весь диапазон B2:L12.

 

При работе с формулой в ячейке В2 использовались смешанные ссылки. Если знак $ поставить перед именем столбца ($A2), то фиксируется этот столбец (А); если перед номером строки (B$1), то фиксируется вся эта строка, и при копировании формула будет ссылаться на ячейки в этой строке (в нашем случае в строке 1).

 

4.4 Выделите диапазон ячеек А1:L12, содержащий таблицу значений функции и ее аргументов, и вызовите мастер диаграмм. Выберите тип диаграммы – Поверхность. В итоге поверхность примет вид (рис. 3.28).

 

 

Рис. 3.28. Вид поверхности для задания 4

 

5 Постройте поверхности:

а) при .

б) при .

с) при .

 

6 Найдите корни уравнения: х³ -0,01 х² -0,7044 х+ 0,139104 = 0.

 

Выполнение:

6.1 В рабочую книгу вставьте новый лист Корни уравнения.

 

6.2 Вещественных корней у полинома третьей степени может быть не более трех, необходимо их локализовать. Для этого постройте график функции, где аргумент изменяется, например, на отрезке с шагом 0,2. Запишите в ячейку А1 слово х, в В1 - слово y. Заполните диапазон А2:А12 значениями х, в ячейку В2 введите формулу =А2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104 и протяните вниз до В12. Постройте график полученной функции. Из него видно, что полином меняет знак на интервалах (-1;-0,8), (0,2;0,4), (0,6;0,8). Значит, корни находятся в этих интервалах. Введите также заголовки: в ячейку С1 - слово Приближения, в D1 - Значение функции.

 

6.3 Войдите в меню Сервис / Параметры / Вычисления, задайте предельное число итераций и относительную погрешность (1000 и 0,00001).

 

6.4 В качестве начальных значений (приближенных) корней задают любые точки из отрезков локализации корней. Например, возьмите -0,9 (из первого интервала), 0,3 (из второго) и 0,7 (из третьего). Введите их в С2:С4.

 

6.5 Для вычисления значений функции, соответствующих приближенным решениям, в ячейку D2 введите следующую формулу: =C2^3‑0,01*C2^2‑0,7044*C2+0,139104. Протяните эту формулу вниз на D2:D4.

 

6.6 Таким образом, получены три пары значений «приближенный корень – уравнение для него» в ячейках C2:D2, C3:D3, C4:D4. Для каждой из этих пар примените функцию Excel Сервис / Подбор параметра, которая позволяет по известному результату (значение уравнения равно нулю) подобрать неизвестное значение параметра (здесь - аргумента х, корня). Начните с первой пары:

 

- вызовите меню Сервис / Подбор параметра, в окне заполните:

 

Установить в ячейке: $D$2 (где формула с вычислением левой части уравнения);

 

Значение: 0 (значение правой части уравнения);

 

Изменяя значение ячейки: $C$2 (где искомый аргумент х).

 

Нажмите кнопку ОК.

 

Результат (значение первого корня) появится в ячейке С2. Аналогичную процедуру проделайте для каждой из оставшихся пар. В итоге в ячейках С2, С3 и С4 появятся значения всех корней (рис. 3.29).

 

 

Рис. 3.29. Нахождение корней заданного уравнения

 

7 Найдите корни уравнения 0,3 х³ -0,8756 х²+ 0,0021 х -0,44 = 0.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б