Умножение изображений. Свертка функций

 

Сверткой функций и (обозначается ) называется интеграл .

 

Несложно убедиться, что записанный интеграл не меняет своего значения от перестановки функций f и g, т.е.

,

или

.

 

Теорема свертывания оригиналов. Если и , то , т.е. изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений.

 

На основании теоремы свертывания легко находится изображение интеграла от данной функции, если известно изображение самой функции: если , то .

 

Пример. Найти свертку функций и и ее изображение.

Решение. По определению свертки

Найдем изображение свертки:

.

На основании теоремы свертывания изображение можно найти иначе. Так как , , то

.

 

Теорема об интегрировании изображения

Если и интеграл сходится, то , т.е. интегрированию изображения соответствует деление его оригинала на t.

 

Пример. Найти изображение функций и .

Решение. Так как , то, учитывая сформулированную теорему,

.

Найдем изображение для функции , используя свойство интегрирования оригинала:

.

 

Дифференцирование оригинала

 

Если и функции , ,…, являются оригиналами, то , , …………………………… .

 

 

Таблица некоторых изображений

 

Для удобства использования полученных выше изображений поместим их в одну таблицу.

№	Оригинал	Изображение .
	С

Кроме того, рассмотренные выше свойства преобразований Лапласа представляют собой основные правила операционного исчисления. Для удобства использования перечислим их еще раз.

1. Линейность: .

2. Подобие: .

3. Смещение изображения: .

4. Дифференцирование изображения: .

5. Запаздывание оригинала: .

6. Умножение изображений: .

7. Интегрирование оригинала: .

8. Интегрирование изображения: .

9. Дифференцирование оригинала:

,

,

……………………………

.

 

Примеры.

1. Найти изображения функций:

а) ;

б) ; в) ;

г) ; д) .

Решение.

а) По таблице находим:

.

Следовательно, по свойству линейности преобразования Лапласа получим

 

б) Преобразуем произведение косинусов в их сумму

,

т.е.

.

Далее воспользуемся таблицей изображений и свойством линейности:

.

 

в) Используем формулу понижения степени:

.

Поэтому . Тогда

.

 

г) Раскроем скобки . Для того, чтобы найти изображение первого слагаемого воспользуемся теоремой о дифференцировании изображения. Так как , то

.

Окончательно,

.

 

д) Для того, чтобы найти изображение первого слагаемого, используем теорему о дифференцировании изображения:

.

Преобразуем второе слагаемое:

.

Поэтому его изображение имеет вид

.

Итак, изображение заданной функции будет

.

 

2. Найти оригиналы следующих изображений:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) .

Решение.

а) Преобразуем так, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:

Находя по таблице оригинал каждого слагаемого и используя свойство линейности, получим начальную функцию для заданного изображения.

.

 

б) Преобразуем дробь, выделив полный квадрат в знаменателе:

.

Сведем полученное выражение к сумме двух дробей, соответствующих формулам 7 и 8 таблицы изображений.

.

Следовательно, согласно таблице изображений и свойству линейности преобразования Лапласа, находим оригинал:

.

 

в) Разложив знаменатель дроби на множители, перепишем изображение в виде:

.

Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей и найдем входящие в сумму коэффициенты.

Таким образом . Теперь по таблице изображений находим

.

 

г) Представим дробь в виде суммы простейших дробей

.

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители обеих дробей, получаем равенство:

.

Отсюда при сразу находим . Далее, раскрывая скобки в правой части равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем остальные коэффициенты.

Таки образом,

.

Следовательно,

.

 

д) Разложим дробь в сумму простейших дробей

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители обеих дробей

.

При получаем . Далее, раскрывая скобки в правой части равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем остальные коэффициенты

Итак,

.

Следовательно,

.

 

е) Представим заданное изображение в виде произведения двух функций и воспользуемся теоремой об умножении изображений.

.

Так как и , то

Итак, .

ж) Используем теорему запаздывания. Так как и , то

.

Таким образом,